Theorem enq0ref 6531

Description: The equivalence relation for non-negative fractions is reflexive. Lemma for enq0er 6533. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
enq0ref	|- ( f e. ( om X. N. ) <-> f ~Q0 f )

Proof of Theorem enq0ref

Dummy variables u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxpi 4361	. . . . . 6 |- ( f e. ( om X. N. ) -> E. z E. w ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) )
2		elxpi 4361	. . . . . 6 |- ( f e. ( om X. N. ) -> E. v E. u ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) )
3		ee4anv 1809	. . . . . 6 |- ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) <-> ( E. z E. w ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ E. v E. u ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) )
4	1, 2, 3	sylanbrc 394	. . . . 5 |- ( f e. ( om X. N. ) -> E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) )
5		eqtr2 2058	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) -> <. z , w >. = <. v , u >. )
6		vex 2560	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. _V
7		vex 2560	. . . . . . . . . . . . 13 |- w e. _V
8	6, 7	opth 3974	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. z , w >. = <. v , u >. <-> ( z = v /\ w = u ) )
9	5, 8	sylib 127	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) -> ( z = v /\ w = u ) )
10		oveq1 5519	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = v -> ( z .o u ) = ( v .o u ) )
11		oveq2 5520	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = w -> ( v .o u ) = ( v .o w ) )
12	11	equcoms 1594	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = u -> ( v .o u ) = ( v .o w ) )
13	10, 12	sylan9eq 2092	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z = v /\ w = u ) -> ( z .o u ) = ( v .o w ) )
14	9, 13	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) -> ( z .o u ) = ( v .o w ) )
15	14	ancli 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) -> ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( v .o w ) ) )
16	15	ad2ant2r 478	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( v .o w ) ) )
17		pinn 6407	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. N. -> w e. om )
18		nnmcom 6068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. om /\ w e. om ) -> ( v .o w ) = ( w .o v ) )
19	17, 18	sylan2 270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. om /\ w e. N. ) -> ( v .o w ) = ( w .o v ) )
20	19	eqeq2d 2051	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. om /\ w e. N. ) -> ( ( z .o u ) = ( v .o w ) <-> ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
21	20	ancoms 255	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. N. /\ v e. om ) -> ( ( z .o u ) = ( v .o w ) <-> ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
22	21	ad2ant2lr 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( z .o u ) = ( v .o w ) <-> ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
23	22	ad2ant2l 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( ( z .o u ) = ( v .o w ) <-> ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
24	23	anbi2d 437	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( v .o w ) ) <-> ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
25	16, 24	mpbid 135	. . . . . . 7 |- ( ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
26	25	2eximi 1492	. . . . . 6 |- ( E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
27	26	2eximi 1492	. . . . 5 |- ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
28	4, 27	syl 14	. . . 4 |- ( f e. ( om X. N. ) -> E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
29	28	ancli 306	. . 3 |- ( f e. ( om X. N. ) -> ( f e. ( om X. N. ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
30		vex 2560	. . . . 5 |- f e. _V
31		eleq1 2100	. . . . . . 7 |- ( x = f -> ( x e. ( om X. N. ) <-> f e. ( om X. N. ) ) )
32	31	anbi1d 438	. . . . . 6 |- ( x = f -> ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) ) )
33		eqeq1 2046	. . . . . . . . 9 |- ( x = f -> ( x = <. z , w >. <-> f = <. z , w >. ) )
34	33	anbi1d 438	. . . . . . . 8 |- ( x = f -> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) <-> ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) )
35	34	anbi1d 438	. . . . . . 7 |- ( x = f -> ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
36	35	4exbidv 1750	. . . . . 6 |- ( x = f -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
37	32, 36	anbi12d 442	. . . . 5 |- ( x = f -> ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) ) )
38		eleq1 2100	. . . . . . 7 |- ( y = f -> ( y e. ( om X. N. ) <-> f e. ( om X. N. ) ) )
39	38	anbi2d 437	. . . . . 6 |- ( y = f -> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) ) )
40		eqeq1 2046	. . . . . . . . 9 |- ( y = f -> ( y = <. v , u >. <-> f = <. v , u >. ) )
41	40	anbi2d 437	. . . . . . . 8 |- ( y = f -> ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) <-> ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) ) )
42	41	anbi1d 438	. . . . . . 7 |- ( y = f -> ( ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
43	42	4exbidv 1750	. . . . . 6 |- ( y = f -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
44	39, 43	anbi12d 442	. . . . 5 |- ( y = f -> ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) ) )
45		df-enq0 6522	. . . . 5 |- ~Q0 = { <. x , y >. | ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) }
46	30, 30, 37, 44, 45	brab 4009	. . . 4 |- ( f ~Q0 f <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
47		anidm 376	. . . . 5 |- ( ( f e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) <-> f e. ( om X. N. ) )
48	47	anbi1i 431	. . . 4 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
49	46, 48	bitri 173	. . 3 |- ( f ~Q0 f <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
50	29, 49	sylibr 137	. 2 |- ( f e. ( om X. N. ) -> f ~Q0 f )
51	49	simplbi 259	. 2 |- ( f ~Q0 f -> f e. ( om X. N. ) )
52	50, 51	impbii 117	1 |- ( f e. ( om X. N. ) <-> f ~Q0 f )

Syntax hints:   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   <.cop 3378   class class class wbr 3764   omcom 4313   X. cxp 4343  (class class class)co 5512   .o comu 5999   N.cnpi 6370   ~_Q0 ceq0 6384

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-ni 6402  df-enq0 6522

This theorem is referenced by:  enq0er  6533