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Theorem nqnq0a 6436
Description: Addition of positive fractions is equal with +Q or +Q0. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqnq0a ((A Q B Q) → (A +Q B) = (A +Q0 B))

Proof of Theorem nqnq0a
Dummy variables u v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqpi 6362 . . . 4 (A Qzw((z N w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q ))
2 nqpi 6362 . . . 4 (B Qvu((v N u N) B = [⟨v, u⟩] ~Q ))
31, 2anim12i 321 . . 3 ((A Q B Q) → (zw((z N w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q ) vu((v N u N) B = [⟨v, u⟩] ~Q )))
4 ee4anv 1806 . . 3 (zwvu(((z N w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q ) ((v N u N) B = [⟨v, u⟩] ~Q )) ↔ (zw((z N w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q ) vu((v N u N) B = [⟨v, u⟩] ~Q )))
53, 4sylibr 137 . 2 ((A Q B Q) → zwvu(((z N w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q ) ((v N u N) B = [⟨v, u⟩] ~Q )))
6 oveq12 5464 . . . . . . 7 ((A = [⟨z, w⟩] ~Q B = [⟨v, u⟩] ~Q ) → (A +Q B) = ([⟨z, w⟩] ~Q +Q [⟨v, u⟩] ~Q ))
7 mulclpi 6312 . . . . . . . . . . . . 13 ((z N u N) → (z ·N u) N)
87ad2ant2rl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((z N w N) (v N u N)) → (z ·N u) N)
9 mulclpi 6312 . . . . . . . . . . . . 13 ((w N v N) → (w ·N v) N)
109ad2ant2lr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((z N w N) (v N u N)) → (w ·N v) N)
11 addpiord 6300 . . . . . . . . . . . 12 (((z ·N u) N (w ·N v) N) → ((z ·N u) +N (w ·N v)) = ((z ·N u) +𝑜 (w ·N v)))
128, 10, 11syl2anc 391 . . . . . . . . . . 11 (((z N w N) (v N u N)) → ((z ·N u) +N (w ·N v)) = ((z ·N u) +𝑜 (w ·N v)))
13 mulpiord 6301 . . . . . . . . . . . . 13 ((z N u N) → (z ·N u) = (z ·𝑜 u))
1413ad2ant2rl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((z N w N) (v N u N)) → (z ·N u) = (z ·𝑜 u))
15 mulpiord 6301 . . . . . . . . . . . . 13 ((w N v N) → (w ·N v) = (w ·𝑜 v))
1615ad2ant2lr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((z N w N) (v N u N)) → (w ·N v) = (w ·𝑜 v))
1714, 16oveq12d 5473 . . . . . . . . . . 11 (((z N w N) (v N u N)) → ((z ·N u) +𝑜 (w ·N v)) = ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))
1812, 17eqtrd 2069 . . . . . . . . . 10 (((z N w N) (v N u N)) → ((z ·N u) +N (w ·N v)) = ((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)))
19 mulpiord 6301 . . . . . . . . . . 11 ((w N u N) → (w ·N u) = (w ·𝑜 u))
2019ad2ant2l 477 . . . . . . . . . 10 (((z N w N) (v N u N)) → (w ·N u) = (w ·𝑜 u))
2118, 20opeq12d 3548 . . . . . . . . 9 (((z N w N) (v N u N)) → ⟨((z ·N u) +N (w ·N v)), (w ·N u)⟩ = ⟨((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)), (w ·𝑜 u)⟩)
2221eceq1d 6078 . . . . . . . 8 (((z N w N) (v N u N)) → [⟨((z ·N u) +N (w ·N v)), (w ·N u)⟩] ~Q0 = [⟨((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)), (w ·𝑜 u)⟩] ~Q0 )
23 addpipqqs 6354 . . . . . . . . 9 (((z N w N) (v N u N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q +Q [⟨v, u⟩] ~Q ) = [⟨((z ·N u) +N (w ·N v)), (w ·N u)⟩] ~Q )
24 addclpi 6311 . . . . . . . . . . 11 (((z ·N u) N (w ·N v) N) → ((z ·N u) +N (w ·N v)) N)
258, 10, 24syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 (((z N w N) (v N u N)) → ((z ·N u) +N (w ·N v)) N)
26 mulclpi 6312 . . . . . . . . . . 11 ((w N u N) → (w ·N u) N)
2726ad2ant2l 477 . . . . . . . . . 10 (((z N w N) (v N u N)) → (w ·N u) N)
28 nqnq0pi 6420 . . . . . . . . . 10 ((((z ·N u) +N (w ·N v)) N (w ·N u) N) → [⟨((z ·N u) +N (w ·N v)), (w ·N u)⟩] ~Q0 = [⟨((z ·N u) +N (w ·N v)), (w ·N u)⟩] ~Q )
