Theorem distrnq0 6441

Description: Multiplication of non-negative fractions is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
distrnq0	⊢ ((A ∈ Q0 ∧ B ∈ Q0 ∧ 𝐶 ∈ Q0) → (A ·Q0 (B +Q0 𝐶)) = ((A ·Q0 B) +Q0 (A ·Q0 𝐶)))

Proof of Theorem distrnq0

Dummy variables u v w x y z f g ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq0 6407	. . . 4 ⊢ Q0 = ((𝜔 × N) / ~Q0 )
2		oveq1 5462	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~Q0 = B → ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = (B +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))
3	2	oveq2d 5471	. . . . . 6 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~Q0 = B → (A ·Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = (A ·Q0 (B +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )))
4		oveq2 5463	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~Q0 = B → (A ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = (A ·Q0 B))
5	4	oveq1d 5470	. . . . . 6 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~Q0 = B → ((A ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 (A ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = ((A ·Q0 B) +Q0 (A ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )))
6	3, 5	eqeq12d 2051	. . . . 5 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~Q0 = B → ((A ·Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = ((A ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 (A ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) ↔ (A ·Q0 (B +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = ((A ·Q0 B) +Q0 (A ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))))
7	6	imbi2d 219	. . . 4 ⊢ ([⟨z, w⟩] ~Q0 = B → ((A ∈ Q0 → (A ·Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = ((A ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 (A ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))) ↔ (A ∈ Q0 → (A ·Q0 (B +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = ((A ·Q0 B) +Q0 (A ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )))))
8		oveq2 5463	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨v, u⟩] ~Q0 = 𝐶 → (B +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = (B +Q0 𝐶))
9	8	oveq2d 5471	. . . . . 6 ⊢ ([⟨v, u⟩] ~Q0 = 𝐶 → (A ·Q0 (B +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = (A ·Q0 (B +Q0 𝐶)))
10		oveq2 5463	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨v, u⟩] ~Q0 = 𝐶 → (A ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = (A ·Q0 𝐶))
11	10	oveq2d 5471	. . . . . 6 ⊢ ([⟨v, u⟩] ~Q0 = 𝐶 → ((A ·Q0 B) +Q0 (A ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = ((A ·Q0 B) +Q0 (A ·Q0 𝐶)))
12	9, 11	eqeq12d 2051	. . . . 5 ⊢ ([⟨v, u⟩] ~Q0 = 𝐶 → ((A ·Q0 (B +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = ((A ·Q0 B) +Q0 (A ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) ↔ (A ·Q0 (B +Q0 𝐶)) = ((A ·Q0 B) +Q0 (A ·Q0 𝐶))))
13	12	imbi2d 219	. . . 4 ⊢ ([⟨v, u⟩] ~Q0 = 𝐶 → ((A ∈ Q0 → (A ·Q0 (B +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = ((A ·Q0 B) +Q0 (A ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))) ↔ (A ∈ Q0 → (A ·Q0 (B +Q0 𝐶)) = ((A ·Q0 B) +Q0 (A ·Q0 𝐶)))))
14		oveq1 5462	. . . . . . . 8 ⊢ ([⟨x, y⟩] ~Q0 = A → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = (A ·Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )))
15		oveq1 5462	. . . . . . . . 9 ⊢ ([⟨x, y⟩] ~Q0 = A → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = (A ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ))
16		oveq1 5462	. . . . . . . . 9 ⊢ ([⟨x, y⟩] ~Q0 = A → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = (A ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))
17	15, 16	oveq12d 5473	. . . . . . . 8 ⊢ ([⟨x, y⟩] ~Q0 = A → (([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = ((A ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 (A ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )))
