ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enq0sym Unicode version

Theorem enq0sym 6415
Description: The equivalence relation for non-negative fractions is symmetric. Lemma for enq0er 6418. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
enq0sym ~Q0 ~Q0

Proof of Theorem enq0sym
Dummy variables  a  b  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2554 . . . . . . . 8 
_V
2 vex 2554 . . . . . . . 8 
_V
3 eleq1 2097 . . . . . . . . . 10  om  X.  N.  om  X.  N.
43anbi1d 438 . . . . . . . . 9  om  X.  N.  om  X.  N.  om  X.  N.  om  X.  N.
5 eqeq1 2043 . . . . . . . . . . . 12  <. ,  >.  <. ,  >.
65anbi1d 438 . . . . . . . . . . 11  <. ,  >.  <. ,  >. 
<. ,  >.  <. ,  >.
76anbi1d 438 . . . . . . . . . 10  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
874exbidv 1747 . . . . . . . . 9  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o 
<. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
94, 8anbi12d 442 . . . . . . . 8  om  X.  N.  om  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  om  X.  N.  om  X.  N. 
<. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
10 eleq1 2097 . . . . . . . . . 10  om  X.  N.  om  X.  N.
1110anbi2d 437 . . . . . . . . 9  om  X.  N.  om  X.  N.  om  X.  N.  om  X.  N.
12 eqeq1 2043 . . . . . . . . . . . 12  <. ,  >.  <. ,  >.
1312anbi2d 437 . . . . . . . . . . 11  <. ,  >.  <. ,  >. 
<. ,  >.  <. ,  >.
1413anbi1d 438 . . . . . . . . . 10  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
15144exbidv 1747 . . . . . . . . 9  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o 
<. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
1611, 15anbi12d 442 . . . . . . . 8  om  X.  N.  om  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  om  X.  N.  om  X.  N. 
<. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
17 df-enq0 6407 . . . . . . . 8 ~Q0  { <. ,  >.  |  om  X.  N.  om  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  }
181, 2, 9, 16, 17brab 4000 . . . . . . 7 ~Q0  om  X.  N.  om  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
1918biimpi 113 . . . . . 6 ~Q0  om  X.  N.  om  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
20 opeq12 3542 . . . . . . . . . . 11  a  b  <. ,  >.  <. a ,  b
>.
2120eqeq2d 2048 . . . . . . . . . 10  a  b  <. ,  >. 
<. a ,  b >.
2221anbi1d 438 . . . . . . . . 9  a  b 
<. ,  >.  <. ,  >.  <. a ,  b
>.  <. ,  >.
23 simpl 102 . . . . . . . . . . 11  a  b  a
2423oveq1d 5470 . . . . . . . . . 10  a  b  .o  a  .o
25 simpr 103 . . . . . . . . . . 11  a  b  b
2625oveq1d 5470 . . . . . . . . . 10  a  b  .o  b  .o
2724, 26eqeq12d 2051 . . . . . . . . 9  a  b  .o  .o  a  .o  b  .o
2822, 27anbi12d 442 . . . . . . . 8  a  b  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  <. a ,  b >.  <. ,  >.  a  .o  b  .o
29 opeq12 3542 . . . . . . . . . . 11  c  d  <. ,  >.  <. c ,  d
>.
3029eqeq2d 2048 . . . . . . . . . 10  c  d  <. ,  >. 
<. c ,  d >.
3130anbi2d 437 . . . . . . . . 9  c  d 
<. a ,  b >.  <. ,  >.  <. a ,  b >.  <. c ,  d
>.
32 simpr 103 . . . . . . . . . . 11  c  d  d
3332oveq2d 5471 . . . . . . . . . 10  c  d  a  .o  a  .o  d
34 simpl 102 . . . . . . . . . . 11  c  d  c
3534oveq2d 5471 . . . . . . . . . 10  c  d  b  .o  b  .o  c
3633, 35eqeq12d 2051 . . . . . . . . 9  c  d  a  .o  b  .o  a  .o  d  b  .o  c
3731, 36anbi12d 442 . . . . . . . 8  c  d  <. a ,  b
>.  <. ,  >.  a  .o  b  .o  <. a ,  b >.  <. c ,  d
>. 
