Theorem distrnq0 6557

Description: Multiplication of non-negative fractions is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
distrnq0	|- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( A ·Q0 ( B +Q0 C ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 C ) ) )

Proof of Theorem distrnq0

Dummy variables u v w x y z f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq0 6523	. . . 4 |- Q0 = ( ( om X. N. ) /. ~Q0 )
2		oveq1 5519	. . . . . . 7 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
3	2	oveq2d 5528	. . . . . 6 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( A ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( A ·Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) )
4		oveq2 5520	. . . . . . 7 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( A ·Q0 B ) )
5	4	oveq1d 5527	. . . . . 6 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) )
6	3, 5	eqeq12d 2054	. . . . 5 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( ( A ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) <-> ( A ·Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) )
7	6	imbi2d 219	. . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( ( A e. Q0 -> ( A ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) <-> ( A e. Q0 -> ( A ·Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) ) )
8		oveq2 5520	. . . . . . 7 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q0 = C -> ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( B +Q0 C ) )
9	8	oveq2d 5528	. . . . . 6 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q0 = C -> ( A ·Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( A ·Q0 ( B +Q0 C ) ) )
10		oveq2 5520	. . . . . . 7 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q0 = C -> ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A ·Q0 C ) )
11	10	oveq2d 5528	. . . . . 6 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q0 = C -> ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 C ) ) )
12	9, 11	eqeq12d 2054	. . . . 5 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q0 = C -> ( ( A ·Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) <-> ( A ·Q0 ( B +Q0 C ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 C ) ) ) )
13	12	imbi2d 219	. . . 4 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q0 = C -> ( ( A e. Q0 -> ( A ·Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) <-> ( A e. Q0 -> ( A ·Q0 ( B +Q0 C ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 C ) ) ) ) )
14		oveq1 5519	. . . . . . . 8 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( A ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) )
15		oveq1 5519	. . . . . . . . 9 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
16		oveq1 5519	. . . . . . . . 9 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
17	15, 16	oveq12d 5530	. . . . . . . 8 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) )
18	14, 17	eqeq12d 2054	. . . . . . 7 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) <-> ( A ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) )
19	18	imbi2d 219	. . . . . 6 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) <-> ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( A ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) ) )
20		an42 521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) <-> ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) )
21	20	anbi2i 430	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) ) <-> ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) )
22		3anass 889	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) <-> ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) ) )
23		3anass 889	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) <-> ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) )
24	21, 22, 23	3bitr4i 201	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) <-> ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) )
25		pinn 6407	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. N. -> y e. om )
26		nnmcl 6060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. om /\ x e. om ) -> ( y .o x ) e. om )
27	25, 26	sylan 267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. N. /\ x e. om ) -> ( y .o x ) e. om )
28	27	ancoms 255	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. om /\ y e. N. ) -> ( y .o x ) e. om )
29		pinn 6407	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. N. -> u e. om )
30		nnmcl 6060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. om /\ u e. om ) -> ( z .o u ) e. om )
31	29, 30	sylan2 270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. om /\ u e. N. ) -> ( z .o u ) e. om )
32		pinn 6407	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. N. -> w e. om )
33		nnmcl 6060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. om /\ v e. om ) -> ( w .o v ) e. om )
34	32, 33	sylan 267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w e. N. /\ v e. om ) -> ( w .o v ) e. om )
35		nndi 6065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y .o x ) e. om /\ ( z .o u ) e. om /\ ( w .o v ) e. om ) -> ( ( y .o x ) .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) = ( ( ( y .o x ) .o ( z .o u ) ) +o ( ( y .o x ) .o ( w .o v ) ) ) )
36	28, 31, 34, 35	syl3an 1177	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( ( y .o x ) .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) = ( ( ( y .o x ) .o ( z .o u ) ) +o ( ( y .o x ) .o ( w .o v ) ) ) )
37		simp1r 929	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> y e. N. )
38		simp1l 928	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> x e. om )
39	31	3ad2ant2 926	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( z .o u ) e. om )
40	34	3ad2ant3 927	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( w .o v ) e. om )
41		nnacl 6059	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z .o u ) e. om /\ ( w .o v ) e. om ) -> ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om )