18	14, 17	eqeq12d 2051	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨x, y⟩] ~Q0 = A → (([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = (([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) ↔ (A ·Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = ((A ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 (A ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))))
19	18	imbi2d 219	. . . . . 6 ⊢ ([⟨x, y⟩] ~Q0 = A → ((((z ∈ 𝜔 ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = (([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))) ↔ (((z ∈ 𝜔 ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N)) → (A ·Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = ((A ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 (A ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )))))
20		an42 521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) ↔ ((z ∈ 𝜔 ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N)))
21	20	anbi2i 430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ ((z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔))) ↔ ((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ ((z ∈ 𝜔 ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N))))
22		3anass 888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) ↔ ((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ ((z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔))))
23		3anass 888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N)) ↔ ((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ ((z ∈ 𝜔 ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N))))
24	21, 22, 23	3bitr4i 201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) ↔ ((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N)))
25		pinn 6293	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y ∈ N → y ∈ 𝜔)
26		nnmcl 5999	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((y ∈ 𝜔 ∧ x ∈ 𝜔) → (y ·𝑜 x) ∈ 𝜔)
27	25, 26	sylan 267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y ∈ N ∧ x ∈ 𝜔) → (y ·𝑜 x) ∈ 𝜔)
28	27	ancoms 255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) → (y ·𝑜 x) ∈ 𝜔)
29		pinn 6293	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (u ∈ N → u ∈ 𝜔)
30		nnmcl 5999	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ 𝜔) → (z ·𝑜 u) ∈ 𝜔)
31	29, 30	sylan2 270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N) → (z ·𝑜 u) ∈ 𝜔)
32		pinn 6293	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (w ∈ N → w ∈ 𝜔)
33		nnmcl 5999	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((w ∈ 𝜔 ∧ v ∈ 𝜔) → (w ·𝑜 v) ∈ 𝜔)
34	32, 33	sylan 267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔) → (w ·𝑜 v) ∈ 𝜔)
35		nndi 6004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((y ·𝑜 x) ∈ 𝜔 ∧ (z ·𝑜 u) ∈ 𝜔 ∧ (w ·𝑜 v) ∈ 𝜔) → ((y ·𝑜 x) ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))) = (((y ·𝑜 x) ·𝑜 (z ·𝑜 u)) +𝑜 ((y ·𝑜 x) ·𝑜 (w ·𝑜 v))))
36	28, 31, 34, 35	syl3an 1176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) → ((y ·𝑜 x) ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))) = (((y ·𝑜 x) ·𝑜 (z ·𝑜 u)) +𝑜 ((y ·𝑜 x) ·𝑜 (w ·𝑜 v))))
37		simp1r 928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) → y ∈ N)
38		simp1l 927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) → x ∈ 𝜔)
39	31	3ad2ant2 925	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) → (z ·𝑜 u) ∈ 𝜔)
40	34	3ad2ant3 926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) → (w ·𝑜 v) ∈ 𝜔)
41		nnacl 5998	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((z ·𝑜 u) ∈ 𝜔 ∧ (w ·𝑜 v) ∈ 𝜔) → ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)) ∈ 𝜔)
42	39, 40, 41	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) → ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)) ∈ 𝜔)
43		nnmass 6005	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y ∈ 𝜔 ∧ x ∈ 𝜔 ∧ ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)) ∈ 𝜔) → ((y ·𝑜 x) ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))) = (y ·𝑜 (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))))
44	25, 43	syl3an1 1167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y ∈ N ∧ x ∈ 𝜔 ∧ ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)) ∈ 𝜔) → ((y ·𝑜 x) ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))) = (y ·𝑜 (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))))
