ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enq0eceq Structured version   GIF version

Theorem enq0eceq 6292
Description: Equivalence class equality of non-negative fractions in terms of natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
enq0eceq (((A 𝜔 B N) (𝐶 𝜔 𝐷 N)) → ([⟨A, B⟩] ~Q0 = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q0 ↔ (A ·𝑜 𝐷) = (B ·𝑜 𝐶)))

Proof of Theorem enq0eceq
StepHypRef Expression
1 enq0er 6290 . . . 4 ~Q0 Er (𝜔 × N)
21a1i 9 . . 3 (((A 𝜔 B N) (𝐶 𝜔 𝐷 N)) → ~Q0 Er (𝜔 × N))
3 opelxpi 4303 . . . 4 ((A 𝜔 B N) → ⟨A, B (𝜔 × N))
43adantr 261 . . 3 (((A 𝜔 B N) (𝐶 𝜔 𝐷 N)) → ⟨A, B (𝜔 × N))
52, 4erth 6061 . 2 (((A 𝜔 B N) (𝐶 𝜔 𝐷 N)) → (⟨A, B⟩ ~Q0𝐶, 𝐷⟩ ↔ [⟨A, B⟩] ~Q0 = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q0 ))
6 enq0breq 6291 . 2 (((A 𝜔 B N) (𝐶 𝜔 𝐷 N)) → (⟨A, B⟩ ~Q0𝐶, 𝐷⟩ ↔ (A ·𝑜 𝐷) = (B ·𝑜 𝐶)))
75, 6bitr3d 179 1 (((A 𝜔 B N) (𝐶 𝜔 𝐷 N)) → ([⟨A, B⟩] ~Q0 = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~Q0 ↔ (A ·𝑜 𝐷) = (B ·𝑜 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1228   wcel 1374  cop 3353   class class class wbr 3738  𝜔com 4240   × cxp 4270  (class class class)co 5436   ·𝑜 comu 5914   Er wer 6014  [cec 6015  Ncnpi 6130   ~Q0 ceq0 6144
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-coll 3846  ax-sep 3849  ax-nul 3857  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120  ax-setind 4204  ax-iinf 4238
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 734  df-3or 874  df-3an 875  df-tru 1231  df-fal 1234  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ne 2188  df-ral 2289  df-rex 2290  df-reu 2291  df-rab 2293  df-v 2537  df-sbc 2742  df-csb 2830  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-int 3590  df-iun 3633  df-br 3739  df-opab 3793  df-mpt 3794  df-tr 3829  df-id 4004  df-iord 4052  df-on 4054  df-suc 4057  df-iom 4241  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-f 4833  df-f1 4834  df-fo 4835  df-f1o 4836  df-fv 4837  df-ov 5439  df-oprab 5440  df-mpt2 5441  df-1st 5690  df-2nd 5691  df-recs 5842  df-irdg 5878  df-oadd 5920  df-omul 5921  df-er 6017  df-ec 6019  df-ni 6164  df-enq0 6279
This theorem is referenced by:  nq0m0r  6311
  Copyright terms: Public domain W3C validator