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Theorem nqpnq0nq 6308
Description: A positive fraction plus a non-negative fraction is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqpnq0nq ((A Q B Q0) → (A +Q0 B) Q)

Proof of Theorem nqpnq0nq
Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqpi 6237 . . . 4 (A Qxy((x N y N) A = [⟨x, y⟩] ~Q ))
2 nq0nn 6297 . . . 4 (B Q0zw((z 𝜔 w N) B = [⟨z, w⟩] ~Q0 ))
31, 2anim12i 321 . . 3 ((A Q B Q0) → (xy((x N y N) A = [⟨x, y⟩] ~Q ) zw((z 𝜔 w N) B = [⟨z, w⟩] ~Q0 )))
4 ee4anv 1791 . . 3 (xyzw(((x N y N) A = [⟨x, y⟩] ~Q ) ((z 𝜔 w N) B = [⟨z, w⟩] ~Q0 )) ↔ (xy((x N y N) A = [⟨x, y⟩] ~Q ) zw((z 𝜔 w N) B = [⟨z, w⟩] ~Q0 )))
53, 4sylibr 137 . 2 ((A Q B Q0) → xyzw(((x N y N) A = [⟨x, y⟩] ~Q ) ((z 𝜔 w N) B = [⟨z, w⟩] ~Q0 )))
6 oveq12 5445 . . . . . . 7 ((A = [⟨x, y⟩] ~Q B = [⟨z, w⟩] ~Q0 ) → (A +Q0 B) = ([⟨x, y⟩] ~Q +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ))
76ad2ant2l 465 . . . . . 6 ((((x N y N) A = [⟨x, y⟩] ~Q ) ((z 𝜔 w N) B = [⟨z, w⟩] ~Q0 )) → (A +Q0 B) = ([⟨x, y⟩] ~Q +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ))
8 nqnq0pi 6293 . . . . . . . . . 10 ((x N y N) → [⟨x, y⟩] ~Q0 = [⟨x, y⟩] ~Q )
98oveq1d 5451 . . . . . . . . 9 ((x N y N) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = ([⟨x, y⟩] ~Q +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ))
109adantr 261 . . . . . . . 8 (((x N y N) (z 𝜔 w N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = ([⟨x, y⟩] ~Q +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ))
11 pinn 6169 . . . . . . . . 9 (x Nx 𝜔)
12 addnnnq0 6304 . . . . . . . . 9 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = [⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 )
1311, 12sylanl1 384 . . . . . . . 8 (((x N y N) (z 𝜔 w N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = [⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 )
1410, 13eqtr3d 2056 . . . . . . 7 (((x N y N) (z 𝜔 w N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = [⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 )
1514ad2ant2r 466 . . . . . 6 ((((x N y N) A = [⟨x, y⟩] ~Q ) ((z 𝜔 w N) B = [⟨z, w⟩] ~Q0 )) → ([⟨x, y⟩] ~Q +Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = [⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 )
167, 15eqtrd 2054 . . . . 5 ((((x N y N) A = [⟨x, y⟩] ~Q ) ((z 𝜔 w N) B = [⟨z, w⟩] ~Q0 )) → (A +Q0 B) = [⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 )
17 pinn 6169 . . . . . . . . . . . . . 14 (y Ny 𝜔)
18 nnmcl 5975 . . . . . . . . . . . . . 14 ((y 𝜔 z 𝜔) → (y ·𝑜 z) 𝜔)
1917, 18sylan 267 . . . . . . . . . . . . 13 ((y N z 𝜔) → (y ·𝑜 z) 𝜔)
2019ad2ant2lr 467 . . . . . . . . . . . 12 (((x N y N) (z 𝜔 w N)) → (y ·𝑜 z) 𝜔)
21 mulpiord 6177 . . . . . . . . . . . . . 14 ((x N w N) → (x ·N w) = (x ·𝑜 w))
22 mulclpi 6188 . . . . . . . . . . . . . 14 ((x N w N) → (x ·N w) N)
2321, 22eqeltrrd 2097 . . . . . . . . . . . . 13 ((x N w N) → (x ·𝑜 w) N)
2423ad2ant2rl 468 . . . . . . . . . . . 12 (((x N y N) (z 𝜔 w N)) → (x ·𝑜 w) N)
25 pinn 6169 . . . . . . . . . . . . 13 ((x ·𝑜 w) N → (x ·𝑜 w) 𝜔)
26 nnacom 5978 . . . . . . . . . . . . 13 (((y ·𝑜 z) 𝜔 (x ·𝑜 w) 𝜔) → ((y ·𝑜 z) +𝑜 (x ·𝑜 w)) = ((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)))
2725, 26sylan2 270 . . . . . . . . . . . 12 (((y ·𝑜 z) 𝜔 (x ·𝑜 w) N) → ((y ·𝑜 z) +𝑜 (x ·𝑜 w)) = ((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)))
2820, 24, 27syl2anc 393 . . . . . . . . . . 11 (((x N y N) (z 𝜔 w N)) → ((y ·𝑜 z) +𝑜 (x ·𝑜 w)) = ((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)))
29 nnppipi 6202 . . . . . . . . . . . 12 (((y ·𝑜 z) 𝜔 (x ·𝑜 w) N) → ((y ·𝑜 z) +𝑜 (x ·𝑜 w)) N)
3020, 24, 29syl2anc 393 . . . . . . . . . . 11 (((x N y N) (z 𝜔 w N)) → ((y ·𝑜 z) +𝑜 (x ·𝑜 w)) N)
3128, 30eqeltrrd 2097 . . . . . . . . . 10 (((x N y N) (z 𝜔 w N)) → ((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) N)
