ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqpnq0nq Unicode version

Theorem nqpnq0nq 6551
Description: A positive fraction plus a non-negative fraction is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqpnq0nq  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e. Q0 )  ->  ( A +Q0  B )  e.  Q. )

Proof of Theorem nqpnq0nq
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqpi 6476 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. x E. y ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  ) )
2 nq0nn 6540 . . . 4  |-  ( B  e. Q0  ->  E. z E. w
( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )
31, 2anim12i 321 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e. Q0 )  ->  ( E. x E. y ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y >. ]  ~Q  )  /\  E. z E. w ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )
) )
4 ee4anv 1809 . . 3  |-  ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )  <->  ( E. x E. y ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y >. ]  ~Q  )  /\  E. z E. w ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )
) )
53, 4sylibr 137 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e. Q0 )  ->  E. x E. y E. z E. w ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y >. ]  ~Q  )  /\  (
( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )
) )
6 oveq12 5521 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  [ <. x ,  y >. ]  ~Q  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  ->  ( A +Q0  B )  =  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )
76ad2ant2l 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )  ->  ( A +Q0  B )  =  ( [
<. x ,  y >. ]  ~Q +Q0  [
<. z ,  w >. ] ~Q0  )
)
8 nqnq0pi 6536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  [ <. x ,  y
>. ] ~Q0  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )
98oveq1d 5527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )
109adantr 261 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( [
<. x ,  y >. ]  ~Q +Q0  [
<. z ,  w >. ] ~Q0  )
)
11 pinn 6407 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  N.  ->  x  e.  om )
12 addnnnq0 6547 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( ( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  )
1311, 12sylanl1 382 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( ( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  )
1410, 13eqtr3d 2074 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q +Q0  [
<. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( ( x  .o  w )  +o  ( y  .o  z
) ) ,  ( y  .o  w )
>. ] ~Q0  )
1514ad2ant2r 478 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )  ->  ( [ <. x ,  y
>. ]  ~Q +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  )
167, 15eqtrd 2072 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )  ->  ( A +Q0  B )  =  [ <. ( ( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  )
17 pinn 6407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  N.  ->  y  e.  om )
18 nnmcl 6060 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( y  .o  z
)  e.  om )
1917, 18sylan 267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  om )  ->  ( y  .o  z
)  e.  om )
2019ad2ant2lr 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( y  .o  z )  e.  om )
21 mulpiord 6415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( x  .N  w
)  =  ( x  .o  w ) )
22 mulclpi 6426 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( x  .N  w
)  e.  N. )
2321, 22eqeltrrd 2115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( x  .o  w
)  e.  N. )
2423ad2ant2rl 480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( x  .o  w )  e.  N. )
25 pinn 6407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  .o  w )  e.  N.  ->  (
x  .o  w )  e.  om )
26 nnacom 6063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  .o  z
)  e.  om  /\  ( x  .o  w
)  e.  om )  ->  ( ( y  .o  z )  +o  (
x  .o  w ) )  =  ( ( x  .o  w )  +o  ( y  .o  z ) ) )
2725, 26sylan2 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  .o  z
)  e.  om  /\  ( x  .o  w
)  e.  N. )  ->  ( ( y  .o  z )  +o  (
x  .o  w ) )  =  ( ( x  .o  w )  +o  ( y  .o  z ) ) )
2820, 24, 27syl2anc 391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .o  z )  +o  ( x  .o  w ) )  =  ( ( x  .o  w )  +o  (
y  .o  z ) ) )
29 nnppipi 6441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  .o  z
)  e.  om  /\  ( x  .o  w
)  e.  N. )  ->  ( ( y  .o  z )  +o  (
x  .o  w ) )  e.  N. )
3020, 24, 29syl2anc 391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .o  z )  +o  ( x  .o  w ) )  e. 
N. )
3128, 30eqeltrrd 2115 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .o  w )  +o  ( y  .o  z ) )  e. 
N. )
32 mulpiord 6415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( y  .N  w
)  =  ( y  .o  w ) )
33 mulclpi 6426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( y  .N  w
)  e.  N. )
3432, 33eqeltrrd 2115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( y  .o  w
)  e.  N. )
3534ad2ant2l 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( y  .o  w )  e.  N. )
36 opelxpi 4376 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  .o  w )  +o  (
y  .o  z ) )  e.  N.  /\  ( y  .o  w
)  e.  N. )  -> 
<. ( ( x  .o  w )  +o  (
y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
3731, 35, 36syl2anc 391 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  <. ( ( x  .o  w )  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w
) >.  e.  ( N. 
X.  N. ) )
38 enqex 6458 . . . . . . . . . 10  |-  ~Q  e.  _V
3938ecelqsi 6160 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
( ( x  .o  w )  +o  (
y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  [ <. (
( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
)
4037, 39syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  [ <. (
( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
)
41 df-nqqs 6446 . . . . . . . 8  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
4240, 41syl6eleqr 2131 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  [ <. (
( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ]  ~Q  e.  Q. )
43 nqnq0pi 6536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  .o  w )  +o  (
y  .o  z ) )  e.  N.  /\  ( y  .o  w
)  e.  N. )  ->  [ <. ( ( x  .o  w )  +o  ( y  .o  z
) ) ,  ( y  .o  w )
>. ] ~Q0  =  [ <. ( ( x  .o  w )  +o  ( y  .o  z
) ) ,  ( y  .o  w )
>. ]  ~Q  )
4443eleq1d 2106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  .o  w )  +o  (
y  .o  z ) )  e.  N.  /\  ( y  .o  w
)  e.  N. )  ->  ( [ <. (
( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  e.  Q.  <->  [ <. (
( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ]  ~Q  e.  Q. ) )
4531, 35, 44syl2anc 391 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. ( ( x  .o  w )  +o  (
y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  e. 
Q. 
<->  [ <. ( ( x  .o  w )  +o  ( y  .o  z
) ) ,  ( y  .o  w )
>. ]  ~Q  e.  Q. ) )
4642, 45mpbird 156 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  [ <. (
( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  e.  Q. )
4746ad2ant2r 478 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )  ->  [ <. ( ( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  e.  Q. )
4816, 47eqeltrd 2114 . . . 4  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )  ->  ( A +Q0  B )  e.  Q. )
4948exlimivv 1776 . . 3  |-  ( E. z E. w ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )  ->  ( A +Q0  B )  e.  Q. )
5049exlimivv 1776 . 2  |-  ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )  ->  ( A +Q0  B )  e.  Q. )
515, 50syl 14 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e. Q0 )  ->  ( A +Q0  B )  e.  Q. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    = wceq 1243   E.wex 1381    e. wcel 1393   <.cop 3378   omcom 4313    X. cxp 4343  (class class class)co 5512    +o coa 5998    .o comu 5999   [cec 6104   /.cqs 6105   N.cnpi 6370    .N cmi 6372    ~Q ceq 6377   Q.cnq 6378   ~Q0 ceq0 6384  Q0cnq0 6385   +Q0 cplq0 6387
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-mi 6404  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-plq0 6525
This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  6600
  Copyright terms: Public domain W3C validator