42	39, 40, 41	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om )
43		nnmass 6066	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ x e. om /\ ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om ) -> ( ( y .o x ) .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) = ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) )
44	25, 43	syl3an1 1168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. N. /\ x e. om /\ ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om ) -> ( ( y .o x ) .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) = ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) )
45	37, 38, 42, 44	syl3anc 1135	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( ( y .o x ) .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) = ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) )
46		nnmcom 6068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x .o y ) = ( y .o x ) )
47	25, 46	sylan2 270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. om /\ y e. N. ) -> ( x .o y ) = ( y .o x ) )
48	47	oveq1d 5527	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. om /\ y e. N. ) -> ( ( x .o y ) .o ( z .o u ) ) = ( ( y .o x ) .o ( z .o u ) ) )
49	48	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .o y ) .o ( z .o u ) ) = ( ( y .o x ) .o ( z .o u ) ) )
50		simpll 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) ) -> x e. om )
51	25	ad2antlr 458	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) ) -> y e. om )
52		simprl 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) ) -> z e. om )
53		nnmcom 6068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. om /\ g e. om ) -> ( f .o g ) = ( g .o f ) )
54	53	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( f .o g ) = ( g .o f ) )
55		nnmass 6066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. om /\ g e. om /\ h e. om ) -> ( ( f .o g ) .o h ) = ( f .o ( g .o h ) ) )
56	55	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om /\ h e. om ) ) -> ( ( f .o g ) .o h ) = ( f .o ( g .o h ) ) )
57		simprr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) ) -> u e. N. )
58	57, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) ) -> u e. om )
59		nnmcl 6060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. om /\ g e. om ) -> ( f .o g ) e. om )
60	59	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( f .o g ) e. om )
61	50, 51, 52, 54, 56, 58, 60	caov4d 5685	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .o y ) .o ( z .o u ) ) = ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) )
62	49, 61	eqtr3d 2074	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( y .o x ) .o ( z .o u ) ) = ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) )
63	62	3adant3 924	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( ( y .o x ) .o ( z .o u ) ) = ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) )
64	25	ad2antlr 458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> y e. om )
65		simpll 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> x e. om )
66		simprl 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> w e. N. )
67	66, 32	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> w e. om )
68	53	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( f .o g ) = ( g .o f ) )
69	55	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om /\ h e. om ) ) -> ( ( f .o g ) .o h ) = ( f .o ( g .o h ) ) )
70		simprr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> v e. om )
71	59	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( f .o g ) e. om )
72	64, 65, 67, 68, 69, 70, 71	caov4d 5685	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( ( y .o x ) .o ( w .o v ) ) = ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) )
73	72	3adant2 923	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( ( y .o x ) .o ( w .o v ) ) = ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) )
74	63, 73	oveq12d 5530	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( ( ( y .o x ) .o ( z .o u ) ) +o ( ( y .o x ) .o ( w .o v ) ) ) = ( ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) +o ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) ) )
75	36, 45, 74	3eqtr3d 2080	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) = ( ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) +o ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) ) )
76	24, 75	sylbir 125	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) = ( ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) +o ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) ) )
77	37, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> y e. om )
78		mulpiord 6415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) = ( w .o u ) )
79	78	ancoms 255	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. N. /\ w e. N. ) -> ( w .N u ) = ( w .o u ) )
80	79	ad2ant2lr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( w .N u ) = ( w .o u ) )
81	80	3adant1 922	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( w .N u ) = ( w .o u ) )
82	66	3adant2 923	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> w e. N. )
83	57	3adant3 924	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> u e. N. )
84		mulclpi 6426	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) e. N. )
85	82, 83, 84	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
86		pinn 6407	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w .N u ) e. N. -> ( w .N u ) e. om )
87	85, 86	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( w .N u ) e. om )
88	81, 87	eqeltrrd 2115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( w .o u ) e. om )
89		nnmass 6066	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ y e. om /\ ( w .o u ) e. om ) -> ( ( y .o y ) .o ( w .o u ) ) = ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) )
