ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xpsspw Structured version   Unicode version

Theorem xpsspw 4393
Description: A cross product is included in the power of the power of the union of its arguments. (Contributed by NM, 13-Sep-2006.)
Assertion
Ref Expression
xpsspw  X.  C_  ~P ~P  u.

Proof of Theorem xpsspw
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxpi 4304 . . . 4  X. 
<. ,  >.
2 vex 2554 . . . . . . . 8 
_V
3 vex 2554 . . . . . . . 8 
_V
42, 3dfop 3539 . . . . . . 7  <. ,  >.  { { } ,  { ,  } }
5 snssi 3499 . . . . . . . . . . . . 13  { }  C_
6 ssun3 3102 . . . . . . . . . . . . 13  { }  C_  { }  C_  u.
75, 6syl 14 . . . . . . . . . . . 12  { }  C_  u.
87adantr 261 . . . . . . . . . . 11  { }  C_  u.
9 sseq1 2960 . . . . . . . . . . 11  { }  C_  u.  { }  C_  u.
108, 9syl5ibrcom 146 . . . . . . . . . 10  { }  C_  u.
11 df-pr 3374 . . . . . . . . . . . 12  { ,  }  { }  u.  { }
12 snssi 3499 . . . . . . . . . . . . . . 15  { }  C_
13 ssun4 3103 . . . . . . . . . . . . . . 15  { }  C_  { }  C_  u.
1412, 13syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  { }  C_  u.
157, 14anim12i 321 . . . . . . . . . . . . 13  { }  C_  u.  { }  C_  u.
16 unss 3111 . . . . . . . . . . . . 13  { }  C_  u.  { }  C_  u.  { }  u.  { }  C_  u.
1715, 16sylib 127 . . . . . . . . . . . 12  { }  u.  { } 
C_  u.
1811, 17syl5eqss 2983 . . . . . . . . . . 11  { ,  }  C_  u.
19 sseq1 2960 . . . . . . . . . . 11  { ,  }  C_  u.  { ,  }  C_  u.
2018, 19syl5ibrcom 146 . . . . . . . . . 10  { ,  }  C_  u.
2110, 20jaod 636 . . . . . . . . 9  { }  { ,  }  C_  u.
22 vex 2554 . . . . . . . . . 10 
_V
2322elpr 3385 . . . . . . . . 9  { { } ,  { ,  } }  { }  { ,  }
2422elpw 3357 . . . . . . . . 9  ~P  u.  C_  u.
2521, 23, 243imtr4g 194 . . . . . . . 8  { { } ,  { ,  } }  ~P  u.
2625ssrdv 2945 . . . . . . 7  { { } ,  { ,  } }  C_  ~P  u.
274, 26syl5eqss 2983 . . . . . 6  <. , 
>.  C_  ~P  u.
28 sseq1 2960 . . . . . . 7  <. , 
>.  C_  ~P  u. 
<. ,  >.  C_ 
~P  u.
2928biimpar 281 . . . . . 6  <. ,  >.  <. ,  >.  C_  ~P  u.  C_  ~P  u.
3027, 29sylan2 270 . . . . 5  <. ,  >.  C_  ~P  u.
3130exlimivv 1773 . . . 4  <. , 
>.  C_  ~P  u.
321, 31syl 14 . . 3  X.  C_ 
~P  u.
3322elpw 3357 . . 3  ~P ~P  u.  C_  ~P  u.
3432, 33sylibr 137 . 2  X.  ~P ~P  u.
3534ssriv 2943 1  X.  C_  ~P ~P  u.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   wo 628   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390    u. cun 2909    C_ wss 2911   ~Pcpw 3351   {csn 3367   {cpr 3368   <.cop 3370    X. cxp 4286
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-opab 3810  df-xp 4294
This theorem is referenced by:  unixpss  4394  xpexg  4395
  Copyright terms: Public domain W3C validator