ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  distrpig Structured version   Unicode version

Theorem distrpig 6179
Description: Multiplication of positive integers is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
distrpig  N.  N.  C  N.  .N  +N  C  .N  +N  .N  C

Proof of Theorem distrpig
StepHypRef Expression
1 pinn 6155 . . 3  N.  om
2 pinn 6155 . . 3  N.  om
3 pinn 6155 . . 3  C  N.  C  om
4 nndi 5968 . . 3  om  om  C  om  .o  +o  C  .o  +o  .o  C
51, 2, 3, 4syl3an 1158 . 2  N.  N.  C  N.  .o  +o  C  .o  +o  .o  C
6 addclpi 6173 . . . . 5  N.  C  N.  +N  C  N.
7 mulpiord 6163 . . . . 5  N.  +N  C  N.  .N  +N  C  .o  +N  C
86, 7sylan2 270 . . . 4  N.  N.  C  N.  .N  +N  C  .o  +N  C
9 addpiord 6162 . . . . . 6  N.  C  N.  +N  C  +o  C
109oveq2d 5440 . . . . 5  N.  C  N.  .o  +N  C  .o  +o  C
1110adantl 262 . . . 4  N.  N.  C  N.  .o  +N  C  .o  +o  C
128, 11eqtrd 2045 . . 3  N.  N.  C  N.  .N  +N  C  .o  +o  C
13123impb 1081 . 2  N.  N.  C  N.  .N  +N  C  .o  +o  C
14 mulclpi 6174 . . . . 5  N.  N.  .N  N.
15 mulclpi 6174 . . . . 5  N.  C  N.  .N  C  N.
16 addpiord 6162 . . . . 5  .N  N.  .N  C 
N.  .N  +N  .N  C  .N  +o  .N  C
1714, 15, 16syl2an 273 . . . 4  N.  N.  N.  C  N.  .N  +N  .N  C  .N  +o  .N  C
18 mulpiord 6163 . . . . 5  N.  N.  .N  .o
19 mulpiord 6163 . . . . 5  N.  C  N.  .N  C  .o  C
2018, 19oveqan12d 5443 . . . 4  N.  N.  N.  C  N.  .N  +o  .N  C  .o  +o  .o  C
2117, 20eqtrd 2045 . . 3  N.  N.  N.  C  N.  .N  +N  .N  C  .o  +o  .o  C
22213impdi 1171 . 2  N.  N.  C  N.  .N  +N  .N  C  .o  +o  .o  C
235, 13, 223eqtr4d 2055 1  N.  N.  C  N.  .N  +N  C  .N  +N  .N  C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   w3a 867   wceq 1223   wcel 1366   omcom 4228  (class class class)co 5424    +o coa 5901    .o comu 5902   N.cnpi 6118    +N cpli 6119    .N cmi 6120
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-13 1377  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-coll 3835  ax-sep 3838  ax-nul 3846  ax-pow 3890  ax-pr 3907  ax-un 4108  ax-setind 4192  ax-iinf 4226
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 727  df-3an 869  df-tru 1226  df-fal 1229  df-nf 1323  df-sb 1619  df-eu 1876  df-mo 1877  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ne 2179  df-ral 2280  df-rex 2281  df-reu 2282  df-rab 2284  df-v 2528  df-sbc 2733  df-csb 2821  df-dif 2888  df-un 2890  df-in 2892  df-ss 2899  df-nul 3193  df-pw 3325  df-sn 3345  df-pr 3346  df-op 3348  df-uni 3544  df-int 3579  df-iun 3622  df-br 3728  df-opab 3782  df-mpt 3783  df-tr 3818  df-id 3993  df-iord 4041  df-on 4043  df-suc 4046  df-iom 4229  df-xp 4266  df-rel 4267  df-cnv 4268  df-co 4269  df-dm 4270  df-rn 4271  df-res 4272  df-ima 4273  df-iota 4782  df-fun 4819  df-fn 4820  df-f 4821  df-f1 4822  df-fo 4823  df-f1o 4824  df-fv 4825  df-ov 5427  df-oprab 5428  df-mpt2 5429  df-1st 5678  df-2nd 5679  df-recs 5830  df-irdg 5866  df-oadd 5908  df-omul 5909  df-ni 6150  df-pli 6151  df-mi 6152
This theorem is referenced by:  addcmpblnq  6212  addassnqg  6227  distrnqg  6232  ltanqg  6245  ltexnqq  6252
  Copyright terms: Public domain W3C validator