ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclemcalc Unicode version

Theorem prarloclemcalc 6598
Description: Some calculations for prarloc 6599. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemcalc  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  B  <Q  ( A  +Q  P
) )

Proof of Theorem prarloclemcalc
StepHypRef Expression
1 simprll 489 . . . . 5  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  Q  e.  Q. )
2 nqnq0a 6550 . . . . 5  |-  ( ( Q  e.  Q.  /\  Q  e.  Q. )  ->  ( Q  +Q  Q
)  =  ( Q +Q0  Q
) )
31, 1, 2syl2anc 391 . . . 4  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  ( Q  +Q  Q )  =  ( Q +Q0  Q ) )
43oveq2d 5528 . . 3  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  ( A +Q0  ( Q  +Q  Q ) )  =  ( A +Q0  ( Q +Q0  Q ) ) )
5 simpll 481 . . . . 5  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q ) ) )
6 simprrl 491 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  X  e.  Q. )
7 simprrr 492 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  M  e.  om )
8 1pi 6411 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  N.
9 opelxpi 4376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  om  /\  1o  e.  N. )  ->  <. M ,  1o >.  e.  ( om  X.  N. ) )
108, 9mpan2 401 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  om  ->  <. M ,  1o >.  e.  ( om 
X.  N. ) )
11 enq0ex 6535 . . . . . . . . . . 11  |- ~Q0  e.  _V
1211ecelqsi 6160 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. M ,  1o >.  e.  ( om  X.  N. )  ->  [ <. M ,  1o >. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )
1310, 12syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  om  ->  [ <. M ,  1o >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  ) )
14 df-nq0 6521 . . . . . . . . 9  |- Q0  =  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  )
1513, 14syl6eleqr 2131 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  om  ->  [ <. M ,  1o >. ] ~Q0  e. Q0 )
167, 15syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  [ <. M ,  1o >. ] ~Q0  e. Q0 )
17 nqnq0 6537 . . . . . . . 8  |-  Q.  C_ Q0
1817, 1sseldi 2943 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  Q  e. Q0 )
19 mulclnq0 6548 . . . . . . 7  |-  ( ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0  e. Q0  /\  Q  e. Q0 )  ->  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0 
Q )  e. Q0 )
2016, 18, 19syl2anc 391 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )  e. Q0 )
21 nqpnq0nq 6549 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  Q.  /\  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )  e. Q0 )  ->  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q ) )  e.  Q. )
226, 20, 21syl2anc 391 . . . . 5  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  e.  Q. )
235, 22eqeltrd 2114 . . . 4  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  A  e.  Q. )
24 addclnq 6471 . . . . 5  |-  ( ( Q  e.  Q.  /\  Q  e.  Q. )  ->  ( Q  +Q  Q
)  e.  Q. )
251, 1, 24syl2anc 391 . . . 4  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  ( Q  +Q  Q )  e. 
Q. )
26 nqnq0a 6550 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  e.  Q. )  ->  ( A  +Q  ( Q  +Q  Q ) )  =  ( A +Q0  ( Q  +Q  Q
) ) )
2723, 25, 26syl2anc 391 . . 3  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  ( A  +Q  ( Q  +Q  Q ) )  =  ( A +Q0  ( Q  +Q  Q
) ) )
28 simplr 482 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )
29 2onn 6094 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2o  e.  om
30 2on0 6010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2o  =/=  (/)
31 elni 6404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2o  e.  N.  <->  ( 2o  e.  om  /\  2o  =/=  (/) ) )
3229, 30, 31mpbir2an 849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2o  e.  N.
33 nnppipi 6439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  om  /\  2o  e.  N. )  -> 
( M  +o  2o )  e.  N. )
3432, 33mpan2 401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  om  ->  ( M  +o  2o )  e. 
