ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulnnnq0 Structured version   Unicode version

Theorem mulnnnq0 6432
Description: Multiplication of non-negative fractions in terms of natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulnnnq0  om  N.  C  om  D  N.  <. ,  >. ~Q0 ·Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0

Proof of Theorem mulnnnq0
Dummy variables  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opelxpi 4319 . . . 4  om  N.  <. ,  >.  om  X.  N.
2 enq0ex 6421 . . . . 5 ~Q0  _V
32ecelqsi 6096 . . . 4  <. ,  >.  om  X.  N.  <. ,  >. ~Q0  om  X.  N. /. ~Q0
41, 3syl 14 . . 3  om  N.  <. ,  >. ~Q0  om  X.  N. /. ~Q0
5 opelxpi 4319 . . . 4  C  om  D  N.  <. C ,  D >.  om  X.  N.
62ecelqsi 6096 . . . 4  <. C ,  D >.  om  X.  N.  <. C ,  D >. ~Q0  om  X.  N. /. ~Q0
75, 6syl 14 . . 3  C  om  D  N.  <. C ,  D >. ~Q0  om  X.  N. /. ~Q0
84, 7anim12i 321 . 2  om  N.  C  om  D  N.  <. ,  >. ~Q0  om  X.  N. /. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  om  X.  N. /. ~Q0
9 eqid 2037 . . . 4  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0
10 eqid 2037 . . . 4  <. C ,  D >. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0
119, 10pm3.2i 257 . . 3  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0
12 eqid 2037 . . 3  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0
13 opeq12 3542 . . . . . 6  <. , 
>.  <. ,  >.
14 eceq1 6077 . . . . . . . . 9  <. ,  >.  <. ,  >.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0
1514eqeq2d 2048 . . . . . . . 8  <. ,  >.  <. ,  >.  <. ,  >. ~Q0  <. , 
>. ~Q0  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0
1615anbi1d 438 . . . . . . 7  <. ,  >.  <. ,  >.  <. ,  >. ~Q0  <. , 
>. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0
17 vex 2554 . . . . . . . . . . 11 
_V
18 vex 2554 . . . . . . . . . . 11 
_V
1917, 18opth 3965 . . . . . . . . . 10  <. ,  >.  <. ,  >.
20 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . 12  .o  C  .o  C
2120adantr 261 . . . . . . . . . . 11  .o  C  .o  C
22 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . 12  .o  D  .o  D
2322adantl 262 . . . . . . . . . . 11  .o  D  .o  D
2421, 23opeq12d 3548 . . . . . . . . . 10  <.  .o  C ,  .o  D
>.  <.  .o  C ,  .o  D >.
2519, 24sylbi 114 . . . . . . . . 9  <. ,  >.  <. ,  >.  <.  .o  C ,  .o  D >.  <.  .o  C ,  .o  D >.
2625eceq1d 6078 . . . . . . . 8  <. ,  >.  <. ,  >.  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0
2726eqeq2d 2048 . . . . . . 7  <. ,  >.  <. ,  >.  <.  .o  C ,  .o  D
>. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D
>. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D
>. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D
>. ~Q0
2816, 27anbi12d 442 . . . . . 6  <. ,  >.  <. ,  >.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0
2913, 28syl 14 . . . . 5  <. ,  >. ~Q0  <. , 
>. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0
3029spc2egv 2636 . . . 4  om  N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0  <. , 
>. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0
31 opeq12 3542 . . . . . . 7  C  t  D  <. ,  t
>.  <. C ,  D >.
32 eceq1 6077 . . . . . . . . . 10  <. ,  t >.  <. C ,  D >.  <. ,  t >. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0
3332eqeq2d 2048 . . . . . . . . 9  <. ,  t >.  <. C ,  D >.  <. C ,  D >. ~Q0  <. ,  t
>. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0
3433anbi2d 437 . . . . . . . 8  <. ,  t >.  <. C ,  D >.  <. ,  >. ~Q0  <. , 
>. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <. ,  t
>. ~Q0  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0
35 vex 2554 . . . . . . . . . . . 12 
_V
36 vex 2554 . . . . . . . . . . . 12  t 
_V
3735, 36opth 3965 . . . . . . . . . . 11  <. ,  t >.  <. C ,  D >.  C  t  D
38 oveq2 5463 . . . . . . . . . . . . 13  C  .o  .o  C
3938adantr 261 . . . . . . . . . . . 12  C  t  D  .o  .o  C
40 oveq2 5463 . . . . . . . . . . . . 13  t  D  .o  t  .o  D
4140adantl 262 . . . . . . . . . . . 12  C  t  D  .o  t  .o  D
4239, 41opeq12d 3548 . . . . . . . . . . 11  C  t  D  <.  .o  ,  .o  t >. 
<.  .o  C ,  .o  D >.
4337, 42sylbi 114 . . . . . . . . . 10  <. ,  t >.  <. C ,  D >.  <.  .o  ,  .o  t >.  <.  .o  C ,  .o  D >.