45	37, 38, 42, 44	syl3anc 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) → ((y ·𝑜 x) ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))) = (y ·𝑜 (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))))
46		nnmcom 6007	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ 𝜔) → (x ·𝑜 y) = (y ·𝑜 x))
47	25, 46	sylan2 270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) → (x ·𝑜 y) = (y ·𝑜 x))
48	47	oveq1d 5470	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) → ((x ·𝑜 y) ·𝑜 (z ·𝑜 u)) = ((y ·𝑜 x) ·𝑜 (z ·𝑜 u)))
49	48	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N)) → ((x ·𝑜 y) ·𝑜 (z ·𝑜 u)) = ((y ·𝑜 x) ·𝑜 (z ·𝑜 u)))
50		simpll 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N)) → x ∈ 𝜔)
51	25	ad2antlr 458	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N)) → y ∈ 𝜔)
52		simprl 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N)) → z ∈ 𝜔)
53		nnmcom 6007	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((f ∈ 𝜔 ∧ g ∈ 𝜔) → (f ·𝑜 g) = (g ·𝑜 f))
54	53	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N)) ∧ (f ∈ 𝜔 ∧ g ∈ 𝜔)) → (f ·𝑜 g) = (g ·𝑜 f))
55		nnmass 6005	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((f ∈ 𝜔 ∧ g ∈ 𝜔 ∧ ℎ ∈ 𝜔) → ((f ·𝑜 g) ·𝑜 ℎ) = (f ·𝑜 (g ·𝑜 ℎ)))
56	55	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N)) ∧ (f ∈ 𝜔 ∧ g ∈ 𝜔 ∧ ℎ ∈ 𝜔)) → ((f ·𝑜 g) ·𝑜 ℎ) = (f ·𝑜 (g ·𝑜 ℎ)))
57		simprr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N)) → u ∈ N)
58	57, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N)) → u ∈ 𝜔)
59		nnmcl 5999	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((f ∈ 𝜔 ∧ g ∈ 𝜔) → (f ·𝑜 g) ∈ 𝜔)
60	59	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N)) ∧ (f ∈ 𝜔 ∧ g ∈ 𝜔)) → (f ·𝑜 g) ∈ 𝜔)
61	50, 51, 52, 54, 56, 58, 60	caov4d 5627	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N)) → ((x ·𝑜 y) ·𝑜 (z ·𝑜 u)) = ((x ·𝑜 z) ·𝑜 (y ·𝑜 u)))
62	49, 61	eqtr3d 2071	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N)) → ((y ·𝑜 x) ·𝑜 (z ·𝑜 u)) = ((x ·𝑜 z) ·𝑜 (y ·𝑜 u)))
63	62	3adant3 923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) → ((y ·𝑜 x) ·𝑜 (z ·𝑜 u)) = ((x ·𝑜 z) ·𝑜 (y ·𝑜 u)))
64	25	ad2antlr 458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) → y ∈ 𝜔)
65		simpll 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) → x ∈ 𝜔)
66		simprl 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) → w ∈ N)
67	66, 32	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) → w ∈ 𝜔)
68	53	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) ∧ (f ∈ 𝜔 ∧ g ∈ 𝜔)) → (f ·𝑜 g) = (g ·𝑜 f))
69	55	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) ∧ (f ∈ 𝜔 ∧ g ∈ 𝜔 ∧ ℎ ∈ 𝜔)) → ((f ·𝑜 g) ·𝑜 ℎ) = (f ·𝑜 (g ·𝑜 ℎ)))
70		simprr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) → v ∈ 𝜔)
71	59	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) ∧ (f ∈ 𝜔 ∧ g ∈ 𝜔)) → (f ·𝑜 g) ∈ 𝜔)
72	64, 65, 67, 68, 69, 70, 71	caov4d 5627	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) → ((y ·𝑜 x) ·𝑜 (w ·𝑜 v)) = ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (x ·𝑜 v)))
73	72	3adant2 922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) → ((y ·𝑜 x) ·𝑜 (w ·𝑜 v)) = ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (x ·𝑜 v)))
74	63, 73	oveq12d 5473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) → (((y ·𝑜 x) ·𝑜 (z ·𝑜 u)) +𝑜 ((y ·𝑜 x) ·𝑜 (w ·𝑜 v))) = (((x ·𝑜 z) ·𝑜 (y ·𝑜 u)) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (x ·𝑜 v))))
75	36, 45, 74	3eqtr3d 2077	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) → (y ·𝑜 (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))) = (((x ·𝑜 z) ·𝑜 (y ·𝑜 u)) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (x ·𝑜 v))))
76	24, 75	sylbir 125	. . . . . . . . 9 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N)) → (y ·𝑜 (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))) = (((x ·𝑜 z) ·𝑜 (y ·𝑜 u)) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (x ·𝑜 v))))
77	37, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) → y ∈ 𝜔)
78		mulpiord 6301	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((w ∈ N ∧ u ∈ N) → (w ·N u) = (w ·𝑜 u))