N. )
35 opelxpi 4376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  +o  2o )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  ->  <. ( M  +o  2o ) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
3634, 8, 35sylancl 392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  om  ->  <. ( M  +o  2o ) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
37 enqex 6456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ~Q  e.  _V
3837ecelqsi 6160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
( M  +o  2o ) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  ) )
3936, 38syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  om  ->  [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
)
40 df-nqqs 6444 . . . . . . . . . 10  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
4139, 40syl6eleqr 2131 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  om  ->  [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
427, 41syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
43 mulclnq 6472 . . . . . . . 8  |-  ( ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\  Q  e.  Q. )  ->  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q )  e.  Q. )
4442, 1, 43syl2anc 391 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q )  e.  Q. )
45 nqnq0a 6550 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  Q.  /\  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q )  e.  Q. )  -> 
( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) )  =  ( X +Q0  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )
466, 44, 45syl2anc 391 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) )  =  ( X +Q0  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )
47 nqnq0m 6551 . . . . . . . . 9  |-  ( ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\  Q  e.  Q. )  ->  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q )  =  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q ·Q0  Q ) )
4842, 1, 47syl2anc 391 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q )  =  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q ·Q0  Q )
)
49 nqnq0pi 6534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  +o  2o )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  ->  [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ] ~Q0  =  [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
5034, 8, 49sylancl 392 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  om  ->  [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ] ~Q0  =  [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
517, 50syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ] ~Q0  =  [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  )
5251oveq1d 5527 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0 
Q )  =  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q ·Q0  Q ) )
5348, 52eqtr4d 2075 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q )  =  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q ) )
5453oveq2d 5528 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  ( X +Q0  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) )  =  ( X +Q0  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0 
Q ) ) )
5528, 46, 543eqtrd 2076 . . . . 5  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  B  =  ( X +Q0  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q ) ) )
56 nnanq0 6554 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  om  /\  2o  e.  om  /\  1o  e.  N. )  ->  [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ] ~Q0  =  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 +Q0  [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0  )
)
578, 56mp3an3 1221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  om  /\  2o  e.  om )  ->  [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ] ~Q0  =  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 +Q0  [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0  ) )
587, 29, 57sylancl 392 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ] ~Q0  =  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 +Q0  [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0  )
)
5958oveq1d 5527 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0 
Q )  =  ( ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 +Q0  [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0  ) ·Q0  Q ) )
60 opelxpi 4376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  1o  e.  N. )  ->  <. 2o ,  1o >.  e.  ( om  X.  N. ) )
6129, 8, 60mp2an 402 . . . . . . . . . . 11  |-  <. 2o ,  1o >.  e.  ( om 
X.  N. )
6211ecelqsi 6160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <. 2o ,  1o >.  e.  ( om  X.  N. )  ->  [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )
6361, 62ax-mp 7 . . . . . . . . . 10  |-  [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  )
6463, 14eleqtrri 2113 . . . . . . . . 9  |-  [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0  e. Q0
65 distnq0r 6559 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Q  e. Q0  /\  [ <. M ,  1o >. ] ~Q0  e. Q0  /\  [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0  e. Q0 )  ->  ( ( [
<. M ,  1o >. ] ~Q0 +Q0  [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0  ) ·Q0  Q
)  =  ( ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q ) +Q0  ( [
<. 2o ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0 
Q ) ) )
6664, 65mp3an3 1221 . . . . . . . 8  |-  ( ( Q  e. Q0  /\  [ <. M ,  1o >. ] ~Q0  e. Q0 )  ->  ( ( [
<. M ,  1o >. ] ~Q0 +Q0  [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0  ) ·Q0  Q
)  =  ( ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q ) +Q0  ( [
<. 2o ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0 
Q ) ) )
6718, 16, 66syl2anc 391 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  (
( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 +Q0  [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0  ) ·Q0  Q )  =  ( ( [
<. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0 
Q ) +Q0  ( [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q ) ) )
6859, 67eqtrd 2072 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0 
Q )  =  ( ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q ) +Q0  ( [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
) )
6968oveq2d 5528 . . . . 5  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  ( X +Q0  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0 
Q ) )  =  ( X +Q0  ( ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q ) +Q0  ( [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
) ) )
70 nq02m 6561 . . . . . . . . 9  |-  ( Q  e. Q0  ->  ( [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )  =  ( Q +Q0  Q ) )
7170oveq2d 5528 . . . . . . . 8  |-  ( Q  e. Q0  ->  ( ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q ) +Q0  ( [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  =  ( ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q ) +Q0  ( Q +Q0  Q
) ) )
7271oveq2d 5528 . . . . . . 7  |-  ( Q  e. Q0  ->  ( X +Q0  ( ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q ) +Q0  ( [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
) )  =  ( X +Q0  ( ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q ) +Q0  ( Q +Q0  Q ) ) ) )
7318, 72syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  ( X +Q0  ( ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q ) +Q0  ( [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
) )  =  ( X +Q0  ( ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q ) +Q0  ( Q +Q0  Q ) ) ) )
7417, 6sseldi 2943 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  X  e. Q0 )
75 addclnq0 6547 . . . . . . . 8  |-  ( ( Q  e. Q0  /\  Q  e. Q0 )  ->  ( Q +Q0  Q )  e. Q0 )
7618, 18, 75syl2anc 391 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  ( Q +Q0  Q )  e. Q0 )
77 addassnq0 6558 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e. Q0  /\  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )  e. Q0  /\  ( Q +Q0  Q )  e. Q0 )  ->  ( ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
) +Q0  ( Q +Q0  Q ) )  =  ( X +Q0  ( ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q ) +Q0  ( Q +Q0  Q ) ) ) )
7874, 20, 76, 77syl3anc 1135 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  (
( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q ) ) +Q0  ( Q +Q0  Q ) )  =  ( X +Q0  ( ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q ) +Q0  ( Q +Q0  Q ) ) ) )
7973, 78eqtr4d 2075 . . . . 5  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  ( X +Q0  ( ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q ) +Q0  ( [ <. 2o ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
) )  =  ( ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q ) ) +Q0  ( Q +Q0  Q ) ) )
8055, 69, 793eqtrd 2076 . . . 4  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  B  =  ( ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
) +Q0  ( Q +Q0  Q ) ) )
81 oveq1 5519 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q ) )  ->  ( A +Q0  ( Q +Q0  Q
) )  =  ( ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q ) ) +Q0  ( Q +Q0  Q ) ) )
8281eqeq2d 2051 . . . . 5  |-  ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q ) )  ->  ( B  =  ( A +Q0  ( Q +Q0  Q ) )  <->  B  =  ( ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q ) ) +Q0  ( Q +Q0  Q ) ) ) )
835, 82syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  ( B  =  ( A +Q0  ( Q +Q0  Q
) )  <->  B  =  ( ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q ) ) +Q0  ( Q +Q0  Q ) ) ) )
8480, 83mpbird 156 . . 3  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  B  =  ( A +Q0  ( Q +Q0  Q ) ) )
854, 27, 843eqtr4rd 2083 . 2  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  B  =  ( A  +Q  ( Q  +Q  Q
) ) )
86 simprlr 490 . . 3  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  ( Q  +Q  Q )  <Q  P )
87 ltrelnq 6461 . . . . . 6  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
8887brel 4392 . . . . 5  |-  ( ( Q  +Q  Q ) 
<Q  P  ->  ( ( Q  +Q  Q )  e.  Q.  /\  P  e.  Q. ) )
8986, 88syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  (
( Q  +Q  Q
)  e.  Q.  /\  P  e.  Q. )
)
90 ltanqg 6496 . . . . 5  |-  ( ( ( Q  +Q  Q
)  e.  Q.  /\  P  e.  Q.  /\  A  e.  Q. )  ->  (
( Q  +Q  Q
)  <Q  P  <->  ( A  +Q  ( Q  +Q  Q
) )  <Q  ( A  +Q  P ) ) )
91903expa 1104 . . . 4  |-  ( ( ( ( Q  +Q  Q )  e.  Q.  /\  P  e.  Q. )  /\  A  e.  Q. )  ->  ( ( Q  +Q  Q )  <Q  P 
<->  ( A  +Q  ( Q  +Q  Q ) ) 
<Q  ( A  +Q  P
) ) )
9289, 23, 91syl2anc 391 . . 3  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  (
( Q  +Q  Q
)  <Q  P  <->  ( A  +Q  ( Q  +Q  Q
) )  <Q  ( A  +Q  P ) ) )
9386, 92mpbid 135 . 2  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  ( A  +Q  ( Q  +Q  Q ) )  <Q 
( A  +Q  P
) )
9485, 93eqbrtrd 3784 1  |-  ( ( ( A  =  ( X +Q0  ( [ <. M ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  Q )
)  /\  B  =  ( X  +Q  ( [ <. ( M  +o  2o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  Q ) ) )  /\  (
( Q  e.  Q.  /\  ( Q  +Q  Q
)  <Q  P )  /\  ( X  e.  Q.  /\  M  e.  om )
) )  ->  B  <Q  ( A  +Q  P
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    = wceq 1243    e. wcel 1393    =/= wne 2204   (/)c0 3224   <.cop 3378   class class class wbr 3764   omcom 4313    X. cxp 4343  (class class class)co 5512   1oc1o 5994   2oc2o 5995    +o coa 5998   [cec 6104   /.cqs 6105   N.cnpi 6368    ~Q ceq 6375   Q.cnq 6376    +Q cplq 6378    .Q cmq 6379    <Q cltq 6381   ~Q0 ceq0 6382  Q0cnq0 6383   +Q0 cplq0 6385   ·Q0 cmq0 6386
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6400  df-pli 6401  df-mi 6402  df-lti 6403  df-plpq 6440  df-mpq 6441  df-enq 6443  df-nqqs 6444  df-plqqs 6445  df-mqqs 6446  df-ltnqqs 6449  df-enq0 6520  df-nq0 6521  df-plq0 6523  df-mq0 6524
This theorem is referenced by:  prarloc  6599
  Copyright terms: Public domain W3C validator