Theorem eceq1 6141

Description: Equality theorem for equivalence class. (Contributed by NM, 23-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
eceq1	|- ( A = B -> [ A ] C = [ B ] C )

Proof of Theorem eceq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3386	. . 3 |- ( A = B -> { A } = { B } )
2	1	imaeq2d 4668	. 2 |- ( A = B -> ( C " { A } ) = ( C " { B } ) )
3		df-ec 6108	. 2 |- [ A ] C = ( C " { A } )
4		df-ec 6108	. 2 |- [ B ] C = ( C " { B } )
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2097	1 |- ( A = B -> [ A ] C = [ B ] C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1243   {csn 3375   "cima 4348   [cec 6104

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-cnv 4353  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-ec 6108

This theorem is referenced by:  eceq1d  6142  ecelqsg  6159  snec  6167  qliftfun  6188  qliftfuns  6190  qliftval  6192  ecoptocl  6193  eroveu  6197  th3qlem1  6208  th3qlem2  6209  th3q  6211  dmaddpqlem  6475  nqpi  6476  1qec  6486  nqnq0  6539  nq0nn  6540  mulnnnq0  6548  addpinq1  6562  caucvgsrlemfv  6875  caucvgsr  6886  pitonnlem1  6921  axcaucvg  6974