ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqnq0pi Unicode version

Theorem nqnq0pi 6536
Description: A non-negative fraction is a positive fraction if its numerator and denominator are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqnq0pi  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ]  ~Q  )

Proof of Theorem nqnq0pi
Dummy variables  v  u  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opelxp 4374 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. ) 
<->  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)
2 vex 2560 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
32elima2 4674 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ~Q0 
" ( N.  X.  N. ) )  <->  E. x
( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  x ~Q0  y ) )
4 elxp 4362 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  <->  E. z E. w
( x  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
) )
54anbi1i 431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  x ~Q0  y )  <-> 
( E. z E. w ( x  = 
<. z ,  w >.  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  /\  x ~Q0  y ) )
6 19.41vv 1783 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z E. w ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  /\  x ~Q0  y )  <->  ( E. z E. w ( x  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. ) )  /\  x ~Q0  y ) )
75, 6bitr4i 176 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  x ~Q0  y )  <->  E. z E. w ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  /\  x ~Q0  y ) )
8 simplr 482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  /\  x ~Q0  y )  ->  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)
9 breq1 3767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  <. z ,  w >.  ->  ( x ~Q0  y  <->  <. z ,  w >. ~Q0  y
) )
109adantr 261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( x ~Q0  y  <->  <. z ,  w >. ~Q0  y ) )
1110biimpa 280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  /\  x ~Q0  y )  ->  <. z ,  w >. ~Q0  y )
12 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y
)  ->  ( (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y
) )
13 enq0er 6533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ~Q0  Er  ( om  X.  N. )
1413a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y
)  -> ~Q0  Er  ( om  X.  N. ) )
15 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y
)  ->  <. z ,  w >. ~Q0  y )
1614, 15ercl2 6119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y
)  ->  y  e.  ( om  X.  N. )
)
17 elxp 4362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( om  X.  N. )  <->  E. u E. v
( y  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )
1816, 17sylib 127 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y
)  ->  E. u E. v ( y  = 
<. u ,  v >.  /\  ( u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )
19 19.42vv 1788 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. u E. v ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y )  /\  (
y  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )  <->  ( (
( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y
)  /\  E. u E. v ( y  = 
<. u ,  v >.  /\  ( u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) ) )
2012, 18, 19sylanbrc 394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y
)  ->  E. u E. v ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y
)  /\  ( y  =  <. u ,  v
>.  /\  ( u  e. 
om  /\  v  e.  N. ) ) ) )
218, 11, 20syl2anc 391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  /\  x ~Q0  y )  ->  E. u E. v ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y
)  /\  ( y  =  <. u ,  v
>.  /\  ( u  e. 
om  /\  v  e.  N. ) ) ) )
22 simprrl 491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y )  /\  (
y  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )  ->  u  e.  om )
23 elni 6406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  e.  N.  <->  ( z  e.  om  /\  z  =/=  (/) ) )
2423simprbi 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  N.  ->  z  =/=  (/) )
2524neneqd 2226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  N.  ->  -.  z  =  (/) )
2625ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  om  /\  v  e.  N. )
)  ->  -.  z  =  (/) )
27 elni 6406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( v  e.  N.  <->  ( v  e.  om  /\  v  =/=  (/) ) )
2827simprbi 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  e.  N.  ->  v  =/=  (/) )
2928neneqd 2226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  e.  N.  ->  -.  v  =  (/) )
3029ad2antll 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  om  /\  v  e.  N. )
)  ->  -.  v  =  (/) )
3126, 30jca 290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  om  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( -.  z  =  (/)  /\  -.  v  =  (/) ) )
32 pm4.56 806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( -.  z  =  (/)  /\ 
-.  v  =  (/) ) 
<->  -.  ( z  =  (/)  \/  v  =  (/) ) )
3331, 32sylib 127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  om  /\  v  e.  N. )
)  ->  -.  (
z  =  (/)  \/  v  =  (/) ) )
34 pinn 6407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  N.  ->  z  e.  om )