90	77, 77, 88, 89	syl3anc 1135	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( ( y .o y ) .o ( w .o u ) ) = ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) )
91	82, 32	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> w e. om )
92	53	adantl 262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( f .o g ) = ( g .o f ) )
93	55	adantl 262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om /\ h e. om ) ) -> ( ( f .o g ) .o h ) = ( f .o ( g .o h ) ) )
94	83, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> u e. om )
95	59	adantl 262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( f .o g ) e. om )
96	77, 77, 91, 92, 93, 94, 95	caov4d 5685	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( ( y .o y ) .o ( w .o u ) ) = ( ( y .o w ) .o ( y .o u ) ) )
97	90, 96	eqtr3d 2074	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) = ( ( y .o w ) .o ( y .o u ) ) )
98	24, 97	sylbir 125	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) = ( ( y .o w ) .o ( y .o u ) ) )
99		opeq12 3551	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) = ( ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) +o ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) ) /\ ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) = ( ( y .o w ) .o ( y .o u ) ) ) -> <. ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) >. = <. ( ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) +o ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) ) , ( ( y .o w ) .o ( y .o u ) ) >. )
100	99	eceq1d 6142	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) = ( ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) +o ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) ) /\ ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) = ( ( y .o w ) .o ( y .o u ) ) ) -> [ <. ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) >. ] ~Q0 = [ <. ( ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) +o ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) ) , ( ( y .o w ) .o ( y .o u ) ) >. ] ~Q0 )
101	76, 98, 100	syl2anc 391	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> [ <. ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) >. ] ~Q0 = [ <. ( ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) +o ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) ) , ( ( y .o w ) .o ( y .o u ) ) >. ] ~Q0 )
102		addnnnq0 6547	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 )
103	102	oveq2d 5528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 ) )
104	103	adantl 262	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 ) )
105	31, 34, 41	syl2an 273	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om )
106	105	an42s 523	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om )
107	84	ad2ant2l 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
108	78	eleq1d 2106	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( ( w .N u ) e. N. <-> ( w .o u ) e. N. ) )
109	108	ad2ant2l 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( w .N u ) e. N. <-> ( w .o u ) e. N. ) )
110	107, 109	mpbid 135	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( w .o u ) e. N. )
111	106, 110	jca 290	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om /\ ( w .o u ) e. N. ) )
112		mulnnnq0 6548	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om /\ ( w .o u ) e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 ) = [ <. ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) , ( y .o ( w .o u ) ) >. ] ~Q0 )
113		nnmcl 6060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. om /\ ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om ) -> ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) e. om )
114		simpl 102	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. N. /\ ( w .o u ) e. N. ) -> y e. N. )
115		mulpiord 6415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. N. /\ ( w .o u ) e. N. ) -> ( y .N ( w .o u ) ) = ( y .o ( w .o u ) ) )
116		mulclpi 6426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. N. /\ ( w .o u ) e. N. ) -> ( y .N ( w .o u ) ) e. N. )
117	115, 116	eqeltrrd 2115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. N. /\ ( w .o u ) e. N. ) -> ( y .o ( w .o u ) ) e. N. )
118	114, 117	jca 290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. N. /\ ( w .o u ) e. N. ) -> ( y e. N. /\ ( y .o ( w .o u ) ) e. N. ) )
119	113, 118	anim12i 321	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. om /\ ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om ) /\ ( y e. N. /\ ( w .o u ) e. N. ) ) -> ( ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) e. om /\ ( y e. N. /\ ( y .o ( w .o u ) ) e. N. ) ) )
120		an12 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) e. om /\ ( y e. N. /\ ( y .o ( w .o u ) ) e. N. ) ) <-> ( y e. N. /\ ( ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) e. om /\ ( y .o ( w .o u ) ) e. N. ) ) )
121		3anass 889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. N. /\ ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) e. om /\ ( y .o ( w .o u ) ) e. N. ) <-> ( y e. N. /\ ( ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) e. om /\ ( y .o ( w .o u ) ) e. N. ) ) )
122	120, 121	bitr4i 176	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) e. om /\ ( y e. N. /\ ( y .o ( w .o u ) ) e. N. ) ) <-> ( y e. N. /\ ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) e. om /\ ( y .o ( w .o u ) ) e. N. ) )
123	119, 122	sylib 127	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. om /\ ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om ) /\ ( y e. N. /\ ( w .o u ) e. N. ) ) -> ( y e. N. /\ ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) e. om /\ ( y .o ( w .o u ) ) e. N. ) )
124	123	an4s 522	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om /\ ( w .o u ) e. N. ) ) -> ( y e. N. /\ ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) e. om /\ ( y .o ( w .o u ) ) e. N. ) )
