ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enq0er Unicode version

Theorem enq0er 6533
Description: The equivalence relation for non-negative fractions is an equivalence relation. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
enq0er  |- ~Q0  Er  ( om  X.  N. )

Proof of Theorem enq0er
Dummy variables  f  g  h  x  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-enq0 6522 . . . . 5  |- ~Q0  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) }
21relopabi 4463 . . . 4  |-  Rel ~Q0
32a1i 9 . . 3  |-  ( T. 
->  Rel ~Q0  )
4 enq0sym 6530 . . . 4  |-  ( f ~Q0  g  ->  g ~Q0  f )
54adantl 262 . . 3  |-  ( ( T.  /\  f ~Q0  g )  ->  g ~Q0  f )
6 enq0tr 6532 . . . 4  |-  ( ( f ~Q0  g  /\  g ~Q0  h )  ->  f ~Q0  h )
76adantl 262 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( f ~Q0  g  /\  g ~Q0  h ) )  -> 
f ~Q0  h )
8 enq0ref 6531 . . . 4  |-  ( f  e.  ( om  X.  N. )  <->  f ~Q0  f )
98a1i 9 . . 3  |-  ( T. 
->  ( f  e.  ( om  X.  N. )  <->  f ~Q0  f
) )
103, 5, 7, 9iserd 6132 . 2  |-  ( T. 
-> ~Q0  Er  ( om  X.  N. ) )
1110trud 1252 1  |- ~Q0  Er  ( om  X.  N. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 97    <-> wb 98    = wceq 1243   T. wtru 1244   E.wex 1381    e. wcel 1393   <.cop 3378   class class class wbr 3764   omcom 4313    X. cxp 4343   Rel wrel 4350  (class class class)co 5512    .o comu 5999    Er wer 6103   N.cnpi 6370   ~Q0 ceq0 6384
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ni 6402  df-enq0 6522
This theorem is referenced by:  enq0eceq  6535  nqnq0pi  6536  mulcanenq0ec  6543  nnnq0lem1  6544  addnq0mo  6545  mulnq0mo  6546
  Copyright terms: Public domain W3C validator