a  .o  d  b  .o  c
3828, 37cbvex4v 1802 . . . . . . 7  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  a b c d  <. a ,  b
>.  <. c ,  d >.  a  .o  d  b  .o  c
3938anbi2i 430 . . . . . 6  om  X.  N.  om  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  om  X.  N.  om  X.  N.  a b c d  <. a ,  b
>.  <. c ,  d >.  a  .o  d  b  .o  c
4019, 39sylib 127 . . . . 5 ~Q0  om  X.  N.  om  X.  N.  a b c d  <. a ,  b
>.  <. c ,  d >.  a  .o  d  b  .o  c
41 19.42vv 1785 . . . . 5  a b  om  X.  N.  om  X.  N.  c d  <. a ,  b
>.  <. c ,  d >.  a  .o  d  b  .o  c  om  X.  N.  om  X.  N.  a b c d  <. a ,  b
>.  <. c ,  d >.  a  .o  d  b  .o  c
4240, 41sylibr 137 . . . 4 ~Q0  a b  om  X.  N.  om  X.  N.  c d  <. a ,  b >.  <. c ,  d
>. 
a  .o  d  b  .o  c
43 19.42vv 1785 . . . . 5  c d  om  X.  N.  om  X.  N.  <. a ,  b >.  <. c ,  d
>. 
a  .o  d  b  .o  c  om  X.  N.  om  X.  N.  c d  <. a ,  b
>.  <. c ,  d >.  a  .o  d  b  .o  c
44432exbii 1494 . . . 4  a b c d  om  X.  N.  om  X.  N.  <. a ,  b >.  <. c ,  d
>. 
a  .o  d  b  .o  c  a b  om  X.  N.  om  X.  N.  c d  <. a ,  b >.  <. c ,  d
>. 
a  .o  d  b  .o  c
4542, 44sylibr 137 . . 3 ~Q0  a b c d  om  X.  N.  om  X.  N. 
<. a ,  b >.  <. c ,  d >.  a  .o  d  b  .o  c
46 pm3.22 252 . . . . . . 7  om  X.  N.  om  X.  N.  om  X.  N.  om  X.  N.
4746adantr 261 . . . . . 6  om  X.  N.  om  X.  N. 
<. a ,  b >.  <. c ,  d >.  a  .o  d  b  .o  c  om  X.  N.  om  X.  N.
48 pm3.22 252 . . . . . . 7  <. a ,  b >.  <. c ,  d
>.  <. c ,  d >.  <. a ,  b
>.
4948ad2antrl 459 . . . . . 6  om  X.  N.  om  X.  N. 
<. a ,  b >.  <. c ,  d >.  a  .o  d  b  .o  c  <. c ,  d >.  <. a ,  b
>.
50 simprr 484 . . . . . . . 8  om  X.  N.  om  X.  N. 
<. a ,  b >.  <. c ,  d >.  a  .o  d  b  .o  c  a  .o  d  b  .o  c
51 eleq1 2097 . . . . . . . . . . . . . 14  <. a ,  b
>.  om  X.  N. 
<. a ,  b >.  om  X.  N.
52 opelxp 4317 . . . . . . . . . . . . . 14  <. a ,  b >.  om  X.  N.  a  om  b  N.
5351, 52syl6bb 185 . . . . . . . . . . . . 13  <. a ,  b
>.  om  X.  N.  a  om  b  N.
5453biimpcd 148 . . . . . . . . . . . 12  om  X.  N.  <. a ,  b >. 
a  om  b  N.
55 eleq1 2097 . . . . . . . . . . . . . 14  <. c ,  d
>.  om  X.  N. 
<. c ,  d >.  om  X.  N.
56 opelxp 4317 . . . . . . . . . . . . . 14  <. c ,  d >.  om  X.  N.  c  om  d  N.
5755, 56syl6bb 185 . . . . . . . . . . . . 13  <. c ,  d
>.  om  X.  N.  c  om  d  N.
5857biimpcd 148 . . . . . . . . . . . 12  om  X.  N.  <. c ,  d >. 
c  om  d  N.
5954, 58im2anan9 530 . . . . . . . . . . 11  om  X.  N.  om  X.  N.  <. a ,  b >.  <. c ,  d
>.  a  om  b  N.  c  om  d  N.
6059imp 115 . . . . . . . . . 10  om  X.  N.  om  X.  N.  <. a ,  b >.  <. c ,  d
>.  a  om  b  N.  c  om  d  N.
6160adantrr 448 . . . . . . . . 9  om  X.  N.  om  X.  N. 
<. a ,  b >.  <. c ,  d >.  a  .o  d  b  .o  c  a 
om  b  N. 
c  om  d  N.
