ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqnq0a Structured version   Unicode version

Theorem nqnq0a 6436
Description: Addition of positive fractions is equal with  +Q or +Q0. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqnq0a  Q.  Q.  +Q +Q0

Proof of Theorem nqnq0a
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqpi 6362 . . . 4  Q.  N.  N.  <. ,  >.  ~Q
2 nqpi 6362 . . . 4  Q.  N.  N.  <. ,  >.  ~Q
31, 2anim12i 321 . . 3  Q.  Q. 
N.  N.  <. ,  >.  ~Q  N.  N.  <. ,  >.  ~Q
4 ee4anv 1806 . . 3  N.  N.  <. ,  >.  ~Q  N.  N.  <. ,  >.  ~Q 
N.  N.  <. ,  >.  ~Q  N.  N.  <. ,  >.  ~Q
53, 4sylibr 137 . 2  Q.  Q. 
N.  N.  <. ,  >.  ~Q  N.  N.  <. ,  >.  ~Q
6 oveq12 5464 . . . . . . 7  <. ,  >.  ~Q  <. ,  >.  ~Q  +Q  <. ,  >.  ~Q  +Q  <. ,  >. 
~Q
7 mulclpi 6312 . . . . . . . . . . . . 13  N.  N.  .N  N.
87ad2ant2rl 480 . . . . . . . . . . . 12  N.  N.  N.  N.  .N  N.
9 mulclpi 6312 . . . . . . . . . . . . 13  N.  N.  .N  N.
109ad2ant2lr 479 . . . . . . . . . . . 12  N.  N.  N.  N.  .N  N.
11 addpiord 6300 . . . . . . . . . . . 12  .N  N.  .N 
N.  .N  +N  .N  .N  +o  .N
128, 10, 11syl2anc 391 . . . . . . . . . . 11  N.  N.  N.  N.  .N  +N  .N  .N  +o  .N
13 mulpiord 6301 . . . . . . . . . . . . 13  N.  N.  .N  .o
1413ad2ant2rl 480 . . . . . . . . . . . 12  N.  N.  N.  N.  .N  .o
15 mulpiord 6301 . . . . . . . . . . . . 13  N.  N.  .N  .o
1615ad2ant2lr 479 . . . . . . . . . . . 12  N.  N.  N.  N.  .N  .o
1714, 16oveq12d 5473 . . . . . . . . . . 11  N.  N.  N.  N.  .N  +o  .N  .o  +o  .o
1812, 17eqtrd 2069 . . . . . . . . . 10  N.  N.  N.  N.  .N  +N  .N  .o  +o  .o
19 mulpiord 6301 . . . . . . . . . . 11  N.  N.  .N  .o
2019ad2ant2l 477 . . . . . . . . . 10  N.  N.  N.  N.  .N  .o
2118, 20opeq12d 3548 . . . . . . . . 9  N.  N.  N.  N.  <.  .N  +N  .N  ,  .N  >. 
<.  .o  +o  .o  ,  .o  >.
2221eceq1d 6078 . . . . . . . 8  N.  N.  N.  N.  <.  .N  +N  .N  ,  .N 
>. ~Q0  <.  .o  +o  .o  ,  .o  >. ~Q0
23 addpipqqs 6354 . . . . . . . . 9  N.  N.  N.  N.  <. ,  >.  ~Q  +Q  <. ,  >.  ~Q  <.  .N  +N  .N  ,  .N  >. 
~Q
24 addclpi 6311 . . . . . . . . . . 11  .N  N.  .N 
N.  .N  +N  .N  N.
258, 10, 24syl2anc 391 . . . . . . . . . 10  N.  N.  N.  N.  .N  +N  .N  N.
26 mulclpi 6312 . . . . . . . . . . 11  N.  N.  .N  N.
2726ad2ant2l 477 . . . . . . . . . 10  N.  N.  N.  N.  .N  N.
28 nqnq0pi 6420 . . . . . . . . . 10  .N  +N  .N  N.  .N 
N.  <.  .N  +N  .N  ,  .N  >. ~Q0  <.  .N  +N  .N  ,  .N 
>.  ~Q
2925, 27, 28syl2anc 391 . . . . . . . . 9  N.  N.  N.  N.  <.  .N  +N  .N  ,  .N 
>. ~Q0  <.  .N  +N  .N  ,  .N  >. 
