Theorem addclnq0 6549

Description: Closure of addition on non-negative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addclnq0	|- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 ) -> ( A +Q0 B ) e. Q0 )

Proof of Theorem addclnq0

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq0 6523	. . 3 |- Q0 = ( ( om X. N. ) /. ~Q0 )
2		oveq1 5519	. . . 4 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
3	2	eleq1d 2106	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
4		oveq2 5520	. . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 B ) )
5	4	eleq1d 2106	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> ( A +Q0 B ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
6		addnnnq0 6547	. . . 4 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
7		pinn 6407	. . . . . . . . 9 |- ( w e. N. -> w e. om )
8		nnmcl 6060	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. om /\ w e. om ) -> ( x .o w ) e. om )
9	7, 8	sylan2 270	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. om /\ w e. N. ) -> ( x .o w ) e. om )
10		pinn 6407	. . . . . . . . 9 |- ( y e. N. -> y e. om )
11		nnmcl 6060	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ z e. om ) -> ( y .o z ) e. om )
12	10, 11	sylan 267	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. N. /\ z e. om ) -> ( y .o z ) e. om )
13		nnacl 6059	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x .o w ) e. om /\ ( y .o z ) e. om ) -> ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. om )
14	9, 12, 13	syl2an 273	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. om /\ w e. N. ) /\ ( y e. N. /\ z e. om ) ) -> ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. om )
15	14	an42s 523	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. om )
16		mulpiord 6415	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) = ( y .o w ) )
17		mulclpi 6426	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) e. N. )
18	16, 17	eqeltrrd 2115	. . . . . . 7 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .o w ) e. N. )
19	18	ad2ant2l 477	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( y .o w ) e. N. )
20	15, 19	jca 290	. . . . 5 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. om /\ ( y .o w ) e. N. ) )
21		opelxpi 4376	. . . . 5 |- ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. om /\ ( y .o w ) e. N. ) -> <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. e. ( om X. N. ) )
22		enq0ex 6537	. . . . . 6 |- ~Q0 e. _V
23	22	ecelqsi 6160	. . . . 5 |- ( <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. e. ( om X. N. ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
24	20, 21, 23	3syl 17	. . . 4 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
25	6, 24	eqeltrd 2114	. . 3 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
26	1, 3, 5, 25	2ecoptocl 6194	. 2 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 ) -> ( A +Q0 B ) e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
27	26, 1	syl6eleqr 2131	1 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 ) -> ( A +Q0 B ) e. Q0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1243   e. wcel 1393   <.cop 3378   omcom 4313   X. cxp 4343  (class class class)co 5512   +o coa 5998   .o comu 5999   [cec 6104   /.cqs 6105   N.cnpi 6370   .N cmi 6372   ~_Q0 ceq0 6384  Q₀cnq0 6385   +_Q0 cplq0 6387

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-mi 6404  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-plq0 6525

This theorem is referenced by:  distnq0r  6561  prarloclemcalc  6600