ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclem5 Unicode version

Theorem prarloclem5 6483
Description: A substitution of zero for and  N minus two for . Lemma for prarloc 6486. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclem5  <. L ,  U >.  P.  L  N  N.  P  Q.  1o  <N  N  +Q  <. N ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U  om  om +Q0  <. ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  L  +Q  <.  +o  2o  +o  ,  1o >. 
~Q  .Q  P  U
Distinct variable groups:   ,,   , L,   , N   , P,   , U,
Allowed substitution hint:    N()

Proof of Theorem prarloclem5
StepHypRef Expression
1 prarloclemn 6482 . . . 4  N  N.  1o  <N  N  om  2o  +o  N
213adant2 922 . . 3  N  N.  P  Q.  1o  <N  N  om  2o  +o  N
323ad2ant2 925 . 2  <. L ,  U >.  P.  L  N  N.  P  Q.  1o  <N  N  +Q  <. N ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U  om  2o  +o  N
4 elprnql 6464 . . . . . . 7 
<. L ,  U >. 
P.  L  Q.
543ad2ant1 924 . . . . . 6  <. L ,  U >.  P.  L  N  N.  P  Q.  1o  <N  N  +Q  <. N ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U  Q.
6 simp22 937 . . . . . 6  <. L ,  U >.  P.  L  N  N.  P  Q.  1o  <N  N  +Q  <. N ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U  P  Q.
7 nqnq0 6424 . . . . . . . . 9  Q.  C_ Q0
87sseli 2935 . . . . . . . 8  Q. Q0
9 nq0a0 6440 . . . . . . . 8 Q0 +Q0 0Q0
108, 9syl 14 . . . . . . 7  Q. +Q0 0Q0
11 df-0nq0 6409 . . . . . . . . . 10 0Q0  <. (/) ,  1o >. ~Q0
1211oveq1i 5465 . . . . . . . . 9 0Q0 ·Q0 
P  <. (/) ,  1o >. ~Q0 ·Q0 
P
137sseli 2935 . . . . . . . . . 10  P  Q.  P Q0
14 nq0m0r 6439 . . . . . . . . . 10  P Q0 0Q0 ·Q0  P 0Q0
1513, 14syl 14 . . . . . . . . 9  P  Q. 0Q0 ·Q0 
P 0Q0
1612, 15syl5reqr 2084 . . . . . . . 8  P  Q. 0Q0  <. (/)
,  1o >. ~Q0 ·Q0  P
1716oveq2d 5471 . . . . . . 7  P  Q. +Q0 0Q0 +Q0  <. (/) ,  1o >. ~Q0 ·Q0 
P
1810, 17sylan9req 2090 . . . . . 6  Q.  P  Q. +Q0  <. (/) ,  1o >. ~Q0 ·Q0 
P
195, 6, 18syl2anc 391 . . . . 5  <. L ,  U >.  P.  L  N  N.  P  Q.  1o  <N  N  +Q  <. N ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U +Q0  <. (/) ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P
20 simp1r 928 . . . . 5  <. L ,  U >.  P.  L  N  N.  P  Q.  1o  <N  N  +Q  <. N ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U  L
2119, 20eqeltrrd 2112 . . . 4  <. L ,  U >.  P.  L  N  N.  P  Q.  1o  <N  N  +Q  <. N ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U +Q0  <. (/) ,  1o >. ~Q0 ·Q0 
P  L
22 2onn 6030 . . . . . . . . . . . . . . 15  2o  om
23 nna0r 5996 . . . . . . . . . . . . . . 15  2o  om  (/) 
+o  2o  2o
2422, 23ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . 14  (/)  +o  2o  2o
2524oveq1i 5465 . . . . . . . . . . . . 13  (/)  +o  2o  +o  2o  +o
2625eqeq1i 2044 . . . . . . . . . . . 12  (/)  +o  2o  +o  N  2o  +o  N
2726biimpri 124 . . . . . . . . . . 11  2o  +o  N  (/)  +o  2o  +o  N
2827opeq1d 3546 . . . . . . . . . 10  2o  +o  N  <. (/)  +o  2o  +o  ,  1o >.  <. N ,  1o >.
2928eceq1d 6078 . . . . . . . . 9  2o  +o  N  <. (/)  +o  2o  +o  ,  1o >.  ~Q  <. N ,  1o >.  ~Q
3029oveq1d 5470 . . . . . . . 8  2o  +o  N  <. (/)  +o  2o  +o  ,  1o >.  ~Q  .Q  P  <. N ,  1o >.  ~Q  .Q  P
3130oveq2d 5471 . . . . . . 7  2o  +o  N  +Q  <. (/)  +o  2o  +o  ,  1o >.  ~Q  .Q  P  +Q  <. N ,  1o >.  ~Q  .Q  P
3231eleq1d 2103 . . . . . 6  2o  +o  N  +Q  <. (/)  +o  2o  +o  ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U  +Q  <. N ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U
3332biimprcd 149 . . . . 5  +Q  <. N ,  1o >. 
