ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enq0ref Structured version   GIF version

Theorem enq0ref 6282
Description: The equivalence relation for non-negative fractions is reflexive. Lemma for enq0er 6284. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
enq0ref (f (𝜔 × N) ↔ f ~Q0 f)

Proof of Theorem enq0ref
Dummy variables u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxpi 4284 . . . . . 6 (f (𝜔 × N) → zw(f = ⟨z, w (z 𝜔 w N)))
2 elxpi 4284 . . . . . 6 (f (𝜔 × N) → vu(f = ⟨v, u (v 𝜔 u N)))
3 ee4anv 1787 . . . . . 6 (zwvu((f = ⟨z, w (z 𝜔 w N)) (f = ⟨v, u (v 𝜔 u N))) ↔ (zw(f = ⟨z, w (z 𝜔 w N)) vu(f = ⟨v, u (v 𝜔 u N))))
41, 2, 3sylanbrc 396 . . . . 5 (f (𝜔 × N) → zwvu((f = ⟨z, w (z 𝜔 w N)) (f = ⟨v, u (v 𝜔 u N))))
5 eqtr2 2036 . . . . . . . . . . . 12 ((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) → ⟨z, w⟩ = ⟨v, u⟩)
6 vex 2534 . . . . . . . . . . . . 13 z V
7 vex 2534 . . . . . . . . . . . . 13 w V
86, 7opth 3944 . . . . . . . . . . . 12 (⟨z, w⟩ = ⟨v, u⟩ ↔ (z = v w = u))
95, 8sylib 127 . . . . . . . . . . 11 ((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) → (z = v w = u))
10 oveq1 5439 . . . . . . . . . . . 12 (z = v → (z ·𝑜 u) = (v ·𝑜 u))
11 oveq2 5440 . . . . . . . . . . . . 13 (u = w → (v ·𝑜 u) = (v ·𝑜 w))
1211equcoms 1572 . . . . . . . . . . . 12 (w = u → (v ·𝑜 u) = (v ·𝑜 w))
1310, 12sylan9eq 2070 . . . . . . . . . . 11 ((z = v w = u) → (z ·𝑜 u) = (v ·𝑜 w))
149, 13syl 14 . . . . . . . . . 10 ((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) → (z ·𝑜 u) = (v ·𝑜 w))
1514ancli 306 . . . . . . . . 9 ((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) → ((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (v ·𝑜 w)))
1615ad2ant2r 466 . . . . . . . 8 (((f = ⟨z, w (z 𝜔 w N)) (f = ⟨v, u (v 𝜔 u N))) → ((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (v ·𝑜 w)))
17 pinn 6163 . . . . . . . . . . . . . 14 (w Nw 𝜔)
18 nnmcom 5979 . . . . . . . . . . . . . 14 ((v 𝜔 w 𝜔) → (v ·𝑜 w) = (w ·𝑜 v))
1917, 18sylan2 270 . . . . . . . . . . . . 13 ((v 𝜔 w N) → (v ·𝑜 w) = (w ·𝑜 v))
2019eqeq2d 2029 . . . . . . . . . . . 12 ((v 𝜔 w N) → ((z ·𝑜 u) = (v ·𝑜 w) ↔ (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v)))
2120ancoms 255 . . . . . . . . . . 11 ((w N v 𝜔) → ((z ·𝑜 u) = (v ·𝑜 w) ↔ (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v)))
2221ad2ant2lr 467 . . . . . . . . . 10 (((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → ((z ·𝑜 u) = (v ·𝑜 w) ↔ (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v)))
2322ad2ant2l 465 . . . . . . . . 9 (((f = ⟨z, w (z 𝜔 w N)) (f = ⟨v, u (v 𝜔 u N))) → ((z ·𝑜 u) = (v ·𝑜 w) ↔ (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v)))
2423anbi2d 440 . . . . . . . 8 (((f = ⟨z, w (z 𝜔 w N)) (f = ⟨v, u (v 𝜔 u N))) → (((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (v ·𝑜 w)) ↔ ((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v))))
2516, 24mpbid 135 . . . . . . 7 (((f = ⟨z, w (z 𝜔 w N)) (f = ⟨v, u (v 𝜔 u N))) → ((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v)))
26252eximi 1470 . . . . . 6 (vu((f = ⟨z, w (z 𝜔 w N)) (f = ⟨v, u (v 𝜔 u N))) → vu((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v)))
27262eximi 1470 . . . . 5 (zwvu((f = ⟨z, w (z 𝜔 w N)) (f = ⟨v, u (v 𝜔 u N))) → zwvu((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v)))
284, 27syl 14 . . . 4 (f (𝜔 × N) → zwvu((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v)))
2928ancli 306 . . 3 (f (𝜔 × N) → (f (𝜔 × N) zwvu((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v))))
30 vex 2534 . . . . 5 f V
31 eleq1 2078 . . . . . . 7 (x = f → (x (𝜔 × N) ↔ f (𝜔 × N)))
