Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
||
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > nq02m | Unicode version |
Description: Multiply a non-negative fraction by two. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
nq02m | Q0 ~Q0 ·Q0 +Q0 |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | nq0nn 6540 | . 2 Q0 ~Q0 | |
2 | 2onn 6094 | . . . . . . 7 | |
3 | 1pi 6413 | . . . . . . 7 | |
4 | mulnnnq0 6548 | . . . . . . 7 ~Q0 ·Q0 ~Q0 ~Q0 | |
5 | 2, 3, 4 | mpanl12 412 | . . . . . 6 ~Q0 ·Q0 ~Q0 ~Q0 |
6 | nn2m 6099 | . . . . . . . . 9 | |
7 | 6 | adantr 261 | . . . . . . . 8 |
8 | pinn 6407 | . . . . . . . . . 10 | |
9 | 1onn 6093 | . . . . . . . . . . . 12 | |
10 | nnmcom 6068 | . . . . . . . . . . . 12 | |
11 | 9, 10 | mpan 400 | . . . . . . . . . . 11 |
12 | nnm1 6097 | . . . . . . . . . . 11 | |
13 | 11, 12 | eqtrd 2072 | . . . . . . . . . 10 |
14 | 8, 13 | syl 14 | . . . . . . . . 9 |
15 | 14 | adantl 262 | . . . . . . . 8 |
16 | 7, 15 | opeq12d 3557 | . . . . . . 7 |
17 | 16 | eceq1d 6142 | . . . . . 6 ~Q0 ~Q0 |
18 | nnanq0 6556 | . . . . . . 7 ~Q0 ~Q0 +Q0 ~Q0 | |
19 | 18 | 3anidm12 1192 | . . . . . 6 ~Q0 ~Q0 +Q0 ~Q0 |
20 | 5, 17, 19 | 3eqtrd 2076 | . . . . 5 ~Q0 ·Q0 ~Q0 ~Q0 +Q0 ~Q0 |
21 | 20 | adantr 261 | . . . 4 ~Q0 ~Q0 ·Q0 ~Q0 ~Q0 +Q0 ~Q0 |
22 | oveq2 5520 | . . . . . 6 ~Q0 ~Q0 ·Q0 ~Q0 ·Q0 ~Q0 | |
23 | id 19 | . . . . . . 7 ~Q0 ~Q0 | |
24 | 23, 23 | oveq12d 5530 | . . . . . 6 ~Q0 +Q0 ~Q0 +Q0 ~Q0 |
25 | 22, 24 | eqeq12d 2054 | . . . . 5 ~Q0 ~Q0 ·Q0 +Q0 ~Q0 ·Q0 ~Q0 ~Q0 +Q0 ~Q0 |
26 | 25 | adantl 262 | . . . 4 ~Q0 ~Q0 ·Q0 +Q0 ~Q0 ·Q0 ~Q0 ~Q0 +Q0 ~Q0 |
27 | 21, 26 | mpbird 156 | . . 3 ~Q0 ~Q0 ·Q0 +Q0 |
28 | 27 | exlimivv 1776 | . 2 ~Q0 ~Q0 ·Q0 +Q0 |
29 | 1, 28 | syl 14 | 1 Q0 ~Q0 ·Q0 +Q0 |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: wi 4 wa 97 wb 98 wceq 1243 wex 1381 wcel 1393 cop 3378 com 4313 (class class class)co 5512 c1o 5994 c2o 5995 coa 5998 comu 5999 cec 6104 cnpi 6370 ~Q0 ceq0 6384 Q0cnq0 6385 +Q0 cplq0 6387 ·Q0 cmq0 6388 |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 99 ax-ia2 100 ax-ia3 101 ax-in1 544 ax-in2 545 ax-io 630 ax-5 1336 ax-7 1337 ax-gen 1338 ax-ie1 1382 ax-ie2 1383 ax-8 1395 ax-10 1396 ax-11 1397 ax-i12 1398 ax-bndl 1399 ax-4 1400 ax-13 1404 ax-14 1405 ax-17 1419 ax-i9 1423 ax-ial 1427 ax-i5r 1428 ax-ext 2022 ax-coll 3872 ax-sep 3875 ax-nul 3883 ax-pow 3927 ax-pr 3944 ax-un 4170 ax-setind 4262 ax-iinf 4311 |
This theorem depends on definitions: df-bi 110 df-dc 743 df-3or 886 df-3an 887 df-tru 1246 df-fal 1249 df-nf 1350 df-sb 1646 df-eu 1903 df-mo 1904 df-clab 2027 df-cleq 2033 df-clel 2036 df-nfc 2167 df-ne 2206 df-ral 2311 df-rex 2312 df-reu 2313 df-rab 2315 df-v 2559 df-sbc 2765 df-csb 2853 df-dif 2920 df-un 2922 df-in 2924 df-ss 2931 df-nul 3225 df-pw 3361 df-sn 3381 df-pr 3382 df-op 3384 df-uni 3581 df-int 3616 df-iun 3659 df-br 3765 df-opab 3819 df-mpt 3820 df-tr 3855 df-id 4030 df-iord 4103 df-on 4105 df-suc 4108 df-iom 4314 df-xp 4351 df-rel 4352 df-cnv 4353 df-co 4354 df-dm 4355 df-rn 4356 df-res 4357 df-ima 4358 df-iota 4867 df-fun 4904 df-fn 4905 df-f 4906 df-f1 4907 df-fo 4908 df-f1o 4909 df-fv 4910 df-ov 5515 df-oprab 5516 df-mpt2 5517 df-1st 5767 df-2nd 5768 df-recs 5920 df-irdg 5957 df-1o 6001 df-2o 6002 df-oadd 6005 df-omul 6006 df-er 6106 df-ec 6108 df-qs 6112 df-ni 6402 df-mi 6404 df-enq0 6522 df-nq0 6523 df-plq0 6525 df-mq0 6526 |
This theorem is referenced by: prarloclemcalc 6600 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |