ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqnq0pi Structured version   Unicode version

Theorem nqnq0pi 6420
Description: A non-negative fraction is a positive fraction if its numerator and denominator are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqnq0pi  N.  N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >.  ~Q

Proof of Theorem nqnq0pi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opelxp 4317 . . 3  <. ,  >.  N.  X.  N.  N.  N.
2 vex 2554 . . . . . . 7 
_V
32elima2 4617 . . . . . 6 ~Q0 
" N.  X.  N.  N.  X.  N. ~Q0
4 elxp 4305 . . . . . . . . . 10  N.  X.  N. 
<. ,  >.  N.  N.
54anbi1i 431 . . . . . . . . 9  N. 
X.  N. ~Q0  <. ,  >.  N.  N. ~Q0
6 19.41vv 1780 . . . . . . . . 9  <. ,  >.  N.  N. ~Q0 
<. ,  >.  N.  N. ~Q0
75, 6bitr4i 176 . . . . . . . 8  N. 
X.  N. ~Q0  <. ,  >.  N.  N. ~Q0
8 simplr 482 . . . . . . . . . . 11  <. ,  >.  N.  N. ~Q0  N.  N.
9 breq1 3758 . . . . . . . . . . . . 13  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0
109adantr 261 . . . . . . . . . . . 12  <. ,  >.  N.  N. ~Q0  <. ,  >. ~Q0
1110biimpa 280 . . . . . . . . . . 11  <. ,  >.  N.  N. ~Q0  <. ,  >. ~Q0
12 id 19 . . . . . . . . . . . 12  N.  N.  <. ,  >. ~Q0  N.  N.  <. ,  >. ~Q0
13 enq0er 6417 . . . . . . . . . . . . . . 15 ~Q0  Er  om  X.  N.
1413a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  N.  N.  <. ,  >. ~Q0 ~Q0  Er  om  X.  N.
15 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . 14  N.  N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0
1614, 15ercl2 6055 . . . . . . . . . . . . 13  N.  N.  <. ,  >. ~Q0  om  X.  N.
17 elxp 4305 . . . . . . . . . . . . 13  om  X.  N. 
<. ,  >.  om  N.
1816, 17sylib 127 . . . . . . . . . . . 12  N.  N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >.  om  N.
19 19.42vv 1785 . . . . . . . . . . . 12  N.  N.  <. ,  >. ~Q0 
<. ,  >.  om  N.  N.  N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >.  om  N.
2012, 18, 19sylanbrc 394 . . . . . . . . . . 11  N.  N.  <. ,  >. ~Q0  N.  N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >.  om 
N.
218, 11, 20syl2anc 391 . . . . . . . . . 10  <. ,  >.  N.  N. ~Q0  N.  N.  <. ,  >. ~Q0 
<. ,  >.  om  N.
22 simprrl 491 . . . . . . . . . . . . 13 
N.  N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >.  om 
N.  om
23 elni 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  N.  om  =/=  (/)
2423simprbi 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  N.  =/=  (/)
2524neneqd 2221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  N.  (/)
2625ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  N.  N.  om  N.  (/)
27 elni 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  N.  om  =/=  (/)
2827simprbi 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  N.  =/=  (/)
2928neneqd 2221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  N.  (/)
3029ad2antll 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  N.  N.  om  N.  (/)
3126, 30jca 290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  N.  N.  om  N.  (/)  (/)
32 pm4.56 805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  (/)  (/)  (/)  (/)
3331, 32sylib 127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  N.  N.  om  N.  (/)  (/)
34 pinn 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  N.  om
3534ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  N.  N.  om  N.  om
36 pinn 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  N.  om
3736ad2antll 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  N.  N.  om  N.  om
38 nnm00 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  om  om  .o  (/)  (/)  (/)
3935, 37, 38syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  N.  N.  om  N.  .o  (/)  (/)  (/)
4033, 39mtbird 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  N.  N.  om  N.  .o  (/)
4140ad2ant2rl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 
N.  N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >.  om 
N.  .o  (/)
42 breq2 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  <. , 
>.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >.
4342biimpac 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 
<. ,  >. ~Q0  <. ,  >.  <. ,  >. ~Q0 
<. ,  >.
4443ad2ant2lr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 
N.  N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >.  om 
N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >.
