Theorem prarloclem5 6483

Description: A substitution of zero for y and N minus two for x. Lemma for prarloc 6486. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclem5	|- ((( <. L , U >. e. P. /\ A e. L) /\ ( N e. N. /\ P e. Q. /\ 1o <N N) /\ (A +Q ([ <. N , 1o >.] ~Q .Q P)) e. U) -> E.x e. om E.y e. om ((A +Q0 ([ <.y , 1o >.] ~Q0 ·Q0 P)) e. L /\ (A +Q ([ <.((y +o 2o) +o x) , 1o >.] ~Q .Q P)) e. U))

Distinct variable groups:   x,A,y   x, L,y   x, N   x, P,y   x, U,y

Allowed substitution hint:   N(y)

Proof of Theorem prarloclem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prarloclemn 6482	. . . 4 |- (( N e. N. /\ 1o <N N) -> E.x e. om ( 2o +o x) = N)
2	1	3adant2 922	. . 3 |- (( N e. N. /\ P e. Q. /\ 1o <N N) -> E.x e. om ( 2o +o x) = N)
3	2	3ad2ant2 925	. 2 |- ((( <. L , U >. e. P. /\ A e. L) /\ ( N e. N. /\ P e. Q. /\ 1o <N N) /\ (A +Q ([ <. N , 1o >.] ~Q .Q P)) e. U) -> E.x e. om ( 2o +o x) = N)
4		elprnql 6464	. . . . . . 7 |- (( <. L , U >. e. P. /\ A e. L) -> A e. Q.)
5	4	3ad2ant1 924	. . . . . 6 |- ((( <. L , U >. e. P. /\ A e. L) /\ ( N e. N. /\ P e. Q. /\ 1o <N N) /\ (A +Q ([ <. N , 1o >.] ~Q .Q P)) e. U) -> A e. Q.)
6		simp22 937	. . . . . 6 |- ((( <. L , U >. e. P. /\ A e. L) /\ ( N e. N. /\ P e. Q. /\ 1o <N N) /\ (A +Q ([ <. N , 1o >.] ~Q .Q P)) e. U) -> P e. Q.)
7		nqnq0 6424	. . . . . . . . 9 |- Q. C_ Q0
8	7	sseli 2935	. . . . . . . 8 |- (A e. Q. -> A e. Q0)
9		nq0a0 6440	. . . . . . . 8 |- (A e. Q0 -> (A +Q0 0Q0) = A)
10	8, 9	syl 14	. . . . . . 7 |- (A e. Q. -> (A +Q0 0Q0) = A)
11		df-0nq0 6409	. . . . . . . . . 10 |- 0Q0 = [ <. (/) , 1o >.] ~Q0
12	11	oveq1i 5465	. . . . . . . . 9 |- (0Q0 ·Q0 P) = ([ <. (/) , 1o >.] ~Q0 ·Q0 P)
13	7	sseli 2935	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. Q. -> P e. Q0)
14		nq0m0r 6439	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. Q0 -> (0Q0 ·Q0 P) = 0Q0)
15	13, 14	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( P e. Q. -> (0Q0 ·Q0 P) = 0Q0)
16	12, 15	syl5reqr 2084	. . . . . . . 8 |- ( P e. Q. -> 0Q0 = ([ <. (/) , 1o >.] ~Q0 ·Q0 P))
17	16	oveq2d 5471	. . . . . . 7 |- ( P e. Q. -> (A +Q0 0Q0) = (A +Q0 ([ <. (/) , 1o >.] ~Q0 ·Q0 P)))
18	10, 17	sylan9req 2090	. . . . . 6 |- ((A e. Q. /\ P e. Q.) -> A = (A +Q0 ([ <. (/) , 1o >.] ~Q0 ·Q0 P)))
19	5, 6, 18	syl2anc 391	. . . . 5 |- ((( <. L , U >. e. P. /\ A e. L) /\ ( N e. N. /\ P e. Q. /\ 1o <N N) /\ (A +Q ([ <. N , 1o >.] ~Q .Q P)) e. U) -> A = (A +Q0 ([ <. (/) , 1o >.] ~Q0 ·Q0 P)))
20		simp1r 928	. . . . 5 |- ((( <. L , U >. e. P. /\ A e. L) /\ ( N e. N. /\ P e. Q. /\ 1o <N N) /\ (A +Q ([ <. N , 1o >.] ~Q .Q P)) e. U) -> A e. L)
