ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addassnq0lemcl GIF version

Theorem addassnq0lemcl 6559
Description: A natural number closure law. Lemma for addassnq0 6560. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
addassnq0lemcl (((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽N) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿N)) → (((𝐼 ·𝑜 𝐿) +𝑜 (𝐽 ·𝑜 𝐾)) ∈ ω ∧ (𝐽 ·𝑜 𝐿) ∈ N))

Proof of Theorem addassnq0lemcl
StepHypRef Expression
1 pinn 6407 . . . . 5 (𝐿N𝐿 ∈ ω)
2 nnmcl 6060 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω) → (𝐼 ·𝑜 𝐿) ∈ ω)
31, 2sylan2 270 . . . 4 ((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐿N) → (𝐼 ·𝑜 𝐿) ∈ ω)
43ad2ant2rl 480 . . 3 (((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽N) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿N)) → (𝐼 ·𝑜 𝐿) ∈ ω)
5 pinn 6407 . . . . 5 (𝐽N𝐽 ∈ ω)
6 nnmcl 6060 . . . . 5 ((𝐽 ∈ ω ∧ 𝐾 ∈ ω) → (𝐽 ·𝑜 𝐾) ∈ ω)
75, 6sylan 267 . . . 4 ((𝐽N𝐾 ∈ ω) → (𝐽 ·𝑜 𝐾) ∈ ω)
87ad2ant2lr 479 . . 3 (((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽N) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿N)) → (𝐽 ·𝑜 𝐾) ∈ ω)
9 nnacl 6059 . . 3 (((𝐼 ·𝑜 𝐿) ∈ ω ∧ (𝐽 ·𝑜 𝐾) ∈ ω) → ((𝐼 ·𝑜 𝐿) +𝑜 (𝐽 ·𝑜 𝐾)) ∈ ω)
104, 8, 9syl2anc 391 . 2 (((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽N) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿N)) → ((𝐼 ·𝑜 𝐿) +𝑜 (𝐽 ·𝑜 𝐾)) ∈ ω)
11 mulpiord 6415 . . . 4 ((𝐽N𝐿N) → (𝐽 ·N 𝐿) = (𝐽 ·𝑜 𝐿))
12 mulclpi 6426 . . . 4 ((𝐽N𝐿N) → (𝐽 ·N 𝐿) ∈ N)
1311, 12eqeltrrd 2115 . . 3 ((𝐽N𝐿N) → (𝐽 ·𝑜 𝐿) ∈ N)
1413ad2ant2l 477 . 2 (((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽N) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿N)) → (𝐽 ·𝑜 𝐿) ∈ N)
1510, 14jca 290 1 (((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽N) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿N)) → (((𝐼 ·𝑜 𝐿) +𝑜 (𝐽 ·𝑜 𝐾)) ∈ ω ∧ (𝐽 ·𝑜 𝐿) ∈ N))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  wcel 1393  ωcom 4313  (class class class)co 5512   +𝑜 coa 5998   ·𝑜 comu 5999  Ncnpi 6370   ·N cmi 6372
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-ni 6402  df-mi 6404
This theorem is referenced by:  addassnq0  6560
  Copyright terms: Public domain W3C validator