3231anbi1d 441 . . . . . 6 (x = f → ((x (𝜔 × N) y (𝜔 × N)) ↔ (f (𝜔 × N) y (𝜔 × N))))
33 eqeq1 2024 . . . . . . . . 9 (x = f → (x = ⟨z, w⟩ ↔ f = ⟨z, w⟩))
3433anbi1d 441 . . . . . . . 8 (x = f → ((x = ⟨z, w y = ⟨v, u⟩) ↔ (f = ⟨z, w y = ⟨v, u⟩)))
3534anbi1d 441 . . . . . . 7 (x = f → (((x = ⟨z, w y = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v)) ↔ ((f = ⟨z, w y = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v))))
36354exbidv 1728 . . . . . 6 (x = f → (zwvu((x = ⟨z, w y = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v)) ↔ zwvu((f = ⟨z, w y = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v))))
3732, 36anbi12d 445 . . . . 5 (x = f → (((x (𝜔 × N) y (𝜔 × N)) zwvu((x = ⟨z, w y = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v))) ↔ ((f (𝜔 × N) y (𝜔 × N)) zwvu((f = ⟨z, w y = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v)))))
38 eleq1 2078 . . . . . . 7 (y = f → (y (𝜔 × N) ↔ f (𝜔 × N)))
3938anbi2d 440 . . . . . 6 (y = f → ((f (𝜔 × N) y (𝜔 × N)) ↔ (f (𝜔 × N) f (𝜔 × N))))
40 eqeq1 2024 . . . . . . . . 9 (y = f → (y = ⟨v, u⟩ ↔ f = ⟨v, u⟩))
4140anbi2d 440 . . . . . . . 8 (y = f → ((f = ⟨z, w y = ⟨v, u⟩) ↔ (f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩)))
4241anbi1d 441 . . . . . . 7 (y = f → (((f = ⟨z, w y = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v)) ↔ ((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v))))
43424exbidv 1728 . . . . . 6 (y = f → (zwvu((f = ⟨z, w y = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v)) ↔ zwvu((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v))))
4439, 43anbi12d 445 . . . . 5 (y = f → (((f (𝜔 × N) y (𝜔 × N)) zwvu((f = ⟨z, w y = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v))) ↔ ((f (𝜔 × N) f (𝜔 × N)) zwvu((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v)))))
45 df-enq0 6273 . . . . 5 ~Q0 = {⟨x, y⟩ ∣ ((x (𝜔 × N) y (𝜔 × N)) zwvu((x = ⟨z, w y = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v)))}
4630, 30, 37, 44, 45brab 3979 . . . 4 (f ~Q0 f ↔ ((f (𝜔 × N) f (𝜔 × N)) zwvu((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v))))
47 anidm 376 . . . . 5 ((f (𝜔 × N) f (𝜔 × N)) ↔ f (𝜔 × N))
4847anbi1i 434 . . . 4 (((f (𝜔 × N) f (𝜔 × N)) zwvu((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v))) ↔ (f (𝜔 × N) zwvu((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v))))
4946, 48bitri 173 . . 3 (f ~Q0 f ↔ (f (𝜔 × N) zwvu((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v))))
5029, 49sylibr 137 . 2 (f (𝜔 × N) → f ~Q0 f)
5149simplbi 259 . 2 (f ~Q0 ff (𝜔 × N))
5250, 51impbii 117 1 (f (𝜔 × N) ↔ f ~Q0 f)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97  wb 98   = wceq 1226  wex 1358   wcel 1370  cop 3349   class class class wbr 3734  𝜔com 4236   × cxp 4266  (class class class)co 5432   ·𝑜 comu 5910  Ncnpi 6126   ~Q0 ceq0 6140
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-coll 3842  ax-sep 3845  ax-nul 3853  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116  ax-setind 4200  ax-iinf 4234
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-ral 2285  df-rex 2286  df-reu 2287  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-int 3586  df-iun 3629  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-tr 3825  df-id 4000  df-iord 4048  df-on 4050  df-suc 4053  df-iom 4237  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-f1 4830  df-fo 4831  df-f1o 4832  df-fv 4833  df-ov 5435  df-oprab 5436  df-mpt2 5437  df-1st 5686  df-2nd 5687  df-recs 5838  df-irdg 5874  df-oadd 5916  df-omul 5917  df-ni 6158  df-enq0 6273
This theorem is referenced by:  enq0er  6284
  Copyright terms: Public domain W3C validator