62 pinn 6293 . . . . . . . . . . . 12  d  N.  d  om
63 nnmcom 6007 . . . . . . . . . . . 12  a  om  d  om  a  .o  d  d  .o  a
6462, 63sylan2 270 . . . . . . . . . . 11  a  om  d  N.  a  .o  d  d  .o  a
65 pinn 6293 . . . . . . . . . . . 12  b  N.  b  om
66 nnmcom 6007 . . . . . . . . . . . 12  b  om  c  om  b  .o  c  c  .o  b
6765, 66sylan 267 . . . . . . . . . . 11  b  N.  c  om  b  .o  c  c  .o  b
6864, 67eqeqan12d 2052 . . . . . . . . . 10  a  om  d  N.  b  N.  c  om  a  .o  d  b  .o  c  d  .o  a  c  .o  b
6968an42s 523 . . . . . . . . 9  a  om  b  N.  c  om  d  N.  a  .o  d  b  .o  c  d  .o  a  c  .o  b
7061, 69syl 14 . . . . . . . 8  om  X.  N.  om  X.  N. 
<. a ,  b >.  <. c ,  d >.  a  .o  d  b  .o  c  a  .o  d  b  .o  c  d  .o  a  c  .o  b
7150, 70mpbid 135 . . . . . . 7  om  X.  N.  om  X.  N. 
<. a ,  b >.  <. c ,  d >.  a  .o  d  b  .o  c  d  .o  a  c  .o  b
7271eqcomd 2042 . . . . . 6  om  X.  N.  om  X.  N. 
<. a ,  b >.  <. c ,  d >.  a  .o  d  b  .o  c  c  .o  b  d  .o  a
7347, 49, 72jca32 293 . . . . 5  om  X.  N.  om  X.  N. 
<. a ,  b >.  <. c ,  d >.  a  .o  d  b  .o  c  om  X.  N.  om  X.  N.  <. c ,  d
>.  <. a ,  b >.  c  .o  b  d  .o  a
74732eximi 1489 . . . 4  c d  om  X.  N.  om  X.  N.  <. a ,  b >.  <. c ,  d
>. 
a  .o  d  b  .o  c  c d  om  X.  N.  om  X.  N. 
<. c ,  d >.  <. a ,  b >.  c  .o  b  d  .o  a
75742eximi 1489 . . 3  a b c d  om  X.  N.  om  X.  N.  <. a ,  b >.  <. c ,  d
>. 
a  .o  d  b  .o  c  a b c d  om  X.  N.  om  X.  N. 
<. c ,  d >.  <. a ,  b >.  c  .o  b  d  .o  a
7645, 75syl 14 . 2 ~Q0  a b c d  om  X.  N.  om  X.  N. 
<. c ,  d >.  <. a ,  b >.  c  .o  b  d  .o  a
77 exrot4 1578 . . 3  a b c d  om  X.  N.  om  X.  N.  <. c ,  d >.  <. a ,  b
>. 
c  .o  b  d  .o  a  c d a b  om  X.  N.  om  X.  N. 
<. c ,  d >.  <. a ,  b >.  c  .o  b  d  .o  a
78 19.42vv 1785 . . . . 5  a b  om  X.  N.  om  X.  N.  <. c ,  d >.  <. a ,  b
>. 
c  .o  b  d  .o  a  om  X.  N.  om  X.  N.  a b  <. c ,  d
>.  <. a ,  b >.  c  .o  b  d  .o  a
79782exbii 1494 . . . 4  c d a b  om  X.  N.  om  X.  N.  <. c ,  d >.  <. a ,  b
>. 
c  .o  b  d  .o  a  c d  om  X.  N.  om  X.  N.  a b  <. c ,  d >.  <. a ,  b
>. 
c  .o  b  d  .o  a
80 19.42vv 1785 . . . . 5  c d  om  X.  N.  om  X.  N.  a b  <. c ,  d
>.  <. a ,  b >.  c  .o  b  d  .o  a  om  X.  N.  om  X.  N.  c d a b  <. c ,  d
>.  <. a ,  b >.  c  .o  b  d  .o  a
81 opeq12 3542 . . . . . . . . . 10  c  d  <. ,  >.  <. c ,  d
>.
8281eqeq2d 2048 . . . . . . . . 9  c  d  <. ,  >. 
<. c ,  d >.
8382anbi1d 438 . . . . . . . 8  c  d 
<. ,  >.  <. ,  >.  <. c ,  d
>.  <. ,  >.