125		mulcanenq0ec 6543	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. N. /\ ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) e. om /\ ( y .o ( w .o u ) ) e. N. ) -> [ <. ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) >. ] ~Q0 = [ <. ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) , ( y .o ( w .o u ) ) >. ] ~Q0 )
126	124, 125	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om /\ ( w .o u ) e. N. ) ) -> [ <. ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) >. ] ~Q0 = [ <. ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) , ( y .o ( w .o u ) ) >. ] ~Q0 )
127	112, 126	eqtr4d 2075	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om /\ ( w .o u ) e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 ) = [ <. ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) >. ] ~Q0 )
128	111, 127	sylan2 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 ) = [ <. ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) >. ] ~Q0 )
129	104, 128	eqtrd 2072	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = [ <. ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) >. ] ~Q0 )
130	129	3impb 1100	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = [ <. ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) >. ] ~Q0 )
131		mulnnnq0 6548	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( x .o z ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
132		mulnnnq0 6548	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = [ <. ( x .o v ) , ( y .o u ) >. ] ~Q0 )
133	131, 132	oveqan12d 5531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( [ <. ( x .o z ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 +Q0 [ <. ( x .o v ) , ( y .o u ) >. ] ~Q0 ) )
134		nnmcl 6060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. om /\ z e. om ) -> ( x .o z ) e. om )
135		mulpiord 6415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) = ( y .o w ) )
136		mulclpi 6426	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) e. N. )
137	135, 136	eqeltrrd 2115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .o w ) e. N. )
138	134, 137	anim12i 321	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ z e. om ) /\ ( y e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .o z ) e. om /\ ( y .o w ) e. N. ) )
139	138	an4s 522	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .o z ) e. om /\ ( y .o w ) e. N. ) )
140		nnmcl 6060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. om /\ v e. om ) -> ( x .o v ) e. om )
141		mulpiord 6415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. N. /\ u e. N. ) -> ( y .N u ) = ( y .o u ) )
142		mulclpi 6426	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. N. /\ u e. N. ) -> ( y .N u ) e. N. )
143	141, 142	eqeltrrd 2115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. N. /\ u e. N. ) -> ( y .o u ) e. N. )
144	140, 143	anim12i 321	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ v e. om ) /\ ( y e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .o v ) e. om /\ ( y .o u ) e. N. ) )
145	144	an4s 522	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .o v ) e. om /\ ( y .o u ) e. N. ) )
146		addnnnq0 6547	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x .o z ) e. om /\ ( y .o w ) e. N. ) /\ ( ( x .o v ) e. om /\ ( y .o u ) e. N. ) ) -> ( [ <. ( x .o z ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 +Q0 [ <. ( x .o v ) , ( y .o u ) >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) +o ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) ) , ( ( y .o w ) .o ( y .o u ) ) >. ] ~Q0 )
147	139, 145, 146	syl2an 273	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( [ <. ( x .o z ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 +Q0 [ <. ( x .o v ) , ( y .o u ) >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) +o ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) ) , ( ( y .o w ) .o ( y .o u ) ) >. ] ~Q0 )
148	133, 147	eqtrd 2072	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = [ <. ( ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) +o ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) ) , ( ( y .o w ) .o ( y .o u ) ) >. ] ~Q0 )
149	148	3impdi 1190	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = [ <. ( ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) +o ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) ) , ( ( y .o w ) .o ( y .o u ) ) >. ] ~Q0 )
150	101, 130, 149	3eqtr4d 2082	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) )
151	150	3expib 1107	. . . . . 6 |- ( ( x e. om /\ y e. N. ) -> ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) )
152	1, 19, 151	ecoptocl 6193	. . . . 5 |- ( A e. Q0 -> ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( A ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) )
153	152	com12 27	. . . 4 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( A e. Q0 -> ( A ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) )
154	1, 7, 13, 153	2ecoptocl 6194	. . 3 |- ( ( B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( A e. Q0 -> ( A ·Q0 ( B +Q0 C ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 C ) ) ) )
155	154	com12 27	. 2 |- ( A e. Q0 -> ( ( B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( A ·Q0 ( B +Q0 C ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 C ) ) ) )
156	155	3impib 1102	1 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( A ·Q0 ( B +Q0 C ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   /\ w3a 885   = wceq 1243   e. wcel 1393   <.cop 3378   omcom 4313  (class class class)co 5512   +o coa 5998   .o comu 5999   [cec 6104   N.cnpi 6370   .N cmi 6372   ~_Q0 ceq0 6384  Q₀cnq0 6385   +_Q0 cplq0 6387   ·_Q0 cmq0 6388

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-mi 6404  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-plq0 6525  df-mq0 6526

This theorem is referenced by:  distnq0r  6561