Theorem mulcmpblnq 6466

Description: Lemma showing compatibility of multiplication. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
mulcmpblnq	⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → ⟨(𝐴 ·N 𝐹), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨(𝐶 ·N 𝑅), (𝐷 ·N 𝑆)⟩))

Proof of Theorem mulcmpblnq

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq12 5521	. 2 ⊢ (((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → ((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑅)))
2		mulclpi 6426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐹 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐹) ∈ N)
3		mulclpi 6426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N)
4	2, 3	anim12i 321	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐹 ∈ N) ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N)) → ((𝐴 ·N 𝐹) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N))
5	4	an4s 522	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N)) → ((𝐴 ·N 𝐹) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N))
6		mulclpi 6426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ N ∧ 𝑅 ∈ N) → (𝐶 ·N 𝑅) ∈ N)
7		mulclpi 6426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N) → (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)
8	6, 7	anim12i 321	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝑅 ∈ N) ∧ (𝐷 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N)) → ((𝐶 ·N 𝑅) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N))
9	8	an4s 522	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N)) → ((𝐶 ·N 𝑅) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N))
10	5, 9	anim12i 321	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N)) ∧ ((𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·N 𝐹) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N) ∧ ((𝐶 ·N 𝑅) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)))
11	10	an4s 522	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·N 𝐹) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N) ∧ ((𝐶 ·N 𝑅) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)))
12		enqbreq 6454	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ·N 𝐹) ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N) ∧ ((𝐶 ·N 𝑅) ∈ N ∧ (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)) → (⟨(𝐴 ·N 𝐹), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨(𝐶 ·N 𝑅), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ ((𝐴 ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑅))))
13	11, 12	syl 14	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (⟨(𝐴 ·N 𝐹), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨(𝐶 ·N 𝑅), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ ((𝐴 ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑅))))
14		simplll 485	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐴 ∈ N)
15		simprll 489	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐹 ∈ N)
16		simplrr 488	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐷 ∈ N)
17		mulcompig 6429	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
18	17	adantl 262	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
19		mulasspig 6430	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
20	19	adantl 262	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
21		simprrr 492	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝑆 ∈ N)
22		mulclpi 6426	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
23	22	adantl 262	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
24	14, 15, 16, 18, 20, 21, 23	caov4d 5685	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((𝐴 ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆)))
25		simpllr 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐵 ∈ N)
26		simprlr 490	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐺 ∈ N)
27		simplrl 487	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝐶 ∈ N)
28		simprrl 491	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → 𝑅 ∈ N)
29	25, 26, 27, 18, 20, 28, 23	caov4d 5685	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑅)) = ((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑅)))
30	24, 29	eqeq12d 2054	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·N 𝐹) ·N (𝐷 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐺) ·N (𝐶 ·N 𝑅)) ↔ ((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
31	13, 30	bitrd 177	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (⟨(𝐴 ·N 𝐹), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨(𝐶 ·N 𝑅), (𝐷 ·N 𝑆)⟩ ↔ ((𝐴 ·N 𝐷) ·N (𝐹 ·N 𝑆)) = ((𝐵 ·N 𝐶) ·N (𝐺 ·N 𝑅))))
32	1, 31	syl5ibr 145	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) ∧ ((𝐹 ∈ N ∧ 𝐺 ∈ N) ∧ (𝑅 ∈ N ∧ 𝑆 ∈ N))) → (((𝐴 ·N 𝐷) = (𝐵 ·N 𝐶) ∧ (𝐹 ·N 𝑆) = (𝐺 ·N 𝑅)) → ⟨(𝐴 ·N 𝐹), (𝐵 ·N 𝐺)⟩ ~Q ⟨(𝐶 ·N 𝑅), (𝐷 ·N 𝑆)⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 885   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ⟨cop 3378   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512  Ncnpi 6370   ·_N cmi 6372   ~_Q ceq 6377

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-ni 6402  df-mi 6404  df-enq 6445

This theorem is referenced by:  mulpipqqs  6471