84 simpl 102 . . . . . . . . . 10  c  d  c
8584oveq1d 5470 . . . . . . . . 9  c  d  .o  c  .o
86 simpr 103 . . . . . . . . . 10  c  d  d
8786oveq1d 5470 . . . . . . . . 9  c  d  .o  d  .o
8885, 87eqeq12d 2051 . . . . . . . 8  c  d  .o  .o  c  .o  d  .o
8983, 88anbi12d 442 . . . . . . 7  c  d  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  <. c ,  d >.  <. ,  >.  c  .o  d  .o
90 opeq12 3542 . . . . . . . . . 10  a  b  <. ,  >.  <. a ,  b
>.
9190eqeq2d 2048 . . . . . . . . 9  a  b  <. ,  >. 
<. a ,  b >.
9291anbi2d 437 . . . . . . . 8  a  b 
<. c ,  d >.  <. ,  >.  <. c ,  d >.  <. a ,  b
>.
93 simpr 103 . . . . . . . . . 10  a  b  b
9493oveq2d 5471 . . . . . . . . 9  a  b  c  .o  c  .o  b
95 simpl 102 . . . . . . . . . 10  a  b  a
9695oveq2d 5471 . . . . . . . . 9  a  b  d  .o  d  .o  a
9794, 96eqeq12d 2051 . . . . . . . 8  a  b  c  .o  d  .o  c  .o  b  d  .o  a
9892, 97anbi12d 442 . . . . . . 7  a  b  <. c ,  d
>.  <. ,  >.  c  .o  d  .o  <. c ,  d >.  <. a ,  b
>. 
c  .o  b  d  .o  a
9989, 98cbvex4v 1802 . . . . . 6  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  c d a b  <. c ,  d
>.  <. a ,  b >.  c  .o  b  d  .o  a
100 eleq1 2097 . . . . . . . . . 10  om  X.  N.  om  X.  N.
101100anbi1d 438 . . . . . . . . 9  om  X.  N.  om  X.  N.  om  X.  N.  om  X.  N.
102 eqeq1 2043 . . . . . . . . . . . 12  <. ,  >.  <. ,  >.
103102anbi1d 438 . . . . . . . . . . 11  <. ,  >.  <. ,  >. 
<. ,  >.  <. ,  >.
104103anbi1d 438 . . . . . . . . . 10  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
1051044exbidv 1747 . . . . . . . . 9  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o 
<. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
106101, 105anbi12d 442 . . . . . . . 8  om  X.  N.  om  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  om  X.  N.  om  X.  N. 
<. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
107 eleq1 2097 . . . . . . . . . 10  om  X.  N.  om  X.  N.
108107anbi2d 437 . . . . . . . . 9  om  X.  N.  om  X.  N.  om  X.  N.  om  X.  N.
109 eqeq1 2043 . . . . . . . . . . . 12  <. ,  >.  <. ,  >.
110109anbi2d 437 . . . . . . . . . . 11  <. ,  >.  <. ,  >. 
<. ,  >.  <. ,  >.
111110anbi1d 438 . . . . . . . . . 10  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
1121114exbidv 1747 . . . . . . . . 9  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o 
<. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
113108, 112anbi12d 442 . . . . . . . 8  om  X.  N.  om  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  om  X.  N.  om  X.  N. 
<. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
1142, 1, 106, 113, 17brab 4000 . . . . . . 7 ~Q0  om  X.  N.  om  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
115114biimpri 124 . . . . . 6  om  X.  N.  om  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o ~Q0
11699, 115sylan2br 272 . . . . 5  om  X.  N.  om  X.  N.  c d a b  <. c ,  d >.  <. a ,  b
>. 
c  .o  b  d  .o  a ~Q0
11780, 116sylbi 114 . . . 4  c d  om  X.  N.  om  X.  N.  a b  <. c ,  d
>.  <. a ,  b >.  c  .o  b  d  .o  a ~Q0
11879, 117sylbi 114 . . 3  c d a b  om  X.  N.  om  X.  N.  <. c ,  d >.  <. a ,  b
>. 
c  .o  b  d  .o  a ~Q0
11977, 118sylbi 114 . 2  a b c d  om  X.  N.  om  X.  N.  <. c ,  d >.  <. a ,  b
>. 
c  .o  b  d  .o  a ~Q0
12076, 119syl 14 1 ~Q0 ~Q0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   <.cop 3370   class class class wbr 3755   omcom 4256    X. cxp 4286  (class class class)co 5455    .o comu 5938   N.cnpi 6256   ~Q0 ceq0 6270
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-ni 6288  df-enq0 6407
This theorem is referenced by:  enq0er  6418
  Copyright terms: Public domain W3C validator