ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enq0ref Unicode version

Theorem enq0ref 6416
Description: The equivalence relation for non-negative fractions is reflexive. Lemma for enq0er 6418. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
enq0ref  om  X.  N. ~Q0

Proof of Theorem enq0ref
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxpi 4304 . . . . . 6  om  X.  N. 
<. ,  >.  om  N.
2 elxpi 4304 . . . . . 6  om  X.  N. 
<. ,  >.  om  N.
3 ee4anv 1806 . . . . . 6  <. ,  >. 
om  N.  <. ,  >.  om  N.  <. ,  >.  om  N.  <. ,  >.  om  N.
41, 2, 3sylanbrc 394 . . . . 5  om  X.  N. 
<. ,  >.  om  N. 
<. ,  >.  om  N.
5 eqtr2 2055 . . . . . . . . . . . 12  <. ,  >.  <. ,  >.  <. ,  >.  <. ,  >.
6 vex 2554 . . . . . . . . . . . . 13 
_V
7 vex 2554 . . . . . . . . . . . . 13 
_V
86, 7opth 3965 . . . . . . . . . . . 12  <. ,  >.  <. ,  >.
95, 8sylib 127 . . . . . . . . . . 11  <. ,  >.  <. ,  >.
10 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . 12  .o  .o
11 oveq2 5463 . . . . . . . . . . . . 13  .o  .o
1211equcoms 1591 . . . . . . . . . . . 12  .o  .o
1310, 12sylan9eq 2089 . . . . . . . . . . 11  .o  .o
149, 13syl 14 . . . . . . . . . 10  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
1514ancli 306 . . . . . . . . 9  <. ,  >.  <. ,  >.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
1615ad2ant2r 478 . . . . . . . 8  <. ,  >.  om  N.  <. ,  >.  om  N. 
<. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
17 pinn 6293 . . . . . . . . . . . . . 14  N.  om
18 nnmcom 6007 . . . . . . . . . . . . . 14  om  om  .o  .o
1917, 18sylan2 270 . . . . . . . . . . . . 13  om  N.  .o  .o
2019eqeq2d 2048 . . . . . . . . . . . 12  om  N.  .o  .o  .o  .o
2120ancoms 255 . . . . . . . . . . 11  N.  om  .o  .o  .o  .o
2221ad2ant2lr 479 . . . . . . . . . 10  om  N.  om  N.  .o  .o  .o  .o
2322ad2ant2l 477 . . . . . . . . 9  <. ,  >.  om  N.  <. ,  >.  om  N.  .o  .o  .o  .o
2423anbi2d 437 . . . . . . . 8  <. ,  >.  om  N.  <. ,  >.  om  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
2516, 24mpbid 135 . . . . . . 7  <. ,  >.  om  N.  <. ,  >.  om  N. 
<. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
26252eximi 1489 . . . . . 6  <. ,  >.  om  N.  <. ,  >.  om  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
27262eximi 1489 . . . . 5  <. ,  >. 
om  N.  <. ,  >.  om  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
284, 27syl 14 . . . 4  om  X.  N. 
<. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
2928ancli 306 . . 3  om  X.  N.  om  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
30 vex 2554 . . . . 5 
_V
31 eleq1 2097 . . . . . . 7  om  X.  N.  om  X.  N.
3231anbi1d 438 . . . . . 6  om  X.  N.  om  X.  N.  om  X.  N.  om  X.  N.
33 eqeq1 2043 . . . . . . . . 9  <. ,  >.  <. ,  >.
3433anbi1d 438 . . . . . . . 8  <. ,  >.  <. ,  >. 
<. ,  >.  <. ,  >.
3534anbi1d 438 . . . . . . 7  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
36354exbidv 1747 . . . . . 6  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o 
<. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
3732, 36anbi12d 442 . . . . 5  om  X.  N.  om  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  om  X.  N.  om  X.  N. 
<. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
38 eleq1 2097 . . . . . . 7  om  X.  N.  om  X.  N.
3938anbi2d 437 . . . . . 6  om  X.  N.  om  X.  N.  om  X.  N.  om  X.  N.
40 eqeq1 2043 . . . . . . . . 9  <. ,  >.  <. ,  >.
4140anbi2d 437 . . . . . . . 8  <. ,  >.  <. ,  >. 
<. ,  >.  <. ,  >.
4241anbi1d 438 . . . . . . 7  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
43424exbidv 1747 . . . . . 6  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o 
<. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
4439, 43anbi12d 442 . . . . 5  om  X.  N.  om  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  om  X.  N.  om  X.  N. 
<. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
45 df-enq0 6407 . . . . 5 ~Q0  { <. ,  >.  |  om  X.  N.  om  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  }
4630, 30, 37, 44, 45brab 4000 . . . 4 ~Q0  om  X.  N.  om  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
47 anidm 376 . . . . 5  om  X.  N.  om  X.  N.  om  X.  N.
4847anbi1i 431 . . . 4  om  X.  N.  om  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  om  X.  N. 
<. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
4946, 48bitri 173 . . 3 ~Q0  om  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
5029, 49sylibr 137 . 2  om  X.  N. ~Q0
5149simplbi 259 . 2 ~Q0  om  X.  N.
5250, 51impbii 117 1  om  X.  N. ~Q0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   wb 98   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   <.cop 3370   class class class wbr 3755   omcom 4256    X. cxp 4286  (class class class)co 5455    .o comu 5938   N.cnpi 6256   ~Q0 ceq0 6270
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-ni 6288  df-enq0 6407
This theorem is referenced by:  enq0er  6418
  Copyright terms: Public domain W3C validator