ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcmpblnq Structured version   GIF version

Theorem mulcmpblnq 6352
Description: Lemma showing compatibility of multiplication. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
mulcmpblnq ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → (((A ·N 𝐷) = (B ·N 𝐶) (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → ⟨(A ·N 𝐹), (B ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨(𝐶 ·N 𝑅), (𝐷 ·N 𝑆)⟩))

Proof of Theorem mulcmpblnq
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq12 5464 . 2 (((A ·N 𝐷) = (B ·N 𝐶) (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → ((A ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆)) = ((B ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑅)))
2 mulclpi 6312 . . . . . . . 8 ((A N 𝐹 N) → (A ·N 𝐹) N)
3 mulclpi 6312 . . . . . . . 8 ((B N 𝐺 N) → (B ·N 𝐺) N)
42, 3anim12i 321 . . . . . . 7 (((A N 𝐹 N) (B N 𝐺 N)) → ((A ·N 𝐹) N (B ·N 𝐺) N))
54an4s 522 . . . . . 6 (((A N B N) (𝐹 N 𝐺 N)) → ((A ·N 𝐹) N (B ·N 𝐺) N))
6 mulclpi 6312 . . . . . . . 8 ((𝐶 N 𝑅 N) → (𝐶 ·N 𝑅) N)
7 mulclpi 6312 . . . . . . . 8 ((𝐷 N 𝑆 N) → (𝐷 ·N 𝑆) N)
86, 7anim12i 321 . . . . . . 7 (((𝐶 N 𝑅 N) (𝐷 N 𝑆 N)) → ((𝐶 ·N 𝑅) N (𝐷 ·N 𝑆) N))
98an4s 522 . . . . . 6 (((𝐶 N 𝐷 N) (𝑅 N 𝑆 N)) → ((𝐶 ·N 𝑅) N (𝐷 ·N 𝑆) N))
105, 9anim12i 321 . . . . 5 ((((A N B N) (𝐹 N 𝐺 N)) ((𝐶 N 𝐷 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → (((A ·N 𝐹) N (B ·N 𝐺) N) ((𝐶 ·N 𝑅) N (𝐷 ·N 𝑆) N)))
1110an4s 522 . . . 4 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → (((A ·N 𝐹) N (B ·N 𝐺) N) ((𝐶 ·N 𝑅) N (𝐷 ·N 𝑆) N)))
12 enqbreq 6340 . . . 4 ((((A ·N 𝐹) N (B ·N 𝐺) N) ((𝐶 ·N 𝑅) N (𝐷 ·N 𝑆) N)) → (⟨(A ·N 𝐹), (B ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨(𝐶 ·N 𝑅), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ ((A ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((B ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑅))))
1311, 12syl 14 . . 3 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → (⟨(A ·N 𝐹), (B ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨(𝐶 ·N 𝑅), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ ((A ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((B ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑅))))
14 simplll 485 . . . . 5 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → A N)
15 simprll 489 . . . . 5 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → 𝐹 N)
16 simplrr 488 . . . . 5 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → 𝐷 N)
17 mulcompig 6315 . . . . . 6 ((x N y N) → (x ·N y) = (y ·N x))
1817adantl 262 . . . . 5 (((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) (x N y N)) → (x ·N y) = (y ·N x))
19 mulasspig 6316 . . . . . 6 ((x N y N z N) → ((x ·N y) ·N z) = (x ·N (y ·N z)))
2019adantl 262 . . . . 5 (((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) (x N y N z N)) → ((x ·N y) ·N z) = (x ·N (y ·N z)))
21 simprrr 492 . . . . 5 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → 𝑆 N)
22 mulclpi 6312 . . . . . 6 ((x N y N) → (x ·N y) N)
2322adantl 262 . . . . 5 (((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) (x N y N)) → (x ·N y) N)
2414, 15, 16, 18, 20, 21, 23caov4d 5627 . . . 4 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → ((A ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((A ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆)))
25 simpllr 486 . . . . 5 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → B N)
26 simprlr 490 . . . . 5 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → 𝐺 N)
27 simplrl 487 . . . . 5 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → 𝐶 N)
28 simprrl 491 . . . . 5 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → 𝑅 N)
2925, 26, 27, 18, 20, 28, 23caov4d 5627 . . . 4 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → ((B ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑅)) = ((B ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑅)))
3024, 29eqeq12d 2051 . . 3 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → (((A ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((B ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑅)) ↔ ((A ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆)) = ((B ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
3113, 30bitrd 177 . 2 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → (⟨(A ·N 𝐹), (B ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨(𝐶 ·N 𝑅), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ ((A ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆)) = ((B ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
321, 31syl5ibr 145 1 ((((A N B N) (𝐶 N 𝐷 N)) ((𝐹 N 𝐺 N) (𝑅 N 𝑆 N))) → (((A ·N 𝐷) = (B ·N 𝐶) (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → ⟨(A ·N 𝐹), (B ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨(𝐶 ·N 𝑅), (𝐷 ·N 𝑆)⟩))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  cop 3370   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  Ncnpi 6256   ·N cmi 6258   ~Q ceq 6263
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-ni 6288  df-mi 6290  df-enq 6331
This theorem is referenced by:  mulpipqqs  6357
  Copyright terms: Public domain W3C validator