ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqtri3or Structured version   GIF version

Theorem nqtri3or 6241
Description: Trichotomy for positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqtri3or ((A Q B Q) → (A <Q B A = B B <Q A))

Proof of Theorem nqtri3or
Dummy variables u v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6193 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
2 breq1 3730 . . 3 ([⟨z, w⟩] ~Q = A → ([⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨u, v⟩] ~QA <Q [⟨u, v⟩] ~Q ))
3 eqeq1 2019 . . 3 ([⟨z, w⟩] ~Q = A → ([⟨z, w⟩] ~Q = [⟨u, v⟩] ~QA = [⟨u, v⟩] ~Q ))
4 breq2 3731 . . 3 ([⟨z, w⟩] ~Q = A → ([⟨u, v⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ [⟨u, v⟩] ~Q <Q A))
52, 3, 43orbi123d 1186 . 2 ([⟨z, w⟩] ~Q = A → (([⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨u, v⟩] ~Q [⟨z, w⟩] ~Q = [⟨u, v⟩] ~Q [⟨u, v⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ↔ (A <Q [⟨u, v⟩] ~Q A = [⟨u, v⟩] ~Q [⟨u, v⟩] ~Q <Q A)))
6 breq2 3731 . . 3 ([⟨u, v⟩] ~Q = B → (A <Q [⟨u, v⟩] ~QA <Q B))
7 eqeq2 2022 . . 3 ([⟨u, v⟩] ~Q = B → (A = [⟨u, v⟩] ~QA = B))
8 breq1 3730 . . 3 ([⟨u, v⟩] ~Q = B → ([⟨u, v⟩] ~Q <Q AB <Q A))
96, 7, 83orbi123d 1186 . 2 ([⟨u, v⟩] ~Q = B → ((A <Q [⟨u, v⟩] ~Q A = [⟨u, v⟩] ~Q [⟨u, v⟩] ~Q <Q A) ↔ (A <Q B A = B B <Q A)))
10 mulclpi 6174 . . . . 5 ((z N v N) → (z ·N v) N)
1110ad2ant2rl 465 . . . 4 (((z N w N) (u N v N)) → (z ·N v) N)
12 mulclpi 6174 . . . . 5 ((w N u N) → (w ·N u) N)
1312ad2ant2lr 464 . . . 4 (((z N w N) (u N v N)) → (w ·N u) N)
14 pitri3or 6168 . . . 4 (((z ·N v) N (w ·N u) N) → ((z ·N v) <N (w ·N u) (z ·N v) = (w ·N u) (w ·N u) <N (z ·N v)))
1511, 13, 14syl2anc 391 . . 3 (((z N w N) (u N v N)) → ((z ·N v) <N (w ·N u) (z ·N v) = (w ·N u) (w ·N u) <N (z ·N v)))
16 ordpipqqs 6219 . . . 4 (((z N w N) (u N v N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨u, v⟩] ~Q ↔ (z ·N v) <N (w ·N u)))
17 enqeceq 6204 . . . 4 (((z N w N) (u N v N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q = [⟨u, v⟩] ~Q ↔ (z ·N v) = (w ·N u)))
18 ordpipqqs 6219 . . . . . 6 (((u N v N) (z N w N)) → ([⟨u, v⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ (u ·N w) <N (v ·N z)))
1918ancoms 255 . . . . 5 (((z N w N) (u N v N)) → ([⟨u, v⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ (u ·N w) <N (v ·N z)))
20 mulcompig 6177 . . . . . . 7 ((w N u N) → (w ·N u) = (u ·N w))
2120ad2ant2lr 464 . . . . . 6 (((z N w N) (u N v N)) → (w ·N u) = (u ·N w))
22 mulcompig 6177 . . . . . . 7 ((z N v N) → (z ·N v) = (v ·N z))
2322ad2ant2rl 465 . . . . . 6 (((z N w N) (u N v N)) → (z ·N v) = (v ·N z))
2421, 23breq12d 3740 . . . . 5 (((z N w N) (u N v N)) → ((w ·N u) <N (z ·N v) ↔ (u ·N w) <N (v ·N z)))
2519, 24bitr4d 180 . . . 4 (((z N w N) (u N v N)) → ([⟨u, v⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ (w ·N u) <N (z ·N v)))
2616, 17, 253orbi123d 1186 . . 3 (((z N w N) (u N v N)) → (([⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨u, v⟩] ~Q [⟨z, w⟩] ~Q = [⟨u, v⟩] ~Q [⟨u, v⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ↔ ((z ·N v) <N (w ·N u) (z ·N v) = (w ·N u) (w ·N u) <N (z ·N v))))
2715, 26mpbird 156 . 2 (((z N w N) (u N v N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨u, v⟩] ~Q [⟨z, w⟩] ~Q = [⟨u, v⟩] ~Q [⟨u, v⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ))
281, 5, 9, 272ecoptocl 6093 1 ((A Q B Q) → (A <Q B A = B B <Q A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3o 866   = wceq 1223   wcel 1366  cop 3342   class class class wbr 3727  (class class class)co 5424  [cec 6003  Ncnpi 6118   ·N cmi 6120   <N clti 6121   ~Q ceq 6125  Qcnq 6126   <Q cltq 6131
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-13 1377  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-coll 3835  ax-sep 3838  ax-nul 3846  ax-pow 3890  ax-pr 3907  ax-un 4108  ax-setind 4192  ax-iinf 4226
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 727  df-3or 868  df-3an 869  df-tru 1226  df-fal 1229  df-nf 1323  df-sb 1619  df-eu 1876  df-mo 1877  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ne 2179  df-ral 2280  df-rex 2281  df-reu 2282  df-rab 2284  df-v 2528  df-sbc 2733  df-csb 2821  df-dif 2888  df-un 2890  df-in 2892  df-ss 2899  df-nul 3193  df-pw 3325  df-sn 3345  df-pr 3346  df-op 3348  df-uni 3544  df-int 3579  df-iun 3622  df-br 3728  df-opab 3782  df-mpt 3783  df-tr 3818  df-eprel 3989  df-id 3993  df-iord 4041  df-on 4043  df-suc 4046  df-iom 4229  df-xp 4266  df-rel 4267  df-cnv 4268  df-co 4269  df-dm 4270  df-rn 4271  df-res 4272  df-ima 4273  df-iota 4782  df-fun 4819  df-fn 4820  df-f 4821  df-f1 4822  df-fo 4823  df-f1o 4824  df-fv 4825  df-ov 5427  df-oprab 5428  df-mpt2 5429  df-1st 5678  df-2nd 5679  df-recs 5830  df-irdg 5866  df-oadd 5908  df-omul 5909  df-er 6005  df-ec 6007  df-qs 6011  df-ni 6150  df-mi 6152  df-lti 6153  df-enq 6192  df-nqqs 6193  df-ltnqqs 6198
This theorem is referenced by:  ltsonq  6243  nqtric  6244  addlocprlem  6376  nqprloc  6386  distrlem4prl  6409  distrlem4pru  6410  ltexprlemrl  6433  aptiprleml  6460  aptiprlemu  6461
  Copyright terms: Public domain W3C validator