2925, 27, 28syl2anc 391 . . . . . . . . 9 (((z N w N) (v N u N)) → [⟨((z ·N u) +N (w ·N v)), (w ·N u)⟩] ~Q0 = [⟨((z ·N u) +N (w ·N v)), (w ·N u)⟩] ~Q )
3023, 29eqtr4d 2072 . . . . . . . 8 (((z N w N) (v N u N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q +Q [⟨v, u⟩] ~Q ) = [⟨((z ·N u) +N (w ·N v)), (w ·N u)⟩] ~Q0 )
31 pinn 6293 . . . . . . . . . 10 (z Nz 𝜔)
3231anim1i 323 . . . . . . . . 9 ((z N w N) → (z 𝜔 w N))
33 pinn 6293 . . . . . . . . . 10 (v Nv 𝜔)
3433anim1i 323 . . . . . . . . 9 ((v N u N) → (v 𝜔 u N))
35 addnnnq0 6431 . . . . . . . . 9 (((z 𝜔 w N) (v 𝜔 u N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = [⟨((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)), (w ·𝑜 u)⟩] ~Q0 )
3632, 34, 35syl2an 273 . . . . . . . 8 (((z N w N) (v N u N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ) = [⟨((z ·𝑜 u) +𝑜 (w ·𝑜 v)), (w ·𝑜 u)⟩] ~Q0 )
3722, 30, 363eqtr4d 2079 . . . . . . 7 (((z N w N) (v N u N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q +Q [⟨v, u⟩] ~Q ) = ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))
386, 37sylan9eqr 2091 . . . . . 6 ((((z N w N) (v N u N)) (A = [⟨z, w⟩] ~Q B = [⟨v, u⟩] ~Q )) → (A +Q B) = ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))
39 nqnq0pi 6420 . . . . . . . . . . 11 ((z N w N) → [⟨z, w⟩] ~Q0 = [⟨z, w⟩] ~Q )
4039adantr 261 . . . . . . . . . 10 (((z N w N) (v N u N)) → [⟨z, w⟩] ~Q0 = [⟨z, w⟩] ~Q )
4140eqeq2d 2048 . . . . . . . . 9 (((z N w N) (v N u N)) → (A = [⟨z, w⟩] ~Q0A = [⟨z, w⟩] ~Q ))
42 nqnq0pi 6420 . . . . . . . . . . 11 ((v N u N) → [⟨v, u⟩] ~Q0 = [⟨v, u⟩] ~Q )
4342adantl 262 . . . . . . . . . 10 (((z N w N) (v N u N)) → [⟨v, u⟩] ~Q0 = [⟨v, u⟩] ~Q )
4443eqeq2d 2048 . . . . . . . . 9 (((z N w N) (v N u N)) → (B = [⟨v, u⟩] ~Q0B = [⟨v, u⟩] ~Q ))
4541, 44anbi12d 442 . . . . . . . 8 (((z N w N) (v N u N)) → ((A = [⟨z, w⟩] ~Q0 B = [⟨v, u⟩] ~Q0 ) ↔ (A = [⟨z, w⟩] ~Q B = [⟨v, u⟩] ~Q )))
4645pm5.32i 427 . . . . . . 7 ((((z N w N) (v N u N)) (A = [⟨z, w⟩] ~Q0 B = [⟨v, u⟩] ~Q0 )) ↔ (((z N w N) (v N u N)) (A = [⟨z, w⟩] ~Q B = [⟨v, u⟩] ~Q )))
47 oveq12 5464 . . . . . . . 8 ((A = [⟨z, w⟩] ~Q0 B = [⟨v, u⟩] ~Q0 ) → (A +Q0 B) = ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))
4847adantl 262 . . . . . . 7 ((((z N w N) (v N u N)) (A = [⟨z, w⟩] ~Q0 B = [⟨v, u⟩] ~Q0 )) → (A +Q0 B) = ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))
4946, 48sylbir 125 . . . . . 6 ((((z N w N) (v N u N)) (A = [⟨z, w⟩] ~Q B = [⟨v, u⟩] ~Q )) → (A +Q0 B) = ([⟨z, w⟩] ~Q0 +Q0 [⟨v, u⟩] ~Q0 ))
5038, 49eqtr4d 2072 . . . . 5 ((((z N w N) (v N u N)) (A = [⟨z, w⟩] ~Q B = [⟨v, u⟩] ~Q )) → (A +Q B) = (A +Q0 B))
5150an4s 522 . . . 4 ((((z N w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q ) ((v N u N) B = [⟨v, u⟩] ~Q )) → (A +Q B) = (A +Q0 B))
5251exlimivv 1773 . . 3 (vu(((z N w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q ) ((v N u N) B = [⟨v, u⟩] ~Q )) → (A +Q B) = (A +Q0 B))
5352exlimivv 1773 . 2 (zwvu(((z N w N) A = [⟨z, w⟩] ~Q ) ((v N u N) B = [⟨v, u⟩] ~Q )) → (A +Q B) = (A +Q0 B))
545, 53syl 14 1 ((A Q B Q) → (A +Q B) = (A +Q0 B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  cop 3370  𝜔com 4256  (class class class)co 5455   +𝑜 coa 5937   ·𝑜 comu 5938  [cec 6040  Ncnpi 6256   +N cpli 6257   ·N cmi 6258   ~Q ceq 6263  Qcnq 6264   +Q cplq 6266   ~Q0 ceq0 6270   +Q0 cplq0 6273
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-plpq 6328  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-plq0 6409
This theorem is referenced by:  prarloclemlo  6476  prarloclemcalc  6484
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