ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enq0ref Structured version   GIF version

Theorem enq0ref 6415
Description: The equivalence relation for non-negative fractions is reflexive. Lemma for enq0er 6417. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
enq0ref (f (𝜔 × N) ↔ f ~Q0 f)

Proof of Theorem enq0ref
Dummy variables u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxpi 4304 . . . . . 6 (f (𝜔 × N) → zw(f = ⟨z, w (z 𝜔 w N)))
2 elxpi 4304 . . . . . 6 (f (𝜔 × N) → vu(f = ⟨v, u (v 𝜔 u N)))
3 ee4anv 1806 . . . . . 6 (zwvu((f = ⟨z, w (z 𝜔 w N)) (f = ⟨v, u (v 𝜔 u N))) ↔ (zw(f = ⟨z, w (z 𝜔 w N)) vu(f = ⟨v, u (v 𝜔 u N))))
41, 2, 3sylanbrc 394 . . . . 5 (f (𝜔 × N) → zwvu((f = ⟨z, w (z 𝜔 w N)) (f = ⟨v, u (v 𝜔 u N))))
5 eqtr2 2055 . . . . . . . . . . . 12 ((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) → ⟨z, w⟩ = ⟨v, u⟩)
6 vex 2554 . . . . . . . . . . . . 13 z V
7 vex 2554 . . . . . . . . . . . . 13 w V
86, 7opth 3965 . . . . . . . . . . . 12 (⟨z, w⟩ = ⟨v, u⟩ ↔ (z = v w = u))
95, 8sylib 127 . . . . . . . . . . 11 ((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) → (z = v w = u))
10 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . 12 (z = v → (z ·𝑜 u) = (v ·𝑜 u))
11 oveq2 5463 . . . . . . . . . . . . 13 (u = w → (v ·𝑜 u) = (v ·𝑜 w))
1211equcoms 1591 . . . . . . . . . . . 12 (w = u → (v ·𝑜 u) = (v ·𝑜 w))
1310, 12sylan9eq 2089 . . . . . . . . . . 11 ((z = v w = u) → (z ·𝑜 u) = (v ·𝑜 w))
149, 13syl 14 . . . . . . . . . 10 ((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) → (z ·𝑜 u) = (v ·𝑜 w))
1514ancli 306 . . . . . . . . 9 ((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) → ((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (v ·𝑜 w)))
1615ad2ant2r 478 . . . . . . . 8 (((f = ⟨z, w (z 𝜔 w N)) (f = ⟨v, u (v 𝜔 u N))) → ((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (v ·𝑜 w)))
17 pinn 6293 . . . . . . . . . . . . . 14 (w Nw 𝜔)
18 nnmcom 6007 . . . . . . . . . . . . . 14 ((v 𝜔 w 𝜔) → (v ·𝑜 w) = (w ·𝑜 v))
1917, 18sylan2 270 . . . . . . . . . . . . 13 ((v 𝜔 w N) → (v ·𝑜 w) = (w ·𝑜 v))
2019eqeq2d 2048 . . . . . . . . . . . 12 ((v 𝜔 w N) → ((z ·𝑜 u) = (v ·𝑜 w) ↔ (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v)))
2120ancoms 255 . . . . . . . . . . 11 ((w N v 𝜔) → ((z ·𝑜 u) = (v ·𝑜 w) ↔ (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v)))
2221ad2ant2lr 479 . . . . . . . . . 10 (((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → ((z ·𝑜 u) = (v ·𝑜 w) ↔ (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v)))
2322ad2ant2l 477 . . . . . . . . 9 (((f = ⟨z, w (z 𝜔 w N)) (f = ⟨v, u (v 𝜔 u N))) → ((z ·𝑜 u) = (v ·𝑜 w) ↔ (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v)))
2423anbi2d 437 . . . . . . . 8 (((f = ⟨z, w (z 𝜔 w N)) (f = ⟨v, u (v 𝜔 u N))) → (((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (v ·𝑜 w)) ↔ ((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v))))
2516, 24mpbid 135 . . . . . . 7 (((f = ⟨z, w (z 𝜔 w N)) (f = ⟨v, u (v 𝜔 u N))) → ((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v)))
26252eximi 1489 . . . . . 6 (vu((f = ⟨z, w (z 𝜔 w N)) (f = ⟨v, u (v 𝜔 u N))) → vu((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v)))
27262eximi 1489 . . . . 5 (zwvu((f = ⟨z, w (z 𝜔 w N)) (f = ⟨v, u (v 𝜔 u N))) → zwvu((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v)))