~Q
3023, 29eqtr4d 2072 . . . . . . . 8  N.  N.  N.  N.  <. ,  >.  ~Q  +Q  <. ,  >.  ~Q  <.  .N  +N  .N  ,  .N  >. ~Q0
31 pinn 6293 . . . . . . . . . 10  N.  om
3231anim1i 323 . . . . . . . . 9  N.  N.  om  N.
33 pinn 6293 . . . . . . . . . 10  N.  om
3433anim1i 323 . . . . . . . . 9  N.  N.  om  N.
35 addnnnq0 6431 . . . . . . . . 9  om  N.  om  N.  <. ,  >. ~Q0 +Q0  <. ,  >. ~Q0  <.  .o  +o  .o  ,  .o  >. ~Q0
3632, 34, 35syl2an 273 . . . . . . . 8  N.  N.  N.  N.  <. ,  >. ~Q0 +Q0  <. ,  >. ~Q0  <.  .o  +o  .o  ,  .o  >. ~Q0
3722, 30, 363eqtr4d 2079 . . . . . . 7  N.  N.  N.  N.  <. ,  >.  ~Q  +Q  <. ,  >.  ~Q  <. ,  >. ~Q0 +Q0  <. ,  >. ~Q0
386, 37sylan9eqr 2091 . . . . . 6 
N.  N.  N.  N.  <. ,  >. 
~Q  <. ,  >.  ~Q  +Q  <. ,  >. ~Q0 +Q0  <. ,  >. ~Q0
39 nqnq0pi 6420 . . . . . . . . . . 11  N.  N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >.  ~Q
4039adantr 261 . . . . . . . . . 10  N.  N.  N.  N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >.  ~Q
4140eqeq2d 2048 . . . . . . . . 9  N.  N.  N.  N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >.  ~Q
42 nqnq0pi 6420 . . . . . . . . . . 11  N.  N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >.  ~Q
4342adantl 262 . . . . . . . . . 10  N.  N.  N.  N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >.  ~Q
4443eqeq2d 2048 . . . . . . . . 9  N.  N.  N.  N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >.  ~Q
4541, 44anbi12d 442 . . . . . . . 8  N.  N.  N.  N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >. 
~Q  <. ,  >.  ~Q
4645pm5.32i 427 . . . . . . 7 
N.  N.  N.  N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0  N.  N.  N.  N.  <. ,  >.  ~Q  <. ,  >.  ~Q
47 oveq12 5464 . . . . . . . 8  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0 +Q0  <. ,  >. ~Q0 +Q0  <. ,  >. ~Q0
4847adantl 262 . . . . . . 7 
N.  N.  N.  N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0 +Q0  <. ,  >. ~Q0 +Q0  <. ,  >. ~Q0
4946, 48sylbir 125 . . . . . 6 
N.  N.  N.  N.  <. ,  >. 
~Q  <. ,  >.  ~Q +Q0  <. ,  >. ~Q0 +Q0  <. ,  >. ~Q0
5038, 49eqtr4d 2072 . . . . 5 
N.  N.  N.  N.  <. ,  >. 
~Q  <. ,  >.  ~Q  +Q +Q0
5150an4s 522 . . . 4 
N.  N.  <. ,  >.  ~Q  N.  N.  <. ,  >.  ~Q  +Q +Q0
5251exlimivv 1773 . . 3  N.  N.  <. ,  >.  ~Q  N.  N.  <. ,  >.  ~Q  +Q +Q0
5352exlimivv 1773 . 2  N.  N.  <. ,  >.  ~Q  N.  N.  <. ,  >.  ~Q  +Q +Q0
545, 53syl 14 1  Q.  Q.  +Q +Q0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   <.cop 3370   omcom 4256  (class class class)co 5455    +o coa 5937    .o comu 5938  cec 6040   N.cnpi 6256    +N cpli 6257    .N cmi 6258    ~Q ceq 6263   Q.cnq 6264    +Q cplq 6266   ~Q0 ceq0 6270   +Q0 cplq0 6273
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-plpq 6328  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-plq0 6409
This theorem is referenced by:  prarloclemlo  6476  prarloclemcalc  6484
  Copyright terms: Public domain W3C validator