ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqpnq0nq Structured version   GIF version

Theorem nqpnq0nq 6435
Description: A positive fraction plus a non-negative fraction is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqpnq0nq ((A Q B Q0) → (A +Q0 B) Q)

Proof of Theorem nqpnq0nq
Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqpi 6362 . . . 4 (A Qxy((x N y N) A = [⟨x, y⟩] ~Q ))
2 nq0nn 6424 . . . 4 (B Q0zw((z 𝜔 w N) B = [⟨z, w⟩] ~Q0 ))
31, 2anim12i 321 . . 3 ((A Q B Q0) → (xy((x N y N) A = [⟨x, y⟩] ~Q ) zw((z 𝜔 w N) B = [⟨z, w⟩] ~Q0 )))
4 ee4anv 1806 . . 3 (xyzw(((x N y N) A = [⟨x, y⟩] ~Q ) ((z 𝜔 w N) B = [⟨z, w⟩] ~Q0 )) ↔ (xy((x N y N) A = [⟨x, y⟩] ~Q ) zw((z 𝜔 w N) B = [⟨z, w⟩] ~Q0 )))
53, 4sylibr 137 . 2 ((A Q B Q0) → xyzw(((x N y N) A = [⟨x, y⟩] ~Q ) ((z 𝜔 w N) B = [⟨z, w⟩] ~Q0 )))
6 oveq12 5464 . . . . . . 7 ((A = [⟨x, y⟩] ~Q B = [⟨z, w⟩] ~Q0 ) → (A +Q0 B) = ([⟨x, y⟩] ~Q +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ))
76ad2ant2l 477 . . . . . 6 ((((x N y N) A = [⟨x, y⟩] ~Q ) ((z 𝜔 w N) B = [⟨z, w⟩] ~Q0 )) → (A +Q0 B) = ([⟨x, y⟩] ~Q +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ))
8 nqnq0pi 6420 . . . . . . . . . 10 ((x N y N) → [⟨x, y⟩] ~Q0 = [⟨x, y⟩] ~Q )
98oveq1d 5470 . . . . . . . . 9 ((x N y N) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = ([⟨x, y⟩] ~Q +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ))
109adantr 261 . . . . . . . 8 (((x N y N) (z 𝜔 w N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = ([⟨x, y⟩] ~Q +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ))
11 pinn 6293 . . . . . . . . 9 (x Nx 𝜔)
12 addnnnq0 6431 . . . . . . . . 9 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = [⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 )
1311, 12sylanl1 382 . . . . . . . 8 (((x N y N) (z 𝜔 w N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = [⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 )
1410, 13eqtr3d 2071 . . . . . . 7 (((x N y N) (z 𝜔 w N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = [⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 )
1514ad2ant2r 478 . . . . . 6 ((((x N y N) A = [⟨x, y⟩] ~Q ) ((z 𝜔 w N) B = [⟨z, w⟩] ~Q0 )) → ([⟨x, y⟩] ~Q +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = [⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 )
167, 15eqtrd 2069 . . . . 5 ((((x N y N) A = [⟨x, y⟩] ~Q ) ((z 𝜔 w N) B = [⟨z, w⟩] ~Q0 )) → (A +Q0 B) = [⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 )
17 pinn 6293 . . . . . . . . . . . . . 14 (y Ny 𝜔)
18 nnmcl 5999 . . . . . . . . . . . . . 14 ((y 𝜔 z 𝜔) → (y ·𝑜 z) 𝜔)
1917, 18sylan 267 . . . . . . . . . . . . 13 ((y N z 𝜔) → (y ·𝑜 z) 𝜔)
2019ad2ant2lr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((x N y N) (z 𝜔 w N)) → (y ·𝑜 z) 𝜔)
21 mulpiord 6301 . . . . . . . . . . . . . 14 ((x N w N) → (x ·N w) = (x ·𝑜 w))
22 mulclpi 6312 . . . . . . . . . . . . . 14 ((x N w N) → (x ·N w) N)
2321, 22eqeltrrd 2112 . . . . . . . . . . . . 13 ((x N w N) → (x ·𝑜 w) N)
2423ad2ant2rl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((x N y N) (z 𝜔 w N)) → (x ·𝑜 w) N)
25 pinn 6293 . . . . . . . . . . . . 13 ((x ·𝑜 w) N → (x ·𝑜 w) 𝜔)
26 nnacom 6002 . . . . . . . . . . . . 13 (((y ·𝑜 z) 𝜔 (x ·𝑜 w) 𝜔) → ((y ·𝑜 z) +𝑜 (x ·𝑜 w)) = ((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)))
2725, 26sylan2 270 . . . . . . . . . . . 12 (((y ·𝑜 z) 𝜔 (x ·𝑜 w) N) → ((y ·𝑜 z) +𝑜 (x ·𝑜 w)) = ((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)))
