ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqtri3or Structured version   GIF version

Theorem nqtri3or 6249
Description