ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enq0er GIF version

Theorem enq0er 6531
Description: The equivalence relation for non-negative fractions is an equivalence relation. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
enq0er ~Q0 Er (ω × N)

Proof of Theorem enq0er
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-enq0 6520 . . . . 5 ~Q0 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (ω × N) ∧ 𝑦 ∈ (ω × N)) ∧ ∃𝑧𝑤𝑣𝑢((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑣, 𝑢⟩) ∧ (𝑧 ·𝑜 𝑢) = (𝑤 ·𝑜 𝑣)))}
21relopabi 4463 . . . 4 Rel ~Q0
32a1i 9 . . 3 (⊤ → Rel ~Q0 )
4 enq0sym 6528 . . . 4 (𝑓 ~Q0 𝑔𝑔 ~Q0 𝑓)
54adantl 262 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑓 ~Q0 𝑔) → 𝑔 ~Q0 𝑓)
6 enq0tr 6530 . . . 4 ((𝑓 ~Q0 𝑔𝑔 ~Q0 ) → 𝑓 ~Q0 )
76adantl 262 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑓 ~Q0 𝑔𝑔 ~Q0 )) → 𝑓 ~Q0 )
8 enq0ref 6529 . . . 4 (𝑓 ∈ (ω × N) ↔ 𝑓 ~Q0 𝑓)
98a1i 9 . . 3 (⊤ → (𝑓 ∈ (ω × N) ↔ 𝑓 ~Q0 𝑓))
103, 5, 7, 9iserd 6132 . 2 (⊤ → ~Q0 Er (ω × N))
1110trud 1252 1 ~Q0 Er (ω × N)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 97  wb 98   = wceq 1243  wtru 1244  wex 1381  wcel 1393  cop 3378   class class class wbr 3764  ωcom 4313   × cxp 4343  Rel wrel 4350  (class class class)co 5512   ·𝑜 comu 5999   Er wer 6103  Ncnpi 6368   ~Q0 ceq0 6382
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ni 6400  df-enq0 6520
This theorem is referenced by:  enq0eceq  6533  nqnq0pi  6534  mulcanenq0ec  6541  nnnq0lem1  6542  addnq0mo  6543  mulnq0mo  6544
  Copyright terms: Public domain W3C validator