ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enq0enq Unicode version

Theorem enq0enq 6414
Description: Equivalence on positive fractions in terms of equivalence on non-negative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
enq0enq  ~Q ~Q0  i^i  N.  X.  N.  X.  N.  X.  N.

Proof of Theorem enq0enq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-enq0 6407 . . 3 ~Q0  { <. ,  >.  |  om  X.  N.  om  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  }
2 df-xp 4294 . . 3  N.  X.  N.  X.  N.  X.  N.  { <. ,  >.  |  N.  X.  N.  N.  X.  N. }
31, 2ineq12i 3130 . 2 ~Q0  i^i  N. 
X.  N.  X.  N.  X.  N.  { <. ,  >.  |  om  X.  N.  om  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  }  i^i  {
<. ,  >.  |  N.  X.  N.  N.  X.  N. }
4 inopab 4411 . 2  { <. ,  >.  |  om  X.  N.  om  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  }  i^i  {
<. ,  >.  |  N.  X.  N.  N.  X.  N. }  { <. ,  >.  |  om  X.  N.  om  X.  N. 
<. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  N.  X.  N.  N.  X.  N. }
5 an32 496 . . . . . 6  om  X.  N.  om  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  N.  X.  N.  N.  X.  N.  om  X.  N.  om  X.  N.  N.  X.  N.  N.  X.  N. 
<. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
6 an4 520 . . . . . . . 8  om  X.  N.  om  X.  N.  N.  X.  N.  N.  X.  N.  om  X.  N.  N.  X.  N.  om  X.  N.  N.  X.  N.
7 pinn 6293 . . . . . . . . . . . . 13  N.  om
87ssriv 2943 . . . . . . . . . . . 12  N.  C_  om
9 xpss1 4391 . . . . . . . . . . . 12  N.  C_  om  N. 
X.  N.  C_  om  X.  N.
108, 9ax-mp 7 . . . . . . . . . . 11  N. 
X.  N.  C_  om  X.  N.
1110sseli 2935 . . . . . . . . . 10  N.  X.  N.  om  X.  N.
1211pm4.71ri 372 . . . . . . . . 9  N.  X.  N.  om  X.  N.  N.  X.  N.
1310sseli 2935 . . . . . . . . . 10  N.  X.  N.  om  X.  N.
1413pm4.71ri 372 . . . . . . . . 9  N.  X.  N.  om  X.  N.  N.  X.  N.
1512, 14anbi12i 433 . . . . . . . 8  N. 
X.  N.  N.  X.  N.  om  X.  N.  N.  X.  N.  om  X.  N.  N.  X.  N.
166, 15bitr4i 176 . . . . . . 7  om  X.  N.  om  X.  N.  N.  X.  N.  N.  X.  N.  N.  X.  N.  N.  X.  N.
1716anbi1i 431 . . . . . 6  om  X.  N.  om  X.  N.  N.  X.  N.  N.  X.  N. 
<. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  N. 
X.  N.  N.  X.  N. 
<. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
185, 17bitri 173 . . . . 5  om  X.  N.  om  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  N.  X.  N.  N.  X.  N.  N. 
X.  N.  N.  X.  N. 
<. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
19 eleq1 2097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  <. ,  >.  N.  X.  N. 
<. ,  >.  N.  X.  N.
20 opelxp 4317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  <. ,  >.  N.  X.  N.  N.  N.
2119, 20syl6bb 185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  <. ,  >.  N.  X.  N.  N.  N.
22 eleq1 2097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  <. ,  >.  N.  X.  N. 
<. ,  >.  N.  X.  N.
23 opelxp 4317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  <. ,  >.  N.  X.  N.  N.  N.
2422, 23syl6bb 185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  <. ,  >.  N.  X.  N.  N.  N.
2521, 24bi2anan9 538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  <. ,  >.  <. ,  >.  N. 
X.  N.  N.  X.  N.  N.  N.  N.  N.
2625pm5.32i 427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  <. ,  >.  <. ,  >.  N.  X.  N.  N.  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  N.  N.  N.  N.