2820, 24, 27syl2anc 391 . . . . . . . . . . 11 (((x N y N) (z 𝜔 w N)) → ((y ·𝑜 z) +𝑜 (x ·𝑜 w)) = ((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)))
29 nnppipi 6327 . . . . . . . . . . . 12 (((y ·𝑜 z) 𝜔 (x ·𝑜 w) N) → ((y ·𝑜 z) +𝑜 (x ·𝑜 w)) N)
3020, 24, 29syl2anc 391 . . . . . . . . . . 11 (((x N y N) (z 𝜔 w N)) → ((y ·𝑜 z) +𝑜 (x ·𝑜 w)) N)
3128, 30eqeltrrd 2112 . . . . . . . . . 10 (((x N y N) (z 𝜔 w N)) → ((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) N)
32 mulpiord 6301 . . . . . . . . . . . 12 ((y N w N) → (y ·N w) = (y ·𝑜 w))
33 mulclpi 6312 . . . . . . . . . . . 12 ((y N w N) → (y ·N w) N)
3432, 33eqeltrrd 2112 . . . . . . . . . . 11 ((y N w N) → (y ·𝑜 w) N)
3534ad2ant2l 477 . . . . . . . . . 10 (((x N y N) (z 𝜔 w N)) → (y ·𝑜 w) N)
36 opelxpi 4319 . . . . . . . . . 10 ((((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) N (y ·𝑜 w) N) → ⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩ (N × N))
3731, 35, 36syl2anc 391 . . . . . . . . 9 (((x N y N) (z 𝜔 w N)) → ⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩ (N × N))
38 enqex 6344 . . . . . . . . . 10 ~Q V
3938ecelqsi 6096 . . . . . . . . 9 (⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩ (N × N) → [⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q ((N × N) / ~Q ))
4037, 39syl 14 . . . . . . . 8 (((x N y N) (z 𝜔 w N)) → [⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q ((N × N) / ~Q ))
41 df-nqqs 6332 . . . . . . . 8 Q = ((N × N) / ~Q )
4240, 41syl6eleqr 2128 . . . . . . 7 (((x N y N) (z 𝜔 w N)) → [⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q Q)
43 nqnq0pi 6420 . . . . . . . . 9 ((((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) N (y ·𝑜 w) N) → [⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 = [⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q )
4443eleq1d 2103 . . . . . . . 8 ((((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) N (y ·𝑜 w) N) → ([⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 Q ↔ [⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q Q))
4531, 35, 44syl2anc 391 . . . . . . 7 (((x N y N) (z 𝜔 w N)) → ([⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 Q ↔ [⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q Q))
4642, 45mpbird 156 . . . . . 6 (((x N y N) (z 𝜔 w N)) → [⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 Q)
4746ad2ant2r 478 . . . . 5 ((((x N y N) A = [⟨x, y⟩] ~Q ) ((z 𝜔 w N) B = [⟨z, w⟩] ~Q0 )) → [⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 Q)
4816, 47eqeltrd 2111 . . . 4 ((((x N y N) A = [⟨x, y⟩] ~Q ) ((z 𝜔 w N) B = [⟨z, w⟩] ~Q0 )) → (A +Q0 B) Q)
4948exlimivv 1773 . . 3 (zw(((x N y N) A = [⟨x, y⟩] ~Q ) ((z 𝜔 w N) B = [⟨z, w⟩] ~Q0 )) → (A +Q0 B) Q)
5049exlimivv 1773 . 2 (xyzw(((x N y N) A = [⟨x, y⟩] ~Q ) ((z 𝜔 w N) B = [⟨z, w⟩] ~Q0 )) → (A +Q0 B) Q)
515, 50syl 14 1 ((A Q B Q0) → (A +Q0 B) Q)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  cop 3370  𝜔com 4256   × cxp 4286  (class class class)co 5455   +𝑜 coa 5937   ·𝑜 comu 5938  [cec 6040   / cqs 6041  Ncnpi 6256   ·N cmi 6258   ~Q ceq 6263  Qcnq 6264   ~Q0 ceq0 6270  Q0cnq0 6271   +Q0 cplq0 6273
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-mi 6290  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-plq0 6409
This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  6484
  Copyright terms: Public domain W3C validator