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Theorem distrnq0 6314
 Description: Multiplication of non-negative fractions is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
distrnq0 ((A Q0 B Q0 𝐶 Q0) → (A ·Q0 (B +Q0 𝐶)) = ((A ·Q0 B) +Q0 (A ·Q0 𝐶)))

Proof of Theorem distrnq0
Dummy variables u v w x y z f g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nq0 6280 . . . 4 Q0 = ((𝜔 × N) / ~Q0 )
2 oveq1 5443 . . . . . . 7 ([⟨z, w⟩] ~Q0 = B → ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = (B +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))
32oveq2d 5452 . . . . . 6 ([⟨z, w⟩] ~Q0 = B → (A ·Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = (A ·Q0 (B +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )))
4 oveq2 5444 . . . . . . 7 ([⟨z, w⟩] ~Q0 = B → (A ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = (A ·Q0 B))
54oveq1d 5451 . . . . . 6 ([⟨z, w⟩] ~Q0 = B → ((A ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 (A ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = ((A ·Q0 B) +Q0 (A ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )))
63, 5eqeq12d 2036 . . . . 5 ([⟨z, w⟩] ~Q0 = B → ((A ·Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = ((A ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 (A ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) ↔ (A ·Q0 (B +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = ((A ·Q0 B) +Q0 (A ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))))
76imbi2d 219 . . . 4 ([⟨z, w⟩] ~Q0 = B → ((A Q0 → (A ·Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = ((A ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 (A ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))) ↔ (A Q0 → (A ·Q0 (B +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = ((A ·Q0 B) +Q0 (A ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )))))
8 oveq2 5444 . . . . . . 7 ([⟨v, u⟩] ~Q0 = 𝐶 → (B +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = (B +Q0 𝐶))
98oveq2d 5452 . . . . . 6 ([⟨v, u⟩] ~Q0 = 𝐶 → (A ·Q0 (B +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = (A ·Q0 (B +Q0 𝐶)))
10 oveq2 5444 . . . . . . 7 ([⟨v, u⟩] ~Q0 = 𝐶 → (A ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = (A ·Q0 𝐶))
1110oveq2d 5452 . . . . . 6 ([⟨v, u⟩] ~Q0 = 𝐶 → ((A ·Q0 B) +Q0 (A ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = ((A ·Q0 B) +Q0 (A ·Q0 𝐶)))
129, 11eqeq12d 2036 . . . . 5 ([⟨v, u⟩] ~Q0 = 𝐶 → ((A ·Q0 (B +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = ((A ·Q0 B) +Q0 (A ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) ↔ (A ·Q0 (B +Q0 𝐶)) = ((A ·Q0 B) +Q0 (A ·Q0 𝐶))))
1312imbi2d 219 . . . 4 ([⟨v, u⟩] ~Q0 = 𝐶 → ((A Q0 → (A ·Q0 (B +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = ((A ·Q0 B) +Q0 (A ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))) ↔ (A Q0 → (A ·Q0 (B +Q0 𝐶)) = ((A ·Q0 B) +Q0 (A ·Q0 𝐶)))))
14 oveq1 5443 . . . . . . . 8 ([⟨x, y⟩] ~Q0 = A → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = (A ·Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )))
15 oveq1 5443 . . . . . . . . 9 ([⟨x, y⟩] ~Q0 = A → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = (A ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ))
16 oveq1 5443 . . . . . . . . 9 ([⟨x, y⟩] ~Q0 = A → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = (A ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))
1715, 16oveq12d 5454 . . . . . . . 8 ([⟨x, y⟩] ~Q0 = A → (([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = ((A ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 (A ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )))
1814, 17eqeq12d 2036 . . . . . . 7 ([⟨x, y⟩] ~Q0 = A → (([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = (([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) ↔ (A ·Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = ((A ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 (A ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))))
