ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enq0eceq GIF version

Theorem enq0eceq 6533
Description: Equivalence class equality of non-negative fractions in terms of natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
enq0eceq (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) → ([⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q0 ↔ (𝐴 ·𝑜 𝐷) = (𝐵 ·𝑜 𝐶)))

Proof of Theorem enq0eceq
StepHypRef Expression
1 enq0er 6531 . . . 4 ~Q0 Er (ω × N)
21a1i 9 . . 3 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) → ~Q0 Er (ω × N))
3 opelxpi 4376 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ω × N))
43adantr 261 . . 3 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ω × N))
52, 4erth 6150 . 2 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ~Q0𝐶, 𝐷⟩ ↔ [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q0 ))
6 enq0breq 6532 . 2 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ~Q0𝐶, 𝐷⟩ ↔ (𝐴 ·𝑜 𝐷) = (𝐵 ·𝑜 𝐶)))
75, 6bitr3d 179 1 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) → ([⟨𝐴, 𝐵⟩] ~Q0 = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q0 ↔ (𝐴 ·𝑜 𝐷) = (𝐵 ·𝑜 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  wb 98   = wceq 1243  wcel 1393  cop 3378   class class class wbr 3764  ωcom 4313   × cxp 4343  (class class class)co 5512   ·𝑜 comu 5999   Er wer 6103  [cec 6104  Ncnpi 6368   ~Q0 ceq0 6382
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-ni 6400  df-enq0 6520
This theorem is referenced by:  nq0m0r  6552
  Copyright terms: Public domain W3C validator