45 enq0breq 6418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  om  N.  om  N.  <. ,  >. ~Q0 
<. ,  >.  .o  .o
4634, 45sylanl1 382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  N.  N.  om  N.  <. ,  >. ~Q0 
<. ,  >.  .o  .o
4746ad2ant2rl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 
N.  N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >.  om 
N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >.  .o  .o
4844, 47mpbid 135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 
N.  N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >.  om 
N.  .o  .o
4948eqeq1d 2045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 
N.  N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >.  om 
N.  .o  (/)  .o  (/)
5041, 49mtbid 596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 
N.  N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >.  om 
N.  .o  (/)
51 pinn 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  N.  om
52 nnm00 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  om  om  .o  (/)  (/)  (/)
5351, 52sylan 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  N.  om  .o  (/)  (/)  (/)
5453ad2ant2lr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  N.  N.  om  N.  .o  (/)  (/)  (/)
5554ad2ant2rl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 
N.  N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >.  om 
N.  .o  (/)  (/)  (/)
5650, 55mtbid 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 
N.  N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >.  om 
N.  (/)  (/)
57 pm4.56 805 . . . . . . . . . . . . . . . 16  (/)  (/)  (/)  (/)
5856, 57sylibr 137 . . . . . . . . . . . . . . 15 
N.  N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >.  om 
N.  (/)  (/)
5958simprd 107 . . . . . . . . . . . . . 14 
N.  N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >.  om 
N.  (/)
6059neneqad 2278 . . . . . . . . . . . . 13 
N.  N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >.  om 
N.  =/=  (/)
61 elni 6292 . . . . . . . . . . . . 13  N.  om  =/=  (/)
6222, 60, 61sylanbrc 394 . . . . . . . . . . . 12 
N.  N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >.  om 
N.  N.
63 simprrr 492 . . . . . . . . . . . 12 
N.  N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >.  om 
N.  N.
64 eleq1 2097 . . . . . . . . . . . . . 14  <. , 
>.  N.  X.  N. 
<. ,  >.  N.  X.  N.
65 opelxp 4317 . . . . . . . . . . . . . 14  <. ,  >.  N.  X.  N.  N.  N.
6664, 65syl6bb 185 . . . . . . . . . . . . 13  <. , 
>.  N.  X.  N.  N.  N.
6766ad2antrl 459 . . . . . . . . . . . 12 
N.  N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >.  om 
N.  N.  X.  N.  N.  N.
6862, 63, 67mpbir2and 850 . . . . . . . . . . 11 
N.  N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >.  om 
N.  N. 
X.  N.
6968exlimivv 1773 . . . . . . . . . 10  N.  N.  <. ,  >. ~Q0 
<. ,  >.  om  N.  N.  X.  N.
7021, 69syl 14 . . . . . . . . 9  <. ,  >.  N.  N. ~Q0  N.  X.  N.
7170exlimivv 1773 . . . . . . . 8  <. ,  >.  N.  N. ~Q0  N.  X.  N.
727, 71sylbi 114 . . . . . . 7  N. 
X.  N. ~Q0  N. 
X.  N.
7372exlimiv 1486 . . . . . 6  N.  X.  N. ~Q0  N.  X.  N.
743, 73sylbi 114 . . . . 5 ~Q0 
" N.  X.  N.  N.  X.  N.
7574ssriv 2943 . . . 4 ~Q0 
" N.  X.  N.  C_  N.  X.  N.
76 ecinxp 6117 . . . 4 ~Q0  " N.  X.  N.  C_  N. 
X.  N.  <. ,  >.  N.  X.  N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0  i^i  N. 
X.  N.  X.  N.  X.  N.
7775, 76mpan 400 . . 3  <. ,  >.  N.  X.  N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0  i^i  N. 
X.  N.  X.  N.  X.  N.
781, 77sylbir 125 . 2  N.  N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0  i^i  N. 
X.  N.  X.  N.  X.  N.
79 enq0enq 6413 . . 3  ~Q ~Q0  i^i  N.  X.  N.  X.  N.  X.  N.
80 eceq2 6079 . . 3  ~Q ~Q0  i^i  N. 
X.  N.  X.  N.  X.  N.  <. ,  >.  ~Q  <. ,  >. ~Q0  i^i  N. 
X.  N.  X.  N.  X.  N.
8179, 80ax-mp 7 . 2  <. ,  >.  ~Q  <. ,  >. ~Q0  i^i  N. 
X.  N.  X.  N.  X.  N.
8278, 81syl6eqr 2087 1  N.  N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >.  ~Q
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wb 98   wo 628   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390    =/= wne 2201    i^i cin 2910    C_ wss 2911   (/)c0 3218   <.cop 3370   class class class wbr 3755   omcom 4256    X. cxp 4286   "cima 4291  (class class class)co 5455    .o comu 5938    Er wer 6039  cec 6040   N.cnpi 6256    ~Q ceq 6263   ~Q0 ceq0 6270
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-ni 6288  df-mi 6290  df-enq 6331  df-enq0 6406
This theorem is referenced by:  nqnq0  6423  nqpnq0nq  6435  nqnq0a  6436  nqnq0m  6437  prarloclemlo  6476  prarloclemcalc  6484
  Copyright terms: Public domain W3C validator