21	19, 20	eqeltrrd 2112	. . . 4 |- ((( <. L , U >. e. P. /\ A e. L) /\ ( N e. N. /\ P e. Q. /\ 1o <N N) /\ (A +Q ([ <. N , 1o >.] ~Q .Q P)) e. U) -> (A +Q0 ([ <. (/) , 1o >.] ~Q0 ·Q0 P)) e. L)
22		2onn 6030	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2o e. om
23		nna0r 5996	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2o e. om -> ( (/) +o 2o) = 2o)
24	22, 23	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (/) +o 2o) = 2o
25	24	oveq1i 5465	. . . . . . . . . . . . 13 |- (( (/) +o 2o) +o x) = ( 2o +o x)
26	25	eqeq1i 2044	. . . . . . . . . . . 12 |- ((( (/) +o 2o) +o x) = N <-> ( 2o +o x) = N)
27	26	biimpri 124	. . . . . . . . . . 11 |- (( 2o +o x) = N -> (( (/) +o 2o) +o x) = N)
28	27	opeq1d 3546	. . . . . . . . . 10 |- (( 2o +o x) = N -> <.(( (/) +o 2o) +o x) , 1o >. = <. N , 1o >.)
29	28	eceq1d 6078	. . . . . . . . 9 |- (( 2o +o x) = N -> [ <.(( (/) +o 2o) +o x) , 1o >.] ~Q = [ <. N , 1o >.] ~Q )
30	29	oveq1d 5470	. . . . . . . 8 |- (( 2o +o x) = N -> ([ <.(( (/) +o 2o) +o x) , 1o >.] ~Q .Q P) = ([ <. N , 1o >.] ~Q .Q P))
31	30	oveq2d 5471	. . . . . . 7 |- (( 2o +o x) = N -> (A +Q ([ <.(( (/) +o 2o) +o x) , 1o >.] ~Q .Q P)) = (A +Q ([ <. N , 1o >.] ~Q .Q P)))
32	31	eleq1d 2103	. . . . . 6 |- (( 2o +o x) = N -> ((A +Q ([ <.(( (/) +o 2o) +o x) , 1o >.] ~Q .Q P)) e. U <-> (A +Q ([ <. N , 1o >.] ~Q .Q P)) e. U))
33	32	biimprcd 149	. . . . 5 |- ((A +Q ([ <. N , 1o >.] ~Q .Q P)) e. U -> (( 2o +o x) = N -> (A +Q ([ <.(( (/) +o 2o) +o x) , 1o >.] ~Q .Q P)) e. U))
34	33	3ad2ant3 926	. . . 4 |- ((( <. L , U >. e. P. /\ A e. L) /\ ( N e. N. /\ P e. Q. /\ 1o <N N) /\ (A +Q ([ <. N , 1o >.] ~Q .Q P)) e. U) -> (( 2o +o x) = N -> (A +Q ([ <.(( (/) +o 2o) +o x) , 1o >.] ~Q .Q P)) e. U))
35		peano1 4260	. . . . 5 |- (/) e. om
36		opeq1 3540	. . . . . . . . . . 11 |- (y = (/) -> <.y , 1o >. = <. (/) , 1o >.)
37	36	eceq1d 6078	. . . . . . . . . 10 |- (y = (/) -> [ <.y , 1o >.] ~Q0 = [ <. (/) , 1o >.] ~Q0 )
38	37	oveq1d 5470	. . . . . . . . 9 |- (y = (/) -> ([ <.y , 1o >.] ~Q0 ·Q0 P) = ([ <. (/) , 1o >.] ~Q0 ·Q0 P))
39	38	oveq2d 5471	. . . . . . . 8 |- (y = (/) -> (A +Q0 ([ <.y , 1o >.] ~Q0 ·Q0 P)) = (A +Q0 ([ <. (/) , 1o >.] ~Q0 ·Q0 P)))
40	39	eleq1d 2103	. . . . . . 7 |- (y = (/) -> ((A +Q0 ([ <.y , 1o >.] ~Q0 ·Q0 P)) e. L <-> (A +Q0 ([ <. (/) , 1o >.] ~Q0 ·Q0 P)) e. L))
41		oveq1 5462	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = (/) -> (y +o 2o) = ( (/) +o 2o))
42	41	oveq1d 5470	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = (/) -> ((y +o 2o) +o x) = (( (/) +o 2o) +o x))
43	42	opeq1d 3546	. . . . . . . . . . 11 |- (y = (/) -> <.((y +o 2o) +o x) , 1o >. = <.(( (/) +o 2o) +o x) , 1o >.)
44	43	eceq1d 6078	. . . . . . . . . 10 |- (y = (/) -> [ <.((y +o 2o) +o x) , 1o >.] ~Q = [ <.(( (/) +o 2o) +o x) , 1o >.] ~Q )