1918imbi2d 219 . . . . . 6 ([⟨x, y⟩] ~Q0 = A → ((((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = (([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))) ↔ (((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (A ·Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = ((A ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 (A ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )))))
20 an42 508 . . . . . . . . . . . 12 (((z 𝜔 u N) (w N v 𝜔)) ↔ ((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)))
2120anbi2i 433 . . . . . . . . . . 11 (((x 𝜔 y N) ((z 𝜔 u N) (w N v 𝜔))) ↔ ((x 𝜔 y N) ((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N))))
22 3anass 877 . . . . . . . . . . 11 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N) (w N v 𝜔)) ↔ ((x 𝜔 y N) ((z 𝜔 u N) (w N v 𝜔))))
23 3anass 877 . . . . . . . . . . 11 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) ↔ ((x 𝜔 y N) ((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N))))
2421, 22, 233bitr4i 201 . . . . . . . . . 10 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N) (w N v 𝜔)) ↔ ((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)))
25 pinn 6169 . . . . . . . . . . . . . 14 (y Ny 𝜔)
26 nnmcl 5975 . . . . . . . . . . . . . 14 ((y 𝜔 x 𝜔) → (y ·𝑜 x) 𝜔)
2725, 26sylan 267 . . . . . . . . . . . . 13 ((y N x 𝜔) → (y ·𝑜 x) 𝜔)
2827ancoms 255 . . . . . . . . . . . 12 ((x 𝜔 y N) → (y ·𝑜 x) 𝜔)
29 pinn 6169 . . . . . . . . . . . . 13 (u Nu 𝜔)
30 nnmcl 5975 . . . . . . . . . . . . 13 ((z 𝜔 u 𝜔) → (z ·𝑜 u) 𝜔)
3129, 30sylan2 270 . . . . . . . . . . . 12 ((z 𝜔 u N) → (z ·𝑜 u) 𝜔)
32 pinn 6169 . . . . . . . . . . . . 13 (w Nw 𝜔)
33 nnmcl 5975 . . . . . . . . . . . . 13 ((w 𝜔 v 𝜔) → (w ·𝑜 v) 𝜔)
3432, 33sylan 267 . . . . . . . . . . . 12 ((w N v 𝜔) → (w ·𝑜 v) 𝜔)
35 nndi 5980 . . . . . . . . . . . 12 (((y ·𝑜 x) 𝜔 (z ·𝑜 u) 𝜔 (w ·𝑜 v) 𝜔) → ((y ·𝑜 x) ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))) = (((y ·𝑜 x) ·𝑜 (z ·𝑜 u)) +𝑜 ((y ·𝑜 x) ·𝑜 (w ·𝑜 v))))
3628, 31, 34, 35syl3an 1163 . . . . . . . . . . 11 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N) (w N v 𝜔)) → ((y ·𝑜 x) ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))) = (((y ·𝑜 x) ·𝑜 (z ·𝑜 u)) +𝑜 ((y ·𝑜 x) ·𝑜 (w ·𝑜 v))))
37 simp1r 917 . . . . . . . . . . . 12 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N) (w N v 𝜔)) → y N)
38 simp1l 916 . . . . . . . . . . . 12 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N) (w N v 𝜔)) → x 𝜔)
39313ad2ant2 914 . . . . . . . . . . . . 13 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N) (w N v 𝜔)) → (z ·𝑜 u) 𝜔)
40343ad2ant3 915 . . . . . . . . . . . . 13 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N) (w N v 𝜔)) → (w ·𝑜 v) 𝜔)
41 nnacl 5974 . . . . . . . . . . . . 13 (((z ·𝑜 u) 𝜔 (w ·𝑜 v) 𝜔) → ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)) 𝜔)
4239, 40, 41syl2anc 393 . . . . . . . . . . . 12 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N) (w N v 𝜔)) → ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)) 𝜔)
43 nnmass 5981 . . . . . . . . . . . . 13 ((y 𝜔 x 𝜔 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)) 𝜔) → ((y ·𝑜 x) ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))) = (y ·𝑜 (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))))
4425, 43syl3an1 1154 . . . . . . . . . . . 12 ((y N x 𝜔 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)) 𝜔) → ((y ·𝑜 x) ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))) = (y ·𝑜 (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))))
4537, 38, 42, 44syl3anc 1121 . . . . . . . . . . 11 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N) (w N v 𝜔)) → ((y ·𝑜 x) ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))) = (y ·𝑜 (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))))
46 nnmcom 5983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((x 𝜔 y 𝜔) → (x ·𝑜 y) = (y ·𝑜 x))
4725, 46sylan2 270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((x 𝜔 y N) → (x ·𝑜 y) = (y ·𝑜 x))
