ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addassnq0 Unicode version
Theorem addassnq0 6560
Description: Addition of non-negaative fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
addassnq0 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( ( A +Q0 B ) +Q0 C ) = ( A +Q0 ( B +Q0 C ) ) )
Proof of Theorem addassnq0
Dummy variables x y z w v u f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nq0 6523 . . . 4 |- Q0 = ( ( om X. N. ) /. ~Q0 )
2 oveq2 5520 . . . . . . 7 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 B ) )
32oveq1d 5527 . . . . . 6 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( ( A +Q0 B ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
4 oveq1 5519 . . . . . . 7 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
54oveq2d 5528 . . . . . 6 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( A +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( A +Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) )
63, 5eqeq12d 2054 . . . . 5 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( ( ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) <-> ( ( A +Q0 B ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) )
76imbi2d 219 . . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( ( A e. Q0 -> ( ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) <-> ( A e. Q0 -> ( ( A +Q0 B ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) ) )
8 oveq2 5520 . . . . . 6 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q0 = C -> ( ( A +Q0 B ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( ( A +Q0 B ) +Q0 C ) )
9 oveq2 5520 . . . . . . 7 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q0 = C -> ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( B +Q0 C ) )
109oveq2d 5528 . . . . . 6 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q0 = C -> ( A +Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( A +Q0 ( B +Q0 C ) ) )
118, 10eqeq12d 2054 . . . . 5 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q0 = C -> ( ( ( A +Q0 B ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) <-> ( ( A +Q0 B ) +Q0 C ) = ( A +Q0 ( B +Q0 C ) ) ) )
1211imbi2d 219 . . . 4 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q0 = C -> ( ( A e. Q0 -> ( ( A +Q0 B ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) <-> ( A e. Q0 -> ( ( A +Q0 B ) +Q0 C ) = ( A +Q0 ( B +Q0 C ) ) ) ) )
13 oveq1 5519 . . . . . . . . 9 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
1413oveq1d 5527 . . . . . . . 8 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
15 oveq1 5519 . . . . . . . 8 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( A +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) )
1614, 15eqeq12d 2054 . . . . . . 7 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) <-> ( ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) )
1716imbi2d 219 . . . . . 6 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) <-> ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) ) )
18 simp1l 928 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> x e. om )
19 simp2r 931 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> w e. N. )
20 pinn 6407 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. N. -> w e. om )
2119, 20syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> w e. om )
22 simp3r 933 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> u e. N. )
23 pinn 6407 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. N. -> u e. om )
2422, 23syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> u e. om )
25 nnmcl 6060 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. om /\ u e. om ) -> ( w .o u ) e. om )
2621, 24, 25syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( w .o u ) e. om )
27 nnmcl 6060 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. om /\ ( w .o u ) e. om ) -> ( x .o ( w .o u ) ) e. om )
2818, 26, 27syl2anc 391 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( x .o ( w .o u ) ) e. om )
29 simp1r 929 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> y e. N. )
30 pinn 6407 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. N. -> y e. om )
3129, 30syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> y e. om )
32 simp2l 930 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> z e. om )
33 nnmcl 6060 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. om /\ u e. om ) -> ( z .o u ) e. om )
3432, 24, 33syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( z .o u ) e. om )
35 nnmcl 6060 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ ( z .o u ) e. om ) -> ( y .o ( z .o u ) ) e. om )
3631, 34, 35syl2anc 391 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( y .o ( z .o u ) ) e. om )
37 simp3l 932 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> v e. om )
38 nnmcl 6060 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. om /\ v e. om ) -> ( w .o v ) e. om )
3921, 37, 38syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( w .o v ) e. om )
40 nnmcl 6060 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ ( w .o v ) e. om ) -> ( y .o ( w .o v ) ) e. om )
4131, 39, 40syl2anc 391 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( y .o ( w .o v ) ) e. om )
42 nnaass 6064 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x .o ( w .o u ) ) e. om /\ ( y .o ( z .o u ) ) e. om /\ ( y .o ( w .o v ) ) e. om ) -> ( ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( z .o u ) ) ) +o ( y .o ( w .o v ) ) ) = ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( ( y .o ( z .o u ) ) +o ( y .o ( w .o v ) ) ) ) )
4328, 36, 41, 42syl3anc 1135 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( z .o u ) ) ) +o ( y .o ( w .o v ) ) ) = ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( ( y .o ( z .o u ) ) +o ( y .o ( w .o v ) ) ) ) )
44 nnmcom 6068 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. om /\ g e. om ) -> ( f .o g ) = ( g .o f ) )
4544adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( f .o g ) = ( g .o f ) )
46 nndir 6069 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. om /\ g e. om /\ h e. om ) -> ( ( f +o g ) .o h ) = ( ( f .o h ) +o ( g .o h ) ) )