3534ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  om  /\  v  e.  N. )
)  ->  z  e.  om )
36 pinn 6407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  e.  N.  ->  v  e.  om )
3736ad2antll 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  om  /\  v  e.  N. )
)  ->  v  e.  om )
38 nnm00 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  om  /\  v  e.  om )  ->  ( ( z  .o  v )  =  (/)  <->  (
z  =  (/)  \/  v  =  (/) ) ) )
3935, 37, 38syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  om  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
z  .o  v )  =  (/)  <->  ( z  =  (/)  \/  v  =  (/) ) ) )
4033, 39mtbird 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  om  /\  v  e.  N. )
)  ->  -.  (
z  .o  v )  =  (/) )
4140ad2ant2rl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y )  /\  (
y  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )  ->  -.  ( z  .o  v
)  =  (/) )
42 breq2 3768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  <. u ,  v
>.  ->  ( <. z ,  w >. ~Q0  y  <->  <. z ,  w >. ~Q0  <. u ,  v >. )
)
4342biimpac 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
<. z ,  w >. ~Q0  y  /\  y  =  <. u ,  v >. )  ->  <. z ,  w >. ~Q0 
<. u ,  v >.
)
4443ad2ant2lr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y )  /\  (
y  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )  ->  <. z ,  w >. ~Q0 
<. u ,  v >.
)
45 enq0breq 6534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  om  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( <. z ,  w >. ~Q0 
<. u ,  v >.  <->  ( z  .o  v )  =  ( w  .o  u ) ) )
4634, 45sylanl1 382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  om  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( <. z ,  w >. ~Q0 
<. u ,  v >.  <->  ( z  .o  v )  =  ( w  .o  u ) ) )
4746ad2ant2rl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y )  /\  (
y  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )  ->  ( <. z ,  w >. ~Q0  <. u ,  v >.  <->  ( z  .o  v )  =  ( w  .o  u ) ) )
4844, 47mpbid 135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y )  /\  (
y  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )  ->  (
z  .o  v )  =  ( w  .o  u ) )
4948eqeq1d 2048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y )  /\  (
y  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )  ->  (
( z  .o  v
)  =  (/)  <->  ( w  .o  u )  =  (/) ) )
5041, 49mtbid 597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y )  /\  (
y  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )  ->  -.  ( w  .o  u
)  =  (/) )
51 pinn 6407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  N.  ->  w  e.  om )
52 nnm00 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  e.  om  /\  u  e.  om )  ->  ( ( w  .o  u )  =  (/)  <->  (
w  =  (/)  \/  u  =  (/) ) ) )
5351, 52sylan 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  e.  N.  /\  u  e.  om )  ->  ( ( w  .o  u )  =  (/)  <->  (
w  =  (/)  \/  u  =  (/) ) ) )
5453ad2ant2lr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  om  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
w  .o  u )  =  (/)  <->  ( w  =  (/)  \/  u  =  (/) ) ) )
5554ad2ant2rl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y )  /\  (
y  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )  ->  (
( w  .o  u
)  =  (/)  <->  ( w  =  (/)  \/  u  =  (/) ) ) )
5650, 55mtbid 597 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y )  /\  (
y  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )  ->  -.  ( w  =  (/)  \/  u  =  (/) ) )
57 pm4.56 806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  w  =  (/)  /\ 
-.  u  =  (/) ) 
<->  -.  ( w  =  (/)  \/  u  =  (/) ) )
5856, 57sylibr 137 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y )  /\  (
y  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )  ->  ( -.  w  =  (/)  /\  -.  u  =  (/) ) )
5958simprd 107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y )  /\  (
y  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )  ->  -.  u  =  (/) )
6059neneqad 2284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y )  /\  (
y  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )  ->  u  =/=  (/) )
61 elni 6406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  N.  <->  ( u  e.  om  /\  u  =/=  (/) ) )
6222, 60, 61sylanbrc 394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y )  /\  (
y  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )  ->  u  e.  N. )
63 simprrr 492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y )  /\  (
y  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )  ->  v  e.  N. )
64 eleq1 2100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  <. u ,  v
>.  ->  ( y  e.  ( N.  X.  N. ) 
<-> 
<. u ,  v >.  e.  ( N.  X.  N. ) ) )
65 opelxp 4374 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
u ,  v >.  e.  ( N.  X.  N. ) 
<->  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)
6664, 65syl6bb 185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  <. u ,  v
>.  ->  ( y  e.  ( N.  X.  N. ) 
<->  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
) )
6766ad2antrl 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y )  /\  (
y  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )  ->  (
y  e.  ( N. 