2726anbi1i 431 . . . . . . . . . . . . . . 15 
<. ,  >.  <. ,  >.  N.  X.  N.  N.  X.  N.  .o  .o  <. ,  >.  <. ,  >.  N.  N.  N.  N.  .o  .o
28 anass 381 . . . . . . . . . . . . . . 15 
<. ,  >.  <. ,  >.  N.  N.  N.  N.  .o  .o  <. ,  >.  <. ,  >.  N.  N.  N.  N.  .o  .o
2927, 28bitri 173 . . . . . . . . . . . . . 14 
<. ,  >.  <. ,  >.  N.  X.  N.  N.  X.  N.  .o  .o  <. ,  >.  <. ,  >.  N.  N.  N.  N.  .o  .o
30 mulpiord 6301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  N.  N.  .N  .o
31 mulpiord 6301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  N.  N.  .N  .o
3230, 31eqeqan12d 2052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  N.  N.  N.  N.  .N  .N  .o  .o
3332an42s 523 . . . . . . . . . . . . . . . 16  N.  N.  N.  N.  .N  .N  .o  .o
3433pm5.32i 427 . . . . . . . . . . . . . . 15 
N.  N.  N.  N.  .N  .N  N.  N.  N.  N.  .o  .o
3534anbi2i 430 . . . . . . . . . . . . . 14  <. ,  >.  <. ,  >.  N.  N.  N.  N.  .N  .N  <. ,  >.  <. ,  >.  N.  N.  N.  N.  .o  .o
3629, 35bitr4i 176 . . . . . . . . . . . . 13 
<. ,  >.  <. ,  >.  N.  X.  N.  N.  X.  N.  .o  .o  <. ,  >.  <. ,  >.  N.  N.  N.  N.  .N  .N
37 anass 381 . . . . . . . . . . . . 13 
<. ,  >.  <. ,  >.  N.  N.  N.  N.  .N  .N  <. ,  >.  <. ,  >.  N.  N.  N.  N.  .N  .N
3836, 37bitr4i 176 . . . . . . . . . . . 12 
<. ,  >.  <. ,  >.  N.  X.  N.  N.  X.  N.  .o  .o  <. ,  >.  <. ,  >.  N.  N.  N.  N.  .N  .N
3926anbi1i 431 . . . . . . . . . . . 12 
<. ,  >.  <. ,  >.  N.  X.  N.  N.  X.  N.  .N  .N  <. ,  >.  <. ,  >.  N.  N.  N.  N.  .N  .N
4038, 39bitr4i 176 . . . . . . . . . . 11 
<. ,  >.  <. ,  >.  N.  X.  N.  N.  X.  N.  .o  .o  <. ,  >.  <. ,  >.  N.  X.  N.  N.  X.  N.  .N  .N
41 ancom 253 . . . . . . . . . . . 12  <. ,  >.  <. ,  >.  N.  X.  N.  N.  X.  N.  N. 
X.  N.  N.  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.
4241anbi1i 431 . . . . . . . . . . 11 
<. ,  >.  <. ,  >.  N.  X.  N.  N.  X.  N.  .o  .o  N.  X.  N.  N.  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
4341anbi1i 431 . . . . . . . . . . 11 
<. ,  >.  <. ,  >.  N.  X.  N.  N.  X.  N.  .N  .N  N.  X.  N.  N.  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .N  .N
4440, 42, 433bitr3i 199 . . . . . . . . . 10  N.  X.  N.  N.  X.  N. 
<. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  N.  X.  N.  N.  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .N  .N
45 anass 381 . . . . . . . . . 10  N.  X.  N.  N.  X.  N. 
<. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  N. 
X.  N.  N.  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
46 anass 381 . . . . . . . . . 10  N.  X.  N.  N.  X.  N. 
<. ,  >.  <. ,  >.  .N  .N  N. 
X.  N.  N.  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .N  .N
4744, 45, 463bitr3i 199 . . . . . . . . 9  N.  X.  N.  N.  X.  N. 
<. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  N. 
X.  N.  N.  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .N  .N
48472exbii 1494 . . . . . . . 8  N. 
X.  N.  N.  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  N.  X.  N.  N.  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .N  .N
49 19.42vv 1785 . . . . . . . 8  N. 
X.  N.  N.  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  N. 
X.  N.  N.  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
50 19.42vv 1785 . . . . . . . 8  N. 
X.  N.  N.  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .N  .N  N. 
X.  N.  N.  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .N  .N
5148, 49, 503bitr3i 199 . . . . . . 7  N.  X.  N.  N.  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  N. 
X.  N.  N.  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .N  .N
52512exbii 1494 . . . . . 6  N. 
X.  N.  N.  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  N.  X.  N.  N.  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .N  .N
53 19.42vv 1785 . . . . . 6  N. 
X.  N.  N.  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  N.  X.  N.  N.  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
54 19.42vv 1785 . . . . . 6  N. 
X.  N.  N.  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .N  .N  N.  X.  N.  N.  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .N  .N
5552, 53, 543bitr3i 199 . . . . 5  N.  X.  N.  N.  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  N. 
X.  N.  N.  X.  N. 
<. ,  >.  <. ,  >.  .N  .N
5618, 55bitri 173 . . . 4  om  X.  N.  om  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  N.  X.  N.  N.  X.  N.  N. 
X.  N.  N.  X.  N. 
<. ,  >.  <. ,  >.  .N  .N
5756opabbii 3815 . . 3  { <. ,  >.  |  om  X.  N.  om  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  N.  X.  N.  N.  X.  N. }  { <. , 
>.  |  N.  X.  N.  N.  X.  N. 
<. ,  >.  <. ,  >.  .N  .N  }
58 df-enq 6331 . . 3  ~Q  { <. , 
>.  |  N.  X.  N.  N.  X.  N. 
<. ,  >.  <. ,  >.  .N  .N  }
5957, 58eqtr4i 2060 . 2  { <. ,  >.  |  om  X.  N.  om  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  N.  X.  N.  N.  X.  N. }  ~Q
603, 4, 593eqtrri 2062 1  ~Q ~Q0  i^i  N.  X.  N.  X.  N.  X.  N.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   wb 98   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390    i^i cin 2910    C_ wss 2911   <.cop 3370   {copab 3808   omcom 4256    X. cxp 4286  (class class class)co 5455    .o comu 5938   N.cnpi 6256    .N cmi 6258    ~Q ceq 6263   ~Q0 ceq0 6270
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295  df-res 4300  df-iota 4810  df-fv 4853  df-ov 5458  df-ni 6288  df-mi 6290  df-enq 6331  df-enq0 6407
This theorem is referenced by:  nqnq0pi  6421
  Copyright terms: Public domain W3C validator