4746adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om /\ h e. om ) ) -> ( ( f +o g ) .o h ) = ( ( f .o h ) +o ( g .o h ) ) )
48 nnmass 6066 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. om /\ g e. om /\ h e. om ) -> ( ( f .o g ) .o h ) = ( f .o ( g .o h ) ) )
4948adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om /\ h e. om ) ) -> ( ( f .o g ) .o h ) = ( f .o ( g .o h ) ) )
50 nnmcl 6060 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. om /\ g e. om ) -> ( f .o g ) e. om )
5150adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( f .o g ) e. om )
5245, 47, 49, 51, 18, 31, 21, 32, 24caovdilemd 5692 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) = ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( z .o u ) ) ) )
53 nnmass 6066 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ w e. om /\ v e. om ) -> ( ( y .o w ) .o v ) = ( y .o ( w .o v ) ) )
5431, 21, 37, 53syl3anc 1135 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( y .o w ) .o v ) = ( y .o ( w .o v ) ) )
5552, 54oveq12d 5530 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) = ( ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( z .o u ) ) ) +o ( y .o ( w .o v ) ) ) )
56 nndi 6065 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ ( z .o u ) e. om /\ ( w .o v ) e. om ) -> ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) = ( ( y .o ( z .o u ) ) +o ( y .o ( w .o v ) ) ) )
5731, 34, 39, 56syl3anc 1135 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) = ( ( y .o ( z .o u ) ) +o ( y .o ( w .o v ) ) ) )
5857oveq2d 5528 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) = ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( ( y .o ( z .o u ) ) +o ( y .o ( w .o v ) ) ) ) )
5943, 55, 583eqtr4d 2082 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) = ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) )
60 nnmass 6066 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ w e. om /\ u e. om ) -> ( ( y .o w ) .o u ) = ( y .o ( w .o u ) ) )
6131, 21, 24, 60syl3anc 1135 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( y .o w ) .o u ) = ( y .o ( w .o u ) ) )
62 opeq12 3551 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) = ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) /\ ( ( y .o w ) .o u ) = ( y .o ( w .o u ) ) ) -> <. ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) , ( ( y .o w ) .o u ) >. = <. ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( w .o u ) ) >. )
6362eceq1d 6142 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) = ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) /\ ( ( y .o w ) .o u ) = ( y .o ( w .o u ) ) ) -> [ <. ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) , ( ( y .o w ) .o u ) >. ] ~Q0 = [ <. ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( w .o u ) ) >. ] ~Q0 )
6459, 61, 63syl2anc 391 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> [ <. ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) , ( ( y .o w ) .o u ) >. ] ~Q0 = [ <. ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( w .o u ) ) >. ] ~Q0 )
65 addnnnq0 6547 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
6665oveq1d 5527 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
6766adantr 261 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
68 addassnq0lemcl 6559 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. om /\ ( y .o w ) e. N. ) )
69 addnnnq0 6547 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. om /\ ( y .o w ) e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) , ( ( y .o w ) .o u ) >. ] ~Q0 )
7068, 69sylan 267 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) , ( ( y .o w ) .o u ) >. ] ~Q0 )
7167, 70eqtrd 2072 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) , ( ( y .o w ) .o u ) >. ] ~Q0 )
72713impa 1099 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) , ( ( y .o w ) .o u ) >. ] ~Q0 )
73 addnnnq0 6547 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 )
7473oveq2d 5528 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 ) )
7574adantl 262 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 ) )
76 addassnq0lemcl 6559 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om /\ ( w .o u ) e. N. ) )
77 addnnnq0 6547 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om /\ ( w .o u ) e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( w .o u ) ) >. ] ~Q0 )
7876, 77sylan2 270 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( w .o u ) ) >. ] ~Q0 )
7975, 78eqtrd 2072 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = [ <. ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( w .o u ) ) >. ] ~Q0 )
80793impb 1100 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = [ <. ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( w .o u ) ) >. ] ~Q0 )
8164, 72, 803eqtr4d 2082 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) )
82813expib 1107 . . . . . 6 |- ( ( x e. om /\ y e. N. ) -> ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) )
831, 17, 82ecoptocl 6193 . . . . 5 |- ( A e. Q0 -> ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) )
8483com12 27 . . . 4 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( A e. Q0 -> ( ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) )
851, 7, 12, 842ecoptocl 6194 . . 3 |- ( ( B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( A e. Q0 -> ( ( A +Q0 B ) +Q0 C ) = ( A +Q0 ( B +Q0 C ) ) ) )
8685com12 27 . 2 |- ( A e. Q0 -> ( ( B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( ( A +Q0 B ) +Q0 C ) = ( A +Q0 ( B +Q0 C ) ) ) )
87863impib 1102 1 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( ( A +Q0 B ) +Q0 C ) = ( A +Q0 ( B +Q0 C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   /\ w3a 885   = wceq 1243   e. wcel 1393   <.cop 3378   omcom 4313  (class class class)co 5512   +o coa 5998   .o comu 5999   [cec 6104   N.cnpi 6370   ~Q0 ceq0 6384  Q0cnq0 6385   +Q0 cplq0 6387
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-mi 6404  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-plq0 6525
This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  6600
  Copyright terms: Public domain W3C validator