X.  N. )  <->  ( u  e.  N.  /\  v  e. 
N. ) ) )
6862, 63, 67mpbir2and 851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y )  /\  (
y  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )  ->  y  e.  ( N.  X.  N. ) )
6968exlimivv 1776 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. u E. v ( ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  <. z ,  w >. ~Q0  y )  /\  (
y  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )  ->  y  e.  ( N.  X.  N. ) )
7021, 69syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  /\  x ~Q0  y )  ->  y  e.  ( N.  X.  N. ) )
7170exlimivv 1776 . . . . . . . 8  |-  ( E. z E. w ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  /\  x ~Q0  y )  ->  y  e.  ( N.  X.  N. ) )
727, 71sylbi 114 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  x ~Q0  y )  ->  y  e.  ( N.  X.  N. )
)
7372exlimiv 1489 . . . . . 6  |-  ( E. x ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  x ~Q0  y )  ->  y  e.  ( N.  X.  N. ) )
743, 73sylbi 114 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ~Q0 
" ( N.  X.  N. ) )  ->  y  e.  ( N.  X.  N. ) )
7574ssriv 2949 . . . 4  |-  ( ~Q0  " ( N.  X.  N. ) ) 
C_  ( N.  X.  N. )
76 ecinxp 6181 . . . 4  |-  ( ( ( ~Q0  " ( N.  X.  N. ) )  C_  ( N.  X.  N. )  /\  <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ( ~Q0  i^i  (
( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) ) )
7775, 76mpan 400 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ( ~Q0  i^i  (
( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) ) )
781, 77sylbir 125 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ] ( ~Q0  i^i  ( ( N. 
X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) ) )
79 enq0enq 6529 . . 3  |-  ~Q  =  ( ~Q0  i^i  ( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) )
80 eceq2 6143 . . 3  |-  (  ~Q  =  ( ~Q0  i^i  ( ( N. 
X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) )  ->  [ <. A ,  B >. ]  ~Q  =  [ <. A ,  B >. ] ( ~Q0  i^i  ( ( N. 
X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) ) )
8179, 80ax-mp 7 . 2  |-  [ <. A ,  B >. ]  ~Q  =  [ <. A ,  B >. ] ( ~Q0  i^i  ( ( N. 
X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) )
8278, 81syl6eqr 2090 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  [ <. A ,  B >. ] ~Q0  =  [ <. A ,  B >. ]  ~Q  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    \/ wo 629    = wceq 1243   E.wex 1381    e. wcel 1393    =/= wne 2204    i^i cin 2916    C_ wss 2917   (/)c0 3224   <.cop 3378   class class class wbr 3764   omcom 4313    X. cxp 4343   "cima 4348  (class class class)co 5512    .o comu 5999    Er wer 6103   [cec 6104   N.cnpi 6370    ~Q ceq 6377   ~Q0 ceq0 6384
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-ni 6402  df-mi 6404  df-enq 6445  df-enq0 6522
This theorem is referenced by:  nqnq0  6539  nqpnq0nq  6551  nqnq0a  6552  nqnq0m  6553  prarloclemlo  6592  prarloclemcalc  6600
  Copyright terms: Public domain W3C validator