79	78	ancoms 255	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((u ∈ N ∧ w ∈ N) → (w ·N u) = (w ·𝑜 u))
80	79	ad2ant2lr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) → (w ·N u) = (w ·𝑜 u))
81	80	3adant1 921	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) → (w ·N u) = (w ·𝑜 u))
82	66	3adant2 922	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) → w ∈ N)
83	57	3adant3 923	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) → u ∈ N)
84		mulclpi 6312	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((w ∈ N ∧ u ∈ N) → (w ·N u) ∈ N)
85	82, 83, 84	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) → (w ·N u) ∈ N)
86		pinn 6293	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((w ·N u) ∈ N → (w ·N u) ∈ 𝜔)
87	85, 86	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) → (w ·N u) ∈ 𝜔)
88	81, 87	eqeltrrd 2112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) → (w ·𝑜 u) ∈ 𝜔)
89		nnmass 6005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y ∈ 𝜔 ∧ y ∈ 𝜔 ∧ (w ·𝑜 u) ∈ 𝜔) → ((y ·𝑜 y) ·𝑜 (w ·𝑜 u)) = (y ·𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 u))))
90	77, 77, 88, 89	syl3anc 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) → ((y ·𝑜 y) ·𝑜 (w ·𝑜 u)) = (y ·𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 u))))
91	82, 32	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) → w ∈ 𝜔)
92	53	adantl 262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) ∧ (f ∈ 𝜔 ∧ g ∈ 𝜔)) → (f ·𝑜 g) = (g ·𝑜 f))
93	55	adantl 262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) ∧ (f ∈ 𝜔 ∧ g ∈ 𝜔 ∧ ℎ ∈ 𝜔)) → ((f ·𝑜 g) ·𝑜 ℎ) = (f ·𝑜 (g ·𝑜 ℎ)))
94	83, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) → u ∈ 𝜔)
95	59	adantl 262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) ∧ (f ∈ 𝜔 ∧ g ∈ 𝜔)) → (f ·𝑜 g) ∈ 𝜔)
96	77, 77, 91, 92, 93, 94, 95	caov4d 5627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) → ((y ·𝑜 y) ·𝑜 (w ·𝑜 u)) = ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (y ·𝑜 u)))
97	90, 96	eqtr3d 2071	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) → (y ·𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 u))) = ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (y ·𝑜 u)))
98	24, 97	sylbir 125	. . . . . . . . 9 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N)) → (y ·𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 u))) = ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (y ·𝑜 u)))
99		opeq12 3542	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((y ·𝑜 (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))) = (((x ·𝑜 z) ·𝑜 (y ·𝑜 u)) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (x ·𝑜 v))) ∧ (y ·𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 u))) = ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (y ·𝑜 u))) → ⟨(y ·𝑜 (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))), (y ·𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)))⟩ = ⟨(((x ·𝑜 z) ·𝑜 (y ·𝑜 u)) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (x ·𝑜 v))), ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (y ·𝑜 u))⟩)
100	99	eceq1d 6078	. . . . . . . . 9 ⊢ (((y ·𝑜 (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))) = (((x ·𝑜 z) ·𝑜 (y ·𝑜 u)) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (x ·𝑜 v))) ∧ (y ·𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 u))) = ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (y ·𝑜 u))) → [⟨(y ·𝑜 (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))), (y ·𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)))⟩] ~Q0 = [⟨(((x ·𝑜 z) ·𝑜 (y ·𝑜 u)) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (x ·𝑜 v))), ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (y ·𝑜 u))⟩] ~Q0 )
101	76, 98, 100	syl2anc 391	. . . . . . . 8 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N)) → [⟨(y ·𝑜 (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))), (y ·𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)))⟩] ~Q0 = [⟨(((x ·𝑜 z) ·𝑜 (y ·𝑜 u)) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (x ·𝑜 v))), ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (y ·𝑜 u))⟩] ~Q0 )