4847oveq1d 5451 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((x 𝜔 y N) → ((x ·𝑜 y) ·𝑜 (z ·𝑜 u)) = ((y ·𝑜 x) ·𝑜 (z ·𝑜 u)))
4948adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N)) → ((x ·𝑜 y) ·𝑜 (z ·𝑜 u)) = ((y ·𝑜 x) ·𝑜 (z ·𝑜 u)))
50 simpll 469 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N)) → x 𝜔)
5125ad2antlr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N)) → y 𝜔)
52 simprl 471 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N)) → z 𝜔)
53 nnmcom 5983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((f 𝜔 g 𝜔) → (f ·𝑜 g) = (g ·𝑜 f))
5453adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N)) (f 𝜔 g 𝜔)) → (f ·𝑜 g) = (g ·𝑜 f))
55 nnmass 5981 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((f 𝜔 g 𝜔 𝜔) → ((f ·𝑜 g) ·𝑜 ) = (f ·𝑜 (g ·𝑜 )))
5655adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N)) (f 𝜔 g 𝜔 𝜔)) → ((f ·𝑜 g) ·𝑜 ) = (f ·𝑜 (g ·𝑜 )))
57 simprr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N)) → u N)
5857, 29syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N)) → u 𝜔)
59 nnmcl 5975 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((f 𝜔 g 𝜔) → (f ·𝑜 g) 𝜔)
6059adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N)) (f 𝜔 g 𝜔)) → (f ·𝑜 g) 𝜔)
6150, 51, 52, 54, 56, 58, 60caov4d 5608 . . . . . . . . . . . . . 14 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N)) → ((x ·𝑜 y) ·𝑜 (z ·𝑜 u)) = ((x ·𝑜 z) ·𝑜 (y ·𝑜 u)))
6249, 61eqtr3d 2056 . . . . . . . . . . . . 13 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N)) → ((y ·𝑜 x) ·𝑜 (z ·𝑜 u)) = ((x ·𝑜 z) ·𝑜 (y ·𝑜 u)))
63623adant3 912 . . . . . . . . . . . 12 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N) (w N v 𝜔)) → ((y ·𝑜 x) ·𝑜 (z ·𝑜 u)) = ((x ·𝑜 z) ·𝑜 (y ·𝑜 u)))
6425ad2antlr 462 . . . . . . . . . . . . . 14 (((x 𝜔 y N) (w N v 𝜔)) → y 𝜔)
65 simpll 469 . . . . . . . . . . . . . 14 (((x 𝜔 y N) (w N v 𝜔)) → x 𝜔)
66 simprl 471 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((x 𝜔 y N) (w N v 𝜔)) → w N)
6766, 32syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (((x 𝜔 y N) (w N v 𝜔)) → w 𝜔)
6853adantl 262 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((x 𝜔 y N) (w N v 𝜔)) (f 𝜔 g 𝜔)) → (f ·𝑜 g) = (g ·𝑜 f))
6955adantl 262 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((x 𝜔 y N) (w N v 𝜔)) (f 𝜔 g 𝜔 𝜔)) → ((f ·𝑜 g) ·𝑜 ) = (f ·𝑜 (g ·𝑜 )))
70 simprr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((x 𝜔 y N) (w N v 𝜔)) → v 𝜔)
7159adantl 262 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((x 𝜔 y N) (w N v 𝜔)) (f 𝜔 g 𝜔)) → (f ·𝑜 g) 𝜔)
7264, 65, 67, 68, 69, 70, 71caov4d 5608 . . . . . . . . . . . . 13 (((x 𝜔 y N) (w N v 𝜔)) → ((y ·𝑜 x) ·𝑜 (w ·𝑜 v)) = ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (x ·𝑜 v)))
73723adant2 911 . . . . . . . . . . . 12 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N) (w N v 𝜔)) → ((y ·𝑜 x) ·𝑜 (w ·𝑜 v)) = ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (x ·𝑜 v)))
7463, 73oveq12d 5454 . . . . . . . . . . 11 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N) (w N v 𝜔)) → (((y ·𝑜 x) ·𝑜 (z ·𝑜 u)) +𝑜 ((y ·𝑜 x) ·𝑜 (w ·𝑜 v))) = (((x ·𝑜 z) ·𝑜 (y ·𝑜 u)) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (x ·𝑜 v))))
7536, 45, 743eqtr3d 2062 . . . . . . . . . 10 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N) (w N v 𝜔)) → (y ·𝑜 (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))) = (((x ·𝑜 z) ·𝑜 (y ·𝑜 u)) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (x ·𝑜 v))))
7624, 75sylbir 125 . . . . . . . . 9 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (y ·𝑜 (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))) = (((x ·𝑜 z) ·𝑜 (y ·𝑜 u)) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (x ·𝑜 v))))
7737, 25syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N) (w N v 𝜔)) → y 𝜔)
78 mulpiord 6177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((w N u N) → (w ·N u) = (w ·𝑜 u))
7978ancoms 255 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((u N w N) → (w ·N u) = (w ·𝑜 u))
