Theorem nqpi 6476

Description: Decomposition of a positive fraction into numerator and denominator. Similar to dmaddpqlem 6475 but also shows that the numerator and denominator are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqpi	|- ( A e. Q. -> E. w E. v ( ( w e. N. /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q ) )

Distinct variable group:   v, A, w

Proof of Theorem nqpi

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elqsi 6158	. . 3 |- ( A e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) -> E. a e. ( N. X. N. ) A = [ a ] ~Q )
2		elxpi 4361	. . . . . . 7 |- ( a e. ( N. X. N. ) -> E. w E. v ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) )
3	2	anim1i 323	. . . . . 6 |- ( ( a e. ( N. X. N. ) /\ A = [ a ] ~Q ) -> ( E. w E. v ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) )
4		19.41vv 1783	. . . . . 6 |- ( E. w E. v ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) <-> ( E. w E. v ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) )
5	3, 4	sylibr 137	. . . . 5 |- ( ( a e. ( N. X. N. ) /\ A = [ a ] ~Q ) -> E. w E. v ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) )
6		simplr 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) -> ( w e. N. /\ v e. N. ) )
7		simpr 103	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) -> A = [ a ] ~Q )
8		eceq1 6141	. . . . . . . . 9 |- ( a = <. w , v >. -> [ a ] ~Q = [ <. w , v >. ] ~Q )
9	8	ad2antrr 457	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) -> [ a ] ~Q = [ <. w , v >. ] ~Q )
10	7, 9	eqtrd 2072	. . . . . . 7 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) -> A = [ <. w , v >. ] ~Q )
11	6, 10	jca 290	. . . . . 6 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) -> ( ( w e. N. /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
12	11	2eximi 1492	. . . . 5 |- ( E. w E. v ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q ) -> E. w E. v ( ( w e. N. /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
13	5, 12	syl 14	. . . 4 |- ( ( a e. ( N. X. N. ) /\ A = [ a ] ~Q ) -> E. w E. v ( ( w e. N. /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
14	13	rexlimiva 2428	. . 3 |- ( E. a e. ( N. X. N. ) A = [ a ] ~Q -> E. w E. v ( ( w e. N. /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
15	1, 14	syl 14	. 2 |- ( A e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) -> E. w E. v ( ( w e. N. /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
16		df-nqqs 6446	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
17	15, 16	eleq2s 2132	1 |- ( A e. Q. -> E. w E. v ( ( w e. N. /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   E.wrex 2307   <.cop 3378   X. cxp 4343   [cec 6104   /.cqs 6105   N.cnpi 6370   ~Q ceq 6377   Q.cnq 6378

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-cnv 4353  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-ec 6108  df-qs 6112  df-nqqs 6446

This theorem is referenced by:  ltdcnq  6495  archnqq  6515  nqpnq0nq  6551  nqnq0a  6552  nqnq0m  6553