284, 27syl 14 . . . 4 (f (𝜔 × N) → zwvu((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v)))
2928ancli 306 . . 3 (f (𝜔 × N) → (f (𝜔 × N) zwvu((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v))))
30 vex 2554 . . . . 5 f V
31 eleq1 2097 . . . . . . 7 (x = f → (x (𝜔 × N) ↔ f (𝜔 × N)))
3231anbi1d 438 . . . . . 6 (x = f → ((x (𝜔 × N) y (𝜔 × N)) ↔ (f (𝜔 × N) y (𝜔 × N))))
33 eqeq1 2043 . . . . . . . . 9 (x = f → (x = ⟨z, w⟩ ↔ f = ⟨z, w⟩))
3433anbi1d 438 . . . . . . . 8 (x = f → ((x = ⟨z, w y = ⟨v, u⟩) ↔ (f = ⟨z, w y = ⟨v, u⟩)))
3534anbi1d 438 . . . . . . 7 (x = f → (((x = ⟨z, w y = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v)) ↔ ((f = ⟨z, w y = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v))))
36354exbidv 1747 . . . . . 6 (x = f → (zwvu((x = ⟨z, w y = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v)) ↔ zwvu((f = ⟨z, w y = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v))))
3732, 36anbi12d 442 . . . . 5 (x = f → (((x (𝜔 × N) y (𝜔 × N)) zwvu((x = ⟨z, w y = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v))) ↔ ((f (𝜔 × N) y (𝜔 × N)) zwvu((f = ⟨z, w y = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v)))))
38 eleq1 2097 . . . . . . 7 (y = f → (y (𝜔 × N) ↔ f (𝜔 × N)))
3938anbi2d 437 . . . . . 6 (y = f → ((f (𝜔 × N) y (𝜔 × N)) ↔ (f (𝜔 × N) f (𝜔 × N))))
40 eqeq1 2043 . . . . . . . . 9 (y = f → (y = ⟨v, u⟩ ↔ f = ⟨v, u⟩))
4140anbi2d 437 . . . . . . . 8 (y = f → ((f = ⟨z, w y = ⟨v, u⟩) ↔ (f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩)))
4241anbi1d 438 . . . . . . 7 (y = f → (((f = ⟨z, w y = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v)) ↔ ((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v))))
43424exbidv 1747 . . . . . 6 (y = f → (zwvu((f = ⟨z, w y = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v)) ↔ zwvu((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v))))
4439, 43anbi12d 442 . . . . 5 (y = f → (((f (𝜔 × N) y (𝜔 × N)) zwvu((f = ⟨z, w y = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v))) ↔ ((f (𝜔 × N) f (𝜔 × N)) zwvu((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v)))))
45 df-enq0 6406 . . . . 5 ~Q0 = {⟨x, y⟩ ∣ ((x (𝜔 × N) y (𝜔 × N)) zwvu((x = ⟨z, w y = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v)))}
4630, 30, 37, 44, 45brab 4000 . . . 4 (f ~Q0 f ↔ ((f (𝜔 × N) f (𝜔 × N)) zwvu((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v))))
47 anidm 376 . . . . 5 ((f (𝜔 × N) f (𝜔 × N)) ↔ f (𝜔 × N))
4847anbi1i 431 . . . 4 (((f (𝜔 × N) f (𝜔 × N)) zwvu((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v))) ↔ (f (𝜔 × N) zwvu((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v))))
4946, 48bitri 173 . . 3 (f ~Q0 f ↔ (f (𝜔 × N) zwvu((f = ⟨z, w f = ⟨v, u⟩) (z ·𝑜 u) = (w ·𝑜 v))))
5029, 49sylibr 137 . 2 (f (𝜔 × N) → f ~Q0 f)
5149simplbi 259 . 2 (f ~Q0 ff (𝜔 × N))
5250, 51impbii 117 1 (f (𝜔 × N) ↔ f ~Q0 f)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97  wb 98   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  cop 3370   class class class wbr 3755  𝜔com 4256   × cxp 4286  (class class class)co 5455   ·𝑜 comu 5938  Ncnpi 6256   ~Q0 ceq0 6270
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-ni 6288  df-enq0 6406
This theorem is referenced by:  enq0er  6417
  Copyright terms: Public domain W3C validator