32 mulpiord 6177 . . . . . . . . . . . 12 ((y N w N) → (y ·N w) = (y ·𝑜 w))
33 mulclpi 6188 . . . . . . . . . . . 12 ((y N w N) → (y ·N w) N)
3432, 33eqeltrrd 2097 . . . . . . . . . . 11 ((y N w N) → (y ·𝑜 w) N)
3534ad2ant2l 465 . . . . . . . . . 10 (((x N y N) (z 𝜔 w N)) → (y ·𝑜 w) N)
36 opelxpi 4303 . . . . . . . . . 10 ((((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) N (y ·𝑜 w) N) → ⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩ (N × N))
3731, 35, 36syl2anc 393 . . . . . . . . 9 (((x N y N) (z 𝜔 w N)) → ⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩ (N × N))
38 enqex 6219 . . . . . . . . . 10 ~Q V
3938ecelqsi 6071 . . . . . . . . 9 (⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩ (N × N) → [⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q ((N × N) / ~Q ))
4037, 39syl 14 . . . . . . . 8 (((x N y N) (z 𝜔 w N)) → [⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q ((N × N) / ~Q ))
41 df-nqqs 6207 . . . . . . . 8 Q = ((N × N) / ~Q )
4240, 41syl6eleqr 2113 . . . . . . 7 (((x N y N) (z 𝜔 w N)) → [⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q Q)
43 nqnq0pi 6293 . . . . . . . . 9 ((((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) N (y ·𝑜 w) N) → [⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 = [⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q )
4443eleq1d 2088 . . . . . . . 8 ((((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)) N (y ·𝑜 w) N) → ([⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 Q ↔ [⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q Q))
4531, 35, 44syl2anc 393 . . . . . . 7 (((x N y N) (z 𝜔 w N)) → ([⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 Q ↔ [⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q Q))
4642, 45mpbird 156 . . . . . 6 (((x N y N) (z 𝜔 w N)) → [⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 Q)
4746ad2ant2r 466 . . . . 5 ((((x N y N) A = [⟨x, y⟩] ~Q ) ((z 𝜔 w N) B = [⟨z, w⟩] ~Q0 )) → [⟨((x ·𝑜 w) +𝑜 (y ·𝑜 z)), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 Q)
4816, 47eqeltrd 2096 . . . 4 ((((x N y N) A = [⟨x, y⟩] ~Q ) ((z 𝜔 w N) B = [⟨z, w⟩] ~Q0 )) → (A +Q0 B) Q)
4948exlimivv 1758 . . 3 (zw(((x N y N) A = [⟨x, y⟩] ~Q ) ((z 𝜔 w N) B = [⟨z, w⟩] ~Q0 )) → (A +Q0 B) Q)
5049exlimivv 1758 . 2 (xyzw(((x N y N) A = [⟨x, y⟩] ~Q ) ((z 𝜔 w N) B = [⟨z, w⟩] ~Q0 )) → (A +Q0 B) Q)
515, 50syl 14 1 ((A Q B Q0) → (A +Q0 B) Q)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1228  wex 1362   wcel 1374  cop 3353  𝜔com 4240   × cxp 4270  (class class class)co 5436   +𝑜 coa 5913   ·𝑜 comu 5914  [cec 6015   / cqs 6016  Ncnpi 6130   ·N cmi 6132   ~Q ceq 6137  Qcnq 6138   ~Q0 ceq0 6144  Q0cnq0 6145   +Q0 cplq0 6147
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-coll 3846  ax-sep 3849  ax-nul 3857  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120  ax-setind 4204  ax-iinf 4238
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 734  df-3or 874  df-3an 875  df-tru 1231  df-fal 1234  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ne 2188  df-ral 2289  df-rex 2290  df-reu 2291  df-rab 2293  df-v 2537  df-sbc 2742  df-csb 2830  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-int 3590  df-iun 3633  df-br 3739  df-opab 3793  df-mpt 3794  df-tr 3829  df-id 4004  df-iord 4052  df-on 4054  df-suc 4057  df-iom 4241  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-f 4833  df-f1 4834  df-fo 4835  df-f1o 4836  df-fv 4837  df-ov 5439  df-oprab 5440  df-mpt2 5441  df-1st 5690  df-2nd 5691  df-recs 5842  df-irdg 5878  df-oadd 5920  df-omul 5921  df-er 6017  df-ec 6019  df-qs 6023  df-ni 6164  df-mi 6166  df-enq 6206  df-nqqs 6207  df-enq0 6279  df-nq0 6280  df-plq0 6282
This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  6356
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