ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcanenq0ec Unicode version

Theorem mulcanenq0ec 6543
Description: Lemma for distributive law: cancellation of common factor. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcanenq0ec  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om  /\  C  e.  N. )  ->  [ <. ( A  .o  B ) ,  ( A  .o  C ) >. ] ~Q0  =  [ <. B ,  C >. ] ~Q0  )

Proof of Theorem mulcanenq0ec
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enq0er 6533 . . 3  |- ~Q0  Er  ( om  X.  N. )
21a1i 9 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om  /\  C  e.  N. )  -> ~Q0  Er  ( om  X.  N. ) )
3 pinn 6407 . . . . 5  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
433ad2ant1 925 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om  /\  C  e.  N. )  ->  A  e.  om )
5 simp2 905 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om  /\  C  e.  N. )  ->  B  e.  om )
6 pinn 6407 . . . . 5  |-  ( C  e.  N.  ->  C  e.  om )
763ad2ant3 927 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om  /\  C  e.  N. )  ->  C  e.  om )
8 nnmcom 6068 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( x  .o  y
)  =  ( y  .o  x ) )
98adantl 262 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om  /\  C  e.  N. )  /\  ( x  e.  om  /\  y  e.  om )
)  ->  ( x  .o  y )  =  ( y  .o  x ) )
10 nnmass 6066 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  (
( x  .o  y
)  .o  z )  =  ( x  .o  ( y  .o  z
) ) )
1110adantl 262 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om  /\  C  e.  N. )  /\  ( x  e.  om  /\  y  e.  om  /\  z  e.  om )
)  ->  ( (
x  .o  y )  .o  z )  =  ( x  .o  (
y  .o  z ) ) )
124, 5, 7, 9, 11caov32d 5681 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om  /\  C  e.  N. )  ->  (
( A  .o  B
)  .o  C )  =  ( ( A  .o  C )  .o  B ) )
13 nnmcl 6060 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  B
)  e.  om )
143, 13sylan 267 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  B
)  e.  om )
15 mulpiord 6415 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  .N  C
)  =  ( A  .o  C ) )
16 mulclpi 6426 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  .N  C
)  e.  N. )
1715, 16eqeltrrd 2115 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  .o  C
)  e.  N. )
1814, 17anim12i 321 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om )  /\  ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( ( A  .o  B )  e. 
om  /\  ( A  .o  C )  e.  N. ) )
19 simpr 103 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( B  e.  om  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( B  e.  om  /\  C  e. 
N. ) )
2019an4s 522 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om )  /\  ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( B  e.  om  /\  C  e. 
N. ) )
2118, 20jca 290 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om )  /\  ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( (
( A  .o  B
)  e.  om  /\  ( A  .o  C
)  e.  N. )  /\  ( B  e.  om  /\  C  e.  N. )
) )
22213impdi 1190 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om  /\  C  e.  N. )  ->  (
( ( A  .o  B )  e.  om  /\  ( A  .o  C
)  e.  N. )  /\  ( B  e.  om  /\  C  e.  N. )
) )
23 enq0breq 6534 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  .o  B )  e.  om  /\  ( A  .o  C
)  e.  N. )  /\  ( B  e.  om  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( <. ( A  .o  B ) ,  ( A  .o  C ) >. ~Q0 
<. B ,  C >.  <->  (
( A  .o  B
)  .o  C )  =  ( ( A  .o  C )  .o  B ) ) )
2422, 23syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om  /\  C  e.  N. )  ->  ( <. ( A  .o  B
) ,  ( A  .o  C ) >. ~Q0  <. B ,  C >. 
<->  ( ( A  .o  B )  .o  C
)  =  ( ( A  .o  C )  .o  B ) ) )
2512, 24mpbird 156 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om  /\  C  e.  N. )  ->  <. ( A  .o  B ) ,  ( A  .o  C
) >. ~Q0  <. B ,  C >. )
262, 25erthi 6152 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  om  /\  C  e.  N. )  ->  [ <. ( A  .o  B ) ,  ( A  .o  C ) >. ] ~Q0  =  [ <. B ,  C >. ] ~Q0  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    /\ w3a 885    = wceq 1243    e. wcel 1393   <.cop 3378   class class class wbr 3764   omcom 4313    X. cxp 4343  (class class class)co 5512    .o comu 5999    Er wer 6103   [cec 6104   N.cnpi 6370    .N cmi 6372   ~Q0 ceq0 6384
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-ni 6402  df-mi 6404  df-enq0 6522
This theorem is referenced by:  nnanq0  6556  distrnq0  6557
  Copyright terms: Public domain W3C validator