Theorem mulpiord 6301

Description: Positive integer multiplication in terms of ordinal multiplication. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
mulpiord	|- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .N B) = (A .o B))

Proof of Theorem mulpiord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4319	. 2 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> <.A , B >. e. ( N. X. N.))
2		fvres 5141	. . 3 |- ( <.A , B >. e. ( N. X. N.) -> (( .o |` ( N. X. N.)) ` <.A , B >.) = ( .o ` <.A , B >.))
3		df-ov 5458	. . . 4 |- (A .N B) = ( .N ` <.A , B >.)
4		df-mi 6290	. . . . 5 |- .N = ( .o |` ( N. X. N.))
5	4	fveq1i 5122	. . . 4 |- ( .N ` <.A , B >.) = (( .o |` ( N. X. N.)) ` <.A , B >.)
6	3, 5	eqtri 2057	. . 3 |- (A .N B) = (( .o |` ( N. X. N.)) ` <.A , B >.)
7		df-ov 5458	. . 3 |- (A .o B) = ( .o ` <.A , B >.)
8	2, 6, 7	3eqtr4g 2094	. 2 |- ( <.A , B >. e. ( N. X. N.) -> (A .N B) = (A .o B))
9	1, 8	syl 14	1 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .N B) = (A .o B))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1242   e. wcel 1390   <.cop 3370   X. cxp 4286   |` cres 4290   ` cfv 4845  (class class class)co 5455   .o comu 5938   N.cnpi 6256   .N cmi 6258

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-res 4300  df-iota 4810  df-fv 4853  df-ov 5458  df-mi 6290

This theorem is referenced by:  mulidpi  6302  mulclpi  6312  mulcompig  6315  mulasspig  6316  distrpig  6317  mulcanpig  6319  ltmpig  6323  archnqq  6400  enq0enq  6414  addcmpblnq0  6426  mulcmpblnq0  6427  mulcanenq0ec  6428  addclnq0  6434  mulclnq0  6435  nqpnq0nq  6436  nqnq0a  6437  nqnq0m  6438  nq0m0r  6439  distrnq0  6442  addassnq0lemcl  6444