ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enq0er Structured version   Unicode version

Theorem enq0er 6417
Description: The equivalence relation for non-negative fractions is an equivalence relation. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
enq0er ~Q0  Er  om  X.  N.

Proof of Theorem enq0er
Dummy variables  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-enq0 6406 . . . . 5 ~Q0  { <. ,  >.  |  om  X.  N.  om  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  }
21relopabi 4406 . . . 4  Rel ~Q0
32a1i 9 . . 3  Rel ~Q0
4 enq0sym 6414 . . . 4 ~Q0 ~Q0
54adantl 262 . . 3 ~Q0 ~Q0
6 enq0tr 6416 . . . 4 ~Q0 ~Q0  h ~Q0  h
76adantl 262 . . 3 ~Q0 ~Q0  h ~Q0  h
8 enq0ref 6415 . . . 4  om  X.  N. ~Q0
98a1i 9 . . 3  om  X.  N. ~Q0
103, 5, 7, 9iserd 6068 . 2 ~Q0  Er  om  X.  N.
1110trud 1251 1 ~Q0  Er  om  X.  N.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   wb 98   wceq 1242   wtru 1243  wex 1378   wcel 1390   <.cop 3370   class class class wbr 3755   omcom 4256    X. cxp 4286   Rel wrel 4293  (class class class)co 5455    .o comu 5938    Er wer 6039   N.cnpi 6256   ~Q0 ceq0 6270
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ni 6288  df-enq0 6406
This theorem is referenced by:  enq0eceq  6419  nqnq0pi  6420  mulcanenq0ec  6427  nnnq0lem1  6428  addnq0mo  6429  mulnq0mo  6430
  Copyright terms: Public domain W3C validator