~Q  .Q  P  U  2o  +o  N  +Q  <. (/)  +o  2o  +o  ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U
34333ad2ant3 926 . . . 4  <. L ,  U >.  P.  L  N  N.  P  Q.  1o  <N  N  +Q  <. N ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U  2o  +o  N  +Q  <. (/)  +o  2o  +o  ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U
35 peano1 4260 . . . . 5  (/)  om
36 opeq1 3540 . . . . . . . . . . 11  (/)  <. ,  1o >.  <. (/)
,  1o >.
3736eceq1d 6078 . . . . . . . . . 10  (/)  <. ,  1o >. ~Q0  <. (/) ,  1o >. ~Q0
3837oveq1d 5470 . . . . . . . . 9  (/)  <. ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  <. (/) ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P
3938oveq2d 5471 . . . . . . . 8  (/) +Q0  <. ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P +Q0  <.
(/) ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P
4039eleq1d 2103 . . . . . . 7  (/) +Q0  <. ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  L +Q0  <. (/) ,  1o >. ~Q0 ·Q0 
P  L
41 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . . 13  (/)  +o  2o  (/)  +o  2o
4241oveq1d 5470 . . . . . . . . . . . 12  (/)  +o  2o  +o  (/)  +o  2o  +o
4342opeq1d 3546 . . . . . . . . . . 11  (/)  <.  +o  2o  +o  ,  1o >.  <. (/)  +o  2o  +o  ,  1o >.
4443eceq1d 6078 . . . . . . . . . 10  (/)  <.  +o  2o  +o  ,  1o >.  ~Q  <. (/)  +o  2o  +o  ,  1o >.  ~Q
4544oveq1d 5470 . . . . . . . . 9  (/)  <.  +o  2o  +o  ,  1o >. 
~Q  .Q  P  <. (/)  +o  2o  +o  ,  1o >.  ~Q  .Q  P
4645oveq2d 5471 . . . . . . . 8  (/)  +Q  <.  +o  2o  +o  ,  1o >.  ~Q  .Q  P  +Q  <. (/)  +o  2o  +o  ,  1o >.  ~Q  .Q  P
4746eleq1d 2103 . . . . . . 7  (/)  +Q  <.  +o  2o  +o  ,  1o >. 
~Q  .Q  P  U  +Q  <. (/)  +o  2o  +o  ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U
4840, 47anbi12d 442 . . . . . 6  (/) +Q0  <. ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  L  +Q  <.  +o  2o  +o  ,  1o >. 
~Q  .Q  P  U +Q0  <. (/) ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  L  +Q  <. (/)  +o  2o  +o  ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U
4948rspcev 2650 . . . . 5  (/)  om +Q0  <. (/) ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  L  +Q  <. (/)  +o  2o  +o  ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U  om +Q0  <. ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  L  +Q  <.  +o  2o  +o  ,  1o >. 
~Q  .Q  P  U
5035, 49mpan 400 . . . 4 +Q0  <. (/) ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  L  +Q  <. (/)  +o  2o  +o  ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U  om +Q0  <. ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  L  +Q  <.  +o  2o  +o  ,  1o >. 
~Q  .Q  P  U
5121, 34, 50syl6an 1320 . . 3  <. L ,  U >.  P.  L  N  N.  P  Q.  1o  <N  N  +Q  <. N ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U  2o  +o  N  om +Q0  <. ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  L  +Q  <.  +o  2o  +o  ,  1o >. 
~Q  .Q  P  U
5251reximdv 2414 . 2  <. L ,  U >.  P.  L  N  N.  P  Q.  1o  <N  N  +Q  <. N ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U  om  2o  +o  N  om  om +Q0  <. ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  L  +Q  <.  +o  2o  +o  ,  1o >. 
~Q  .Q  P  U
533, 52mpd 13 1  <. L ,  U >.  P.  L  N  N.  P  Q.  1o  <N  N  +Q  <. N ,  1o >.  ~Q  .Q  P  U  om  om +Q0  <. ,  1o >. ~Q0 ·Q0  P  L  +Q  <.  +o  2o  +o  ,  1o >. 
~Q  .Q  P  U
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301   (/)c0 3218   <.cop 3370   class class class wbr 3755   omcom 4256  (class class class)co 5455   1oc1o 5933   2oc2o 5934    +o coa 5937  cec 6040   N.cnpi 6256    <N clti 6259    ~Q ceq 6263   Q.cnq 6264    +Q cplq 6266    .Q cmq 6267   ~Q0 ceq0 6270  Q0cnq0 6271  0Q0c0q0 6272   +Q0 cplq0 6273   ·Q0 cmq0 6274   P.cnp 6275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-mi 6290  df-lti 6291  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449
This theorem is referenced by:  prarloclem  6484
  Copyright terms: Public domain W3C validator