4443eceq1d 6078 . . . . . . . . 9  <. ,  t >.  <. C ,  D >.  <.  .o  ,  .o  t >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0
4544eqeq2d 2048 . . . . . . . 8  <. ,  t >.  <. C ,  D >.  <.  .o  C ,  .o  D
>. ~Q0  <.  .o  ,  .o  t >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0
4634, 45anbi12d 442 . . . . . . 7  <. ,  t >.  <. C ,  D >.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <. ,  t >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0  <.  .o  ,  .o  t >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0  <. , 
>. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0
4731, 46syl 14 . . . . . 6  C  t  D  <. ,  >. ~Q0  <. , 
>. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <. ,  t
>. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0  <.  .o  ,  .o  t >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0  <. , 
>. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0
4847spc2egv 2636 . . . . 5  C  om  D  N.  <. ,  >. ~Q0  <. , 
>. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0  t <. ,  >. ~Q0  <. , 
>. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <. ,  t
>. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0  <.  .o  ,  .o  t >. ~Q0
49482eximdv 1759 . . . 4  C  om  D  N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0  t <. ,  >. ~Q0  <. , 
>. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <. ,  t
>. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0  <.  .o  ,  .o  t >. ~Q0
5030, 49sylan9 389 . . 3  om  N.  C  om  D  N.  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0  t <. ,  >. ~Q0  <. , 
>. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <. ,  t
>. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0  <.  .o  ,  .o  t >. ~Q0
5111, 12, 50mp2ani 408 . 2  om  N.  C  om  D  N.  t <. ,  >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <. ,  t >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0  <.  .o  ,  .o  t >. ~Q0
52 ecexg 6046 . . . 4 ~Q0  _V  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0  _V
532, 52ax-mp 7 . . 3  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0  _V
54 eqeq1 2043 . . . . . . . 8  <. ,  >. ~Q0  <. , 
>. ~Q0  <. ,  >. ~Q0  <. , 
>. ~Q0
55 eqeq1 2043 . . . . . . . 8  <. C ,  D >. ~Q0  <. ,  t
>. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <. ,  t
>. ~Q0
5654, 55bi2anan9 538 . . . . . . 7  <. ,  >. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <. , 
>. ~Q0  <. ,  t >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <. ,  t >. ~Q0
57 eqeq1 2043 . . . . . . 7  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0  <.  .o  ,  .o  t >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0  <.  .o  ,  .o  t >. ~Q0
5856, 57bi2anan9 538 . . . . . 6  <. ,  >. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0  <. ,  t
>. ~Q0  <.  .o  ,  .o  t >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0  <. , 
>. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <. ,  t
>. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0  <.  .o  ,  .o  t >. ~Q0
59583impa 1098 . . . . 5  <. ,  >. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D
>. ~Q0  <. ,  >. ~Q0  <. ,  t >. ~Q0  <.  .o  ,  .o  t >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0  <. , 
>. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <. ,  t
>. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0  <.  .o  ,  .o  t >. ~Q0
60594exbidv 1747 . . . 4  <. ,  >. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D
>. ~Q0  t  <. ,  >. ~Q0  <. ,  t >. ~Q0  <.  .o  ,  .o  t >. ~Q0  t <. ,  >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <. ,  t >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0  <.  .o  ,  .o  t >. ~Q0
61 mulnq0mo 6430 . . . 4  om  X.  N. /. ~Q0  om  X.  N. /. ~Q0  t  <. ,  >. ~Q0  <. ,  t >. ~Q0  <.  .o  ,  .o  t >. ~Q0
62 dfmq0qs 6411 . . . 4 ·Q0  { <. <. , 
>. ,  >.  |  om  X.  N. /. ~Q0  om  X.  N. /. ~Q0  t  <. ,  >. ~Q0  <. ,  t >. ~Q0  <.  .o  ,  .o  t >. ~Q0  }
6360, 61, 62ovig 5564 . . 3  <. ,  >. ~Q0  om  X.  N. /. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  om  X.  N. /. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0  _V  t <. ,  >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <. ,  t >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0  <.  .o  ,  .o  t >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0 ·Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0
6453, 63mp3an3 1220 . 2  <. ,  >. ~Q0  om  X.  N. /. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  om  X.  N. /. ~Q0  t <. ,  >. ~Q0  <. , 
>. ~Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <. ,  t
>. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0  <.  .o  ,  .o  t >. ~Q0  <. ,  >. ~Q0 ·Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0
658, 51, 64sylc 56 1  om  N.  C  om  D  N.  <. ,  >. ~Q0 ·Q0  <. C ,  D >. ~Q0  <.  .o  C ,  .o  D >. ~Q0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   w3a 884   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   _Vcvv 2551   <.cop 3370   omcom 4256    X. cxp 4286  (class class class)co 5455    .o comu 5938  cec 6040   /.cqs 6041   N.cnpi 6256   ~Q0 ceq0 6270   ·Q0 cmq0 6274
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-mi 6290  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-mq0 6410
This theorem is referenced by:  mulclnq0  6434  nqnq0m  6437  nq0m0r  6438  distrnq0  6441  mulcomnq0  6442  nq02m  6447
  Copyright terms: Public domain W3C validator