102		addnnnq0 6431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((z ∈ 𝜔 ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = [⟨((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)), (w ·𝑜 u)⟩] ~Q0 )
103	102	oveq2d 5471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((z ∈ 𝜔 ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)), (w ·𝑜 u)⟩] ~Q0 ))
104	103	adantl 262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ ((z ∈ 𝜔 ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N))) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)), (w ·𝑜 u)⟩] ~Q0 ))
105	31, 34, 41	syl2an 273	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((z ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ 𝜔)) → ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)) ∈ 𝜔)
106	105	an42s 523	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((z ∈ 𝜔 ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N)) → ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)) ∈ 𝜔)
107	84	ad2ant2l 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((z ∈ 𝜔 ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N)) → (w ·N u) ∈ N)
108	78	eleq1d 2103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((w ∈ N ∧ u ∈ N) → ((w ·N u) ∈ N ↔ (w ·𝑜 u) ∈ N))
109	108	ad2ant2l 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((z ∈ 𝜔 ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N)) → ((w ·N u) ∈ N ↔ (w ·𝑜 u) ∈ N))
110	107, 109	mpbid 135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((z ∈ 𝜔 ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N)) → (w ·𝑜 u) ∈ N)
111	106, 110	jca 290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((z ∈ 𝜔 ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N)) → (((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)) ∈ 𝜔 ∧ (w ·𝑜 u) ∈ N))
112		mulnnnq0 6432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)) ∈ 𝜔 ∧ (w ·𝑜 u) ∈ N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)), (w ·𝑜 u)⟩] ~Q0 ) = [⟨(x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))), (y ·𝑜 (w ·𝑜 u))⟩] ~Q0 )
113		nnmcl 5999	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((x ∈ 𝜔 ∧ ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)) ∈ 𝜔) → (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))) ∈ 𝜔)
114		simpl 102	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((y ∈ N ∧ (w ·𝑜 u) ∈ N) → y ∈ N)
115		mulpiord 6301	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((y ∈ N ∧ (w ·𝑜 u) ∈ N) → (y ·N (w ·𝑜 u)) = (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)))
116		mulclpi 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((y ∈ N ∧ (w ·𝑜 u) ∈ N) → (y ·N (w ·𝑜 u)) ∈ N)
117	115, 116	eqeltrrd 2112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((y ∈ N ∧ (w ·𝑜 u) ∈ N) → (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)) ∈ N)
118	114, 117	jca 290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((y ∈ N ∧ (w ·𝑜 u) ∈ N) → (y ∈ N ∧ (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)) ∈ N))
119	113, 118	anim12i 321	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)) ∈ 𝜔) ∧ (y ∈ N ∧ (w ·𝑜 u) ∈ N)) → ((x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))) ∈ 𝜔 ∧ (y ∈ N ∧ (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)) ∈ N)))
120		an12 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))) ∈ 𝜔 ∧ (y ∈ N ∧ (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)) ∈ N)) ↔ (y ∈ N ∧ ((x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))) ∈ 𝜔 ∧ (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)) ∈ N)))
121		3anass 888	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((y ∈ N ∧ (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))) ∈ 𝜔 ∧ (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)) ∈ N) ↔ (y ∈ N ∧ ((x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))) ∈ 𝜔 ∧ (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)) ∈ N)))