8079ad2ant2lr 467 . . . . . . . . . . . . . 14 (((z 𝜔 u N) (w N v 𝜔)) → (w ·N u) = (w ·𝑜 u))
81803adant1 910 . . . . . . . . . . . . 13 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N) (w N v 𝜔)) → (w ·N u) = (w ·𝑜 u))
82663adant2 911 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N) (w N v 𝜔)) → w N)
83573adant3 912 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N) (w N v 𝜔)) → u N)
84 mulclpi 6188 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((w N u N) → (w ·N u) N)
8582, 83, 84syl2anc 393 . . . . . . . . . . . . . 14 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N) (w N v 𝜔)) → (w ·N u) N)
86 pinn 6169 . . . . . . . . . . . . . 14 ((w ·N u) N → (w ·N u) 𝜔)
8785, 86syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N) (w N v 𝜔)) → (w ·N u) 𝜔)
8881, 87eqeltrrd 2097 . . . . . . . . . . . 12 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N) (w N v 𝜔)) → (w ·𝑜 u) 𝜔)
89 nnmass 5981 . . . . . . . . . . . 12 ((y 𝜔 y 𝜔 (w ·𝑜 u) 𝜔) → ((y ·𝑜 y) ·𝑜 (w ·𝑜 u)) = (y ·𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 u))))
9077, 77, 88, 89syl3anc 1121 . . . . . . . . . . 11 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N) (w N v 𝜔)) → ((y ·𝑜 y) ·𝑜 (w ·𝑜 u)) = (y ·𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 u))))
9182, 32syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N) (w N v 𝜔)) → w 𝜔)
9253adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 ((((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N) (w N v 𝜔)) (f 𝜔 g 𝜔)) → (f ·𝑜 g) = (g ·𝑜 f))
9355adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 ((((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N) (w N v 𝜔)) (f 𝜔 g 𝜔 𝜔)) → ((f ·𝑜 g) ·𝑜 ) = (f ·𝑜 (g ·𝑜 )))
9483, 29syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N) (w N v 𝜔)) → u 𝜔)
9559adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 ((((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N) (w N v 𝜔)) (f 𝜔 g 𝜔)) → (f ·𝑜 g) 𝜔)
9677, 77, 91, 92, 93, 94, 95caov4d 5608 . . . . . . . . . . 11 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N) (w N v 𝜔)) → ((y ·𝑜 y) ·𝑜 (w ·𝑜 u)) = ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (y ·𝑜 u)))
9790, 96eqtr3d 2056 . . . . . . . . . 10 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 u N) (w N v 𝜔)) → (y ·𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 u))) = ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (y ·𝑜 u)))
9824, 97sylbir 125 . . . . . . . . 9 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (y ·𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 u))) = ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (y ·𝑜 u)))
99 opeq12 3525 . . . . . . . . . 10 (((y ·𝑜 (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))) = (((x ·𝑜 z) ·𝑜 (y ·𝑜 u)) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (x ·𝑜 v))) (y ·𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 u))) = ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (y ·𝑜 u))) → ⟨(y ·𝑜 (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))), (y ·𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)))⟩ = ⟨(((x ·𝑜 z) ·𝑜 (y ·𝑜 u)) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (x ·𝑜 v))), ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (y ·𝑜 u))⟩)
10099eceq1d 6053 . . . . . . . . 9 (((y ·𝑜 (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))) = (((x ·𝑜 z) ·𝑜 (y ·𝑜 u)) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (x ·𝑜 v))) (y ·𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 u))) = ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (y ·𝑜 u))) → [⟨(y ·𝑜 (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))), (y ·𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)))⟩] ~Q0 = [⟨(((x ·𝑜 z) ·𝑜 (y ·𝑜 u)) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (x ·𝑜 v))), ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (y ·𝑜 u))⟩] ~Q0 )