45	44	oveq1d 5470	. . . . . . . . 9 |- (y = (/) -> ([ <.((y +o 2o) +o x) , 1o >.] ~Q .Q P) = ([ <.(( (/) +o 2o) +o x) , 1o >.] ~Q .Q P))
46	45	oveq2d 5471	. . . . . . . 8 |- (y = (/) -> (A +Q ([ <.((y +o 2o) +o x) , 1o >.] ~Q .Q P)) = (A +Q ([ <.(( (/) +o 2o) +o x) , 1o >.] ~Q .Q P)))
47	46	eleq1d 2103	. . . . . . 7 |- (y = (/) -> ((A +Q ([ <.((y +o 2o) +o x) , 1o >.] ~Q .Q P)) e. U <-> (A +Q ([ <.(( (/) +o 2o) +o x) , 1o >.] ~Q .Q P)) e. U))
48	40, 47	anbi12d 442	. . . . . 6 |- (y = (/) -> (((A +Q0 ([ <.y , 1o >.] ~Q0 ·Q0 P)) e. L /\ (A +Q ([ <.((y +o 2o) +o x) , 1o >.] ~Q .Q P)) e. U) <-> ((A +Q0 ([ <. (/) , 1o >.] ~Q0 ·Q0 P)) e. L /\ (A +Q ([ <.(( (/) +o 2o) +o x) , 1o >.] ~Q .Q P)) e. U)))
49	48	rspcev 2650	. . . . 5 |- (( (/) e. om /\ ((A +Q0 ([ <. (/) , 1o >.] ~Q0 ·Q0 P)) e. L /\ (A +Q ([ <.(( (/) +o 2o) +o x) , 1o >.] ~Q .Q P)) e. U)) -> E.y e. om ((A +Q0 ([ <.y , 1o >.] ~Q0 ·Q0 P)) e. L /\ (A +Q ([ <.((y +o 2o) +o x) , 1o >.] ~Q .Q P)) e. U))
50	35, 49	mpan 400	. . . 4 |- (((A +Q0 ([ <. (/) , 1o >.] ~Q0 ·Q0 P)) e. L /\ (A +Q ([ <.(( (/) +o 2o) +o x) , 1o >.] ~Q .Q P)) e. U) -> E.y e. om ((A +Q0 ([ <.y , 1o >.] ~Q0 ·Q0 P)) e. L /\ (A +Q ([ <.((y +o 2o) +o x) , 1o >.] ~Q .Q P)) e. U))
51	21, 34, 50	syl6an 1320	. . 3 |- ((( <. L , U >. e. P. /\ A e. L) /\ ( N e. N. /\ P e. Q. /\ 1o <N N) /\ (A +Q ([ <. N , 1o >.] ~Q .Q P)) e. U) -> (( 2o +o x) = N -> E.y e. om ((A +Q0 ([ <.y , 1o >.] ~Q0 ·Q0 P)) e. L /\ (A +Q ([ <.((y +o 2o) +o x) , 1o >.] ~Q .Q P)) e. U)))
52	51	reximdv 2414	. 2 |- ((( <. L , U >. e. P. /\ A e. L) /\ ( N e. N. /\ P e. Q. /\ 1o <N N) /\ (A +Q ([ <. N , 1o >.] ~Q .Q P)) e. U) -> (E.x e. om ( 2o +o x) = N -> E.x e. om E.y e. om ((A +Q0 ([ <.y , 1o >.] ~Q0 ·Q0 P)) e. L /\ (A +Q ([ <.((y +o 2o) +o x) , 1o >.] ~Q .Q P)) e. U)))
53	3, 52	mpd 13	1 |- ((( <. L , U >. e. P. /\ A e. L) /\ ( N e. N. /\ P e. Q. /\ 1o <N N) /\ (A +Q ([ <. N , 1o >.] ~Q .Q P)) e. U) -> E.x e. om E.y e. om ((A +Q0 ([ <.y , 1o >.] ~Q0 ·Q0 P)) e. L /\ (A +Q ([ <.((y +o 2o) +o x) , 1o >.] ~Q .Q P)) e. U))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   /\ w3a 884   = wceq 1242   e. wcel 1390  E.wrex 2301   (/)c0 3218   <.cop 3370   class class class wbr 3755   omcom 4256  (class class class)co 5455   1oc1o 5933   2oc2o 5934   +o coa 5937  [cec 6040   N.cnpi 6256   <N clti 6259   ~Q ceq 6263   Q.cnq 6264   +Q cplq 6266   .Q cmq 6267   ~_Q0 ceq0 6270  Q₀cnq0 6271  0_Q0c0q0 6272   +_Q0 cplq0 6273   ·_Q0 cmq0 6274   P.cnp 6275

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-mi 6290  df-lti 6291  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449

This theorem is referenced by:  prarloclem  6484