122	120, 121	bitr4i 176	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))) ∈ 𝜔 ∧ (y ∈ N ∧ (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)) ∈ N)) ↔ (y ∈ N ∧ (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))) ∈ 𝜔 ∧ (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)) ∈ N))
123	119, 122	sylib 127	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)) ∈ 𝜔) ∧ (y ∈ N ∧ (w ·𝑜 u) ∈ N)) → (y ∈ N ∧ (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))) ∈ 𝜔 ∧ (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)) ∈ N))
124	123	an4s 522	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)) ∈ 𝜔 ∧ (w ·𝑜 u) ∈ N)) → (y ∈ N ∧ (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))) ∈ 𝜔 ∧ (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)) ∈ N))
125		mulcanenq0ec 6427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y ∈ N ∧ (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))) ∈ 𝜔 ∧ (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)) ∈ N) → [⟨(y ·𝑜 (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))), (y ·𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)))⟩] ~Q0 = [⟨(x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))), (y ·𝑜 (w ·𝑜 u))⟩] ~Q0 )
126	124, 125	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)) ∈ 𝜔 ∧ (w ·𝑜 u) ∈ N)) → [⟨(y ·𝑜 (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))), (y ·𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)))⟩] ~Q0 = [⟨(x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v))), (y ·𝑜 (w ·𝑜 u))⟩] ~Q0 )
127	112, 126	eqtr4d 2072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)) ∈ 𝜔 ∧ (w ·𝑜 u) ∈ N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)), (w ·𝑜 u)⟩] ~Q0 ) = [⟨(y ·𝑜 (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))), (y ·𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)))⟩] ~Q0 )
128	111, 127	sylan2 270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ ((z ∈ 𝜔 ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N))) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)), (w ·𝑜 u)⟩] ~Q0 ) = [⟨(y ·𝑜 (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))), (y ·𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)))⟩] ~Q0 )
129	104, 128	eqtrd 2069	. . . . . . . . 9 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ ((z ∈ 𝜔 ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N))) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = [⟨(y ·𝑜 (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))), (y ·𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)))⟩] ~Q0 )
130	129	3impb 1099	. . . . . . . 8 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = [⟨(y ·𝑜 (x ·𝑜 ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))), (y ·𝑜 (y ·𝑜 (w ·𝑜 u)))⟩] ~Q0 )
131		mulnnnq0 6432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ w ∈ N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = [⟨(x ·𝑜 z), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 )
132		mulnnnq0 6432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (v ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = [⟨(x ·𝑜 v), (y ·𝑜 u)⟩] ~Q0 )
133	131, 132	oveqan12d 5474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ w ∈ N)) ∧ ((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (v ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N))) → (([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = ([⟨(x ·𝑜 z), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 +Q0 [⟨(x ·𝑜 v), (y ·𝑜 u)⟩] ~Q0 ))
134		nnmcl 5999	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((x ∈ 𝜔 ∧ z ∈ 𝜔) → (x ·𝑜 z) ∈ 𝜔)
135		mulpiord 6301	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((y ∈ N ∧ w ∈ N) → (y ·N w) = (y ·𝑜 w))
136		mulclpi 6312	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((y ∈ N ∧ w ∈ N) → (y ·N w) ∈ N)
137	135, 136	eqeltrrd 2112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y ∈ N ∧ w ∈ N) → (y ·𝑜 w) ∈ N)
138	134, 137	anim12i 321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ z ∈ 𝜔) ∧ (y ∈ N ∧ w ∈ N)) → ((x ·𝑜 z) ∈ 𝜔 ∧ (y ·𝑜 w) ∈ N))
139	138	an4s 522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ w ∈ N)) → ((x ·𝑜 z) ∈ 𝜔 ∧ (y ·𝑜 w) ∈ N))