10176, 98, 100syl2anc 393 . . . . . . . 8 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → [⟨(y ·𝑜 (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))), (y ·𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)))⟩] ~Q0 = [⟨(((x ·𝑜 z) ·𝑜 (y ·𝑜 u)) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (x ·𝑜 v))), ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (y ·𝑜 u))⟩] ~Q0 )
102 addnnnq0 6304 . . . . . . . . . . . 12 (((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = [⟨((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)), (w ·𝑜 u)⟩] ~Q0 )
103102oveq2d 5452 . . . . . . . . . . 11 (((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)), (w ·𝑜 u)⟩] ~Q0 ))
104103adantl 262 . . . . . . . . . 10 (((x 𝜔 y N) ((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N))) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)), (w ·𝑜 u)⟩] ~Q0 ))
10531, 34, 41syl2an 273 . . . . . . . . . . . . 13 (((z 𝜔 u N) (w N v 𝜔)) → ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)) 𝜔)
106105an42s 510 . . . . . . . . . . . 12 (((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)) 𝜔)
10784ad2ant2l 465 . . . . . . . . . . . . 13 (((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (w ·N u) N)
10878eleq1d 2088 . . . . . . . . . . . . . 14 ((w N u N) → ((w ·N u) N ↔ (w ·𝑜 u) N))
109108ad2ant2l 465 . . . . . . . . . . . . 13 (((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → ((w ·N u) N ↔ (w ·𝑜 u) N))
110107, 109mpbid 135 . . . . . . . . . . . 12 (((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (w ·𝑜 u) N)
111106, 110jca 290 . . . . . . . . . . 11 (((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)) 𝜔 (w ·𝑜 u) N))
112 mulnnnq0 6305 . . . . . . . . . . . 12 (((x 𝜔 y N) (((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)) 𝜔 (w ·𝑜 u) N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)), (w ·𝑜 u)⟩] ~Q0 ) = [⟨(x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))), (y ·𝑜 (w ·𝑜 u))⟩] ~Q0 )
113 nnmcl 5975 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((x 𝜔 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)) 𝜔) → (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))) 𝜔)
114 simpl 102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((y N (w ·𝑜 u) N) → y N)
115 mulpiord 6177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((y N (w ·𝑜 u) N) → (y ·N (w ·𝑜 u)) = (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)))
116 mulclpi 6188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((y N (w ·𝑜 u) N) → (y ·N (w ·𝑜 u)) N)
117115, 116eqeltrrd 2097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((y N (w ·𝑜 u) N) → (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)) N)
118114, 117jca 290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((y N (w ·𝑜 u) N) → (y N (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)) N))
119113, 118anim12i 321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((x 𝜔 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)) 𝜔) (y N (w ·𝑜 u) N)) → ((x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))) 𝜔 (y N (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)) N)))
120 an12 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))) 𝜔 (y N (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)) N)) ↔ (y N ((x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))) 𝜔 (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)) N)))
121 3anass 877 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((y N (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))) 𝜔 (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)) N) ↔ (y N ((x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))) 𝜔 (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)) N)))
122120, 121bitr4i 176 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))) 𝜔 (y N (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)) N)) ↔ (y N (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))) 𝜔 (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)) N))
