ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dfplq0qs Unicode version

Theorem dfplq0qs 6528
Description: Addition on non-negative fractions. This definition is similar to df-plq0 6525 but expands Q0 (Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
dfplq0qs  |- +Q0  =  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  y  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  f >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( ( w  .o  f )  +o  (
v  .o  u ) ) ,  ( v  .o  f ) >. ] ~Q0  ) ) }
Distinct variable group:    x, y, z, w, v, u, f

Proof of Theorem dfplq0qs
StepHypRef Expression
1 df-plq0 6525 . 2  |- +Q0  =  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e. Q0  /\  y  e. Q0 )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  f >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( ( w  .o  f )  +o  (
v  .o  u ) ) ,  ( v  .o  f ) >. ] ~Q0  ) ) }
2 df-nq0 6523 . . . . . 6  |- Q0  =  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  )
32eleq2i 2104 . . . . 5  |-  ( x  e. Q0  <->  x  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )
42eleq2i 2104 . . . . 5  |-  ( y  e. Q0  <->  y  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )
53, 4anbi12i 433 . . . 4  |-  ( ( x  e. Q0  /\  y  e. Q0 )  <->  ( x  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  y  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) ) )
65anbi1i 431 . . 3  |-  ( ( ( x  e. Q0  /\  y  e. Q0 )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  f >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( ( w  .o  f )  +o  (
v  .o  u ) ) ,  ( v  .o  f ) >. ] ~Q0  ) )  <->  ( ( x  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  y  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  f >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( ( w  .o  f )  +o  (
v  .o  u ) ) ,  ( v  .o  f ) >. ] ~Q0  ) ) )
76oprabbii 5560 . 2  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e. Q0  /\  y  e. Q0 )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  f >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( ( w  .o  f )  +o  (
v  .o  u ) ) ,  ( v  .o  f ) >. ] ~Q0  ) ) }  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  y  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  f >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( ( w  .o  f )  +o  (
v  .o  u ) ) ,  ( v  .o  f ) >. ] ~Q0  ) ) }
81, 7eqtri 2060 1  |- +Q0  =  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  )  /\  y  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\  y  =  [ <. u ,  f >. ] ~Q0  )  /\  z  =  [ <. ( ( w  .o  f )  +o  (
v  .o  u ) ) ,  ( v  .o  f ) >. ] ~Q0  ) ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 97    = wceq 1243   E.wex 1381    e. wcel 1393   <.cop 3378   omcom 4313    X. cxp 4343  (class class class)co 5512   {coprab 5513    +o coa 5998    .o comu 5999   [cec 6104   /.cqs 6105   N.cnpi 6370   ~Q0 ceq0 6384  Q0cnq0 6385   +Q0 cplq0 6387
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-11 1397  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-oprab 5516  df-nq0 6523  df-plq0 6525
This theorem is referenced by:  addnnnq0  6547
  Copyright terms: Public domain W3C validator