140		nnmcl 5999	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((x ∈ 𝜔 ∧ v ∈ 𝜔) → (x ·𝑜 v) ∈ 𝜔)
141		mulpiord 6301	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((y ∈ N ∧ u ∈ N) → (y ·N u) = (y ·𝑜 u))
142		mulclpi 6312	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((y ∈ N ∧ u ∈ N) → (y ·N u) ∈ N)
143	141, 142	eqeltrrd 2112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y ∈ N ∧ u ∈ N) → (y ·𝑜 u) ∈ N)
144	140, 143	anim12i 321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ v ∈ 𝜔) ∧ (y ∈ N ∧ u ∈ N)) → ((x ·𝑜 v) ∈ 𝜔 ∧ (y ·𝑜 u) ∈ N))
145	144	an4s 522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (v ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N)) → ((x ·𝑜 v) ∈ 𝜔 ∧ (y ·𝑜 u) ∈ N))
146		addnnnq0 6431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((x ·𝑜 z) ∈ 𝜔 ∧ (y ·𝑜 w) ∈ N) ∧ ((x ·𝑜 v) ∈ 𝜔 ∧ (y ·𝑜 u) ∈ N)) → ([⟨(x ·𝑜 z), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 +Q0 [⟨(x ·𝑜 v), (y ·𝑜 u)⟩] ~Q0 ) = [⟨(((x ·𝑜 z) ·𝑜 (y ·𝑜 u)) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (x ·𝑜 v))), ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (y ·𝑜 u))⟩] ~Q0 )
147	139, 145, 146	syl2an 273	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ w ∈ N)) ∧ ((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (v ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N))) → ([⟨(x ·𝑜 z), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 +Q0 [⟨(x ·𝑜 v), (y ·𝑜 u)⟩] ~Q0 ) = [⟨(((x ·𝑜 z) ·𝑜 (y ·𝑜 u)) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (x ·𝑜 v))), ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (y ·𝑜 u))⟩] ~Q0 )
148	133, 147	eqtrd 2069	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ w ∈ N)) ∧ ((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (v ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N))) → (([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = [⟨(((x ·𝑜 z) ·𝑜 (y ·𝑜 u)) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (x ·𝑜 v))), ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (y ·𝑜 u))⟩] ~Q0 )
149	148	3impdi 1189	. . . . . . . 8 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N)) → (([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = [⟨(((x ·𝑜 z) ·𝑜 (y ·𝑜 u)) +𝑜 ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (x ·𝑜 v))), ((y ·𝑜 w) ·𝑜 (y ·𝑜 u))⟩] ~Q0 )
150	101, 130, 149	3eqtr4d 2079	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ 𝜔 ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = (([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )))
151	150	3expib 1106	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ 𝜔 ∧ y ∈ N) → (((z ∈ 𝜔 ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = (([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))))
152	1, 19, 151	ecoptocl 6129	. . . . 5 ⊢ (A ∈ Q0 → (((z ∈ 𝜔 ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N)) → (A ·Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = ((A ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 (A ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))))
153	152	com12 27	. . . 4 ⊢ (((z ∈ 𝜔 ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ 𝜔 ∧ u ∈ N)) → (A ∈ Q0 → (A ·Q0 ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 )) = ((A ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) +Q0 (A ·Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))))
154	1, 7, 13, 153	2ecoptocl 6130	. . 3 ⊢ ((B ∈ Q0 ∧ 𝐶 ∈ Q0) → (A ∈ Q0 → (A ·Q0 (B +Q0 𝐶)) = ((A ·Q0 B) +Q0 (A ·Q0 𝐶))))
155	154	com12 27	. 2 ⊢ (A ∈ Q0 → ((B ∈ Q0 ∧ 𝐶 ∈ Q0) → (A ·Q0 (B +Q0 𝐶)) = ((A ·Q0 B) +Q0 (A ·Q0 𝐶))))
156	155	3impib 1101	1 ⊢ ((A ∈ Q0 ∧ B ∈ Q0 ∧ 𝐶 ∈ Q0) → (A ·Q0 (B +Q0 𝐶)) = ((A ·Q0 B) +Q0 (A ·Q0 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ⟨cop 3370  𝜔com 4256  (class class class)co 5455   +_𝑜 coa 5937   ·_𝑜 comu 5938  [cec 6040  Ncnpi 6256   ·_N cmi 6258   ~_Q0 ceq0 6270  Q₀cnq0 6271   +_Q0 cplq0 6273   ·_Q0 cmq0 6274

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-mi 6290  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-plq0 6409  df-mq0 6410

This theorem is referenced by:  distnq0r  6445