123119, 122sylib 127 . . . . . . . . . . . . . 14 (((x 𝜔 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)) 𝜔) (y N (w ·𝑜 u) N)) → (y N (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))) 𝜔 (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)) N))
124123an4s 509 . . . . . . . . . . . . 13 (((x 𝜔 y N) (((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)) 𝜔 (w ·𝑜 u) N)) → (y N (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))) 𝜔 (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)) N))
125 mulcanenq0ec 6300 . . . . . . . . . . . . 13 ((y N (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))) 𝜔 (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)) N) → [⟨(y ·𝑜 (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))), (y ·𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)))⟩] ~Q0 = [⟨(x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))), (y ·𝑜 (w ·𝑜 u))⟩] ~Q0 )
126124, 125syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((x 𝜔 y N) (((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)) 𝜔 (w ·𝑜 u) N)) → [⟨(y ·𝑜 (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))), (y ·𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)))⟩] ~Q0 = [⟨(x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))), (y ·𝑜 (w ·𝑜 u))⟩] ~Q0 )
127112, 126eqtr4d 2057 . . . . . . . . . . 11 (((x 𝜔 y N) (((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)) 𝜔 (w ·𝑜 u) N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)), (w ·𝑜 u)⟩] ~Q0 ) = [⟨(y ·𝑜 (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))), (y ·𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)))⟩] ~Q0 )
128111, 127sylan2 270 . . . . . . . . . 10 (((x 𝜔 y N) ((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N))) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)), (w ·𝑜 u)⟩] ~Q0 ) = [⟨(y ·𝑜 (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))), (y ·𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)))⟩] ~Q0 )
129104, 128eqtrd 2054 . . . . . . . . 9 (((x 𝜔 y N) ((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N))) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = [⟨(y ·𝑜 (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))), (y ·𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)))⟩] ~Q0 )
1301293impb 1086 . . . . . . . 8 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = [⟨(y ·𝑜 (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))), (y ·𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)))⟩] ~Q0 )
131 mulnnnq0 6305 . . . . . . . . . . 11 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = [⟨(x ·𝑜 z), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 )
132 mulnnnq0 6305 . . . . . . . . . . 11 (((x 𝜔 y N) (v 𝜔 u N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = [⟨(x ·𝑜 v), (y ·𝑜 u)⟩] ~Q0 )
133131, 132oveqan12d 5455 . . . . . . . . . 10 ((((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) ((x 𝜔 y N) (v 𝜔 u N))) → (([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = ([⟨(x ·𝑜 z), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 +Q0 [⟨(x ·𝑜 v), (y ·𝑜 u)⟩] ~Q0 ))
134 nnmcl 5975 . . . . . . . . . . . . 13 ((x 𝜔 z 𝜔) → (x ·𝑜 z) 𝜔)
135 mulpiord 6177 . . . . . . . . . . . . . 14 ((y N w N) → (y ·N w) = (y ·𝑜 w))
136 mulclpi 6188 . . . . . . . . . . . . . 14 ((y N w N) → (y ·N w) N)
137135, 136eqeltrrd 2097 . . . . . . . . . . . . 13 ((y N w N) → (y ·𝑜 w) N)
138134, 137anim12i 321 . . . . . . . . . . . 12 (((x 𝜔 z 𝜔) (y N w N)) → ((x ·𝑜 z) 𝜔 (y ·𝑜 w) N))
139138an4s 509 . . . . . . . . . . 11 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) → ((x ·𝑜 z) 𝜔 (y ·𝑜 w) N))
140 nnmcl 5975 . . . . . . . . . . . . 13 ((x 𝜔 v 𝜔) → (x ·𝑜 v) 𝜔)
141 mulpiord 6177 . . . . . . . . . . . . . 14 ((y N u N) → (y ·N u) = (y ·𝑜 u))
142 mulclpi 6188 . . . . . . . . . . . . . 14 ((y N u N) → (y ·N u) N)
143141, 142eqeltrrd 2097 . . . . . . . . . . . . 13 ((y N u N) → (y ·𝑜 u) N)
144140, 143anim12i 321 . . . . . . . . . . . 12 (((x 𝜔 v 𝜔) (y N u N)) → ((x ·𝑜 v) 𝜔 (y ·𝑜 u) N))
