Theorem addassnq0lemcl 6559

Description: A natural number closure law. Lemma for addassnq0 6560. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addassnq0lemcl	|- ( ( ( I e. om /\ J e. N. ) /\ ( K e. om /\ L e. N. ) ) -> ( ( ( I .o L ) +o ( J .o K ) ) e. om /\ ( J .o L ) e. N. ) )

Proof of Theorem addassnq0lemcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 6407	. . . . 5 |- ( L e. N. -> L e. om )
2		nnmcl 6060	. . . . 5 |- ( ( I e. om /\ L e. om ) -> ( I .o L ) e. om )
3	1, 2	sylan2 270	. . . 4 |- ( ( I e. om /\ L e. N. ) -> ( I .o L ) e. om )
4	3	ad2ant2rl 480	. . 3 |- ( ( ( I e. om /\ J e. N. ) /\ ( K e. om /\ L e. N. ) ) -> ( I .o L ) e. om )
5		pinn 6407	. . . . 5 |- ( J e. N. -> J e. om )
6		nnmcl 6060	. . . . 5 |- ( ( J e. om /\ K e. om ) -> ( J .o K ) e. om )
7	5, 6	sylan 267	. . . 4 |- ( ( J e. N. /\ K e. om ) -> ( J .o K ) e. om )
8	7	ad2ant2lr 479	. . 3 |- ( ( ( I e. om /\ J e. N. ) /\ ( K e. om /\ L e. N. ) ) -> ( J .o K ) e. om )
9		nnacl 6059	. . 3 |- ( ( ( I .o L ) e. om /\ ( J .o K ) e. om ) -> ( ( I .o L ) +o ( J .o K ) ) e. om )
10	4, 8, 9	syl2anc 391	. 2 |- ( ( ( I e. om /\ J e. N. ) /\ ( K e. om /\ L e. N. ) ) -> ( ( I .o L ) +o ( J .o K ) ) e. om )
11		mulpiord 6415	. . . 4 |- ( ( J e. N. /\ L e. N. ) -> ( J .N L ) = ( J .o L ) )
12		mulclpi 6426	. . . 4 |- ( ( J e. N. /\ L e. N. ) -> ( J .N L ) e. N. )
13	11, 12	eqeltrrd 2115	. . 3 |- ( ( J e. N. /\ L e. N. ) -> ( J .o L ) e. N. )
14	13	ad2ant2l 477	. 2 |- ( ( ( I e. om /\ J e. N. ) /\ ( K e. om /\ L e. N. ) ) -> ( J .o L ) e. N. )
15	10, 14	jca 290	1 |- ( ( ( I e. om /\ J e. N. ) /\ ( K e. om /\ L e. N. ) ) -> ( ( ( I .o L ) +o ( J .o K ) ) e. om /\ ( J .o L ) e. N. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   e. wcel 1393   omcom 4313  (class class class)co 5512   +o coa 5998   .o comu 5999   N.cnpi 6370   .N cmi 6372

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-ni 6402  df-mi 6404

This theorem is referenced by:  addassnq0  6560