145144an4s 509 . . . . . . . . . . 11 (((x 𝜔 y N) (v 𝜔 u N)) → ((x ·𝑜 v) 𝜔 (y ·𝑜 u) N))
146 addnnnq0 6304 . . . . . . . . . . 11 ((((x ·𝑜 z) 𝜔 (y ·𝑜 w) N) ((x ·𝑜 v) 𝜔 (y ·𝑜 u) N)) → ([⟨(x ·𝑜 z), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 +Q0 [⟨(x ·𝑜 v), (y ·𝑜 u)⟩] ~Q0 ) = [⟨(((x ·𝑜 z) ·𝑜 (y ·𝑜 u)) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (x ·𝑜 v))), ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (y ·𝑜 u))⟩] ~Q0 )
147139, 145, 146syl2an 273 . . . . . . . . . 10 ((((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) ((x 𝜔 y N) (v 𝜔 u N))) → ([⟨(x ·𝑜 z), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 +Q0 [⟨(x ·𝑜 v), (y ·𝑜 u)⟩] ~Q0 ) = [⟨(((x ·𝑜 z) ·𝑜 (y ·𝑜 u)) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (x ·𝑜 v))), ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (y ·𝑜 u))⟩] ~Q0 )
148133, 147eqtrd 2054 . . . . . . . . 9 ((((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) ((x 𝜔 y N) (v 𝜔 u N))) → (([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = [⟨(((x ·𝑜 z) ·𝑜 (y ·𝑜 u)) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (x ·𝑜 v))), ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (y ·𝑜 u))⟩] ~Q0 )
1491483impdi 1176 . . . . . . . 8 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = [⟨(((x ·𝑜 z) ·𝑜 (y ·𝑜 u)) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (x ·𝑜 v))), ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (y ·𝑜 u))⟩] ~Q0 )
150101, 130, 1493eqtr4d 2064 . . . . . . 7 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = (([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )))
1511503expib 1093 . . . . . 6 ((x 𝜔 y N) → (((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = (([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))))
1521, 19, 151ecoptocl 6104 . . . . 5 (A Q0 → (((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (A ·Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = ((A ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 (A ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))))
153152com12 27 . . . 4 (((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → (A Q0 → (A ·Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = ((A ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 (A ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))))
1541, 7, 13, 1532ecoptocl 6105 . . 3 ((B Q0 𝐶 Q0) → (A Q0 → (A ·Q0 (B +Q0 𝐶)) = ((A ·Q0 B) +Q0 (A ·Q0 𝐶))))
155154com12 27 . 2 (A Q0 → ((B Q0 𝐶 Q0) → (A ·Q0 (B +Q0 𝐶)) = ((A ·Q0 B) +Q0 (A ·Q0 𝐶))))
1561553impib 1088 1 ((A Q0 B Q0 𝐶 Q0) → (A ·Q0 (B +Q0 𝐶)) = ((A ·Q0 B) +Q0 (A ·Q0 𝐶)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 873   = wceq 1228   ∈ wcel 1374  ⟨cop 3353  𝜔com 4240  (class class class)co 5436   +𝑜 coa 5913   ·𝑜 comu 5914  [cec 6015  Ncnpi 6130   ·N cmi 6132   ~Q0 ceq0 6144  Q0cnq0 6145   +Q0 cplq0 6147   ·Q0 cmq0 6148 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-coll 3846  ax-sep 3849  ax-nul 3857  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120  ax-setind 4204  ax-iinf 4238 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 734  df-3or 874  df-3an 875  df-tru 1231  df-fal 1234  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ne 2188  df-ral 2289  df-rex 2290  df-reu 2291  df-rab 2293  df-v 2537  df-sbc 2742  df-csb 2830  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-int 3590  df-iun 3633  df-br 3739  df-opab 3793  df-mpt 3794  df-tr 3829  df-id 4004  df-iord 4052  df-on 4054  df-suc 4057  df-iom 4241  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-f 4833  df-f1 4834  df-fo 4835  df-f1o 4836  df-fv 4837  df-ov 5439  df-oprab 5440  df-mpt2 5441  df-1st 5690  df-2nd 5691  df-recs 5842  df-irdg 5878  df-oadd 5920  df-omul 5921  df-er 6017  df-ec 6019  df-qs 6023  df-ni 6164  df-mi 6166  df-enq0 6279  df-nq0 6280  df-plq0 6282  df-mq0 6283 This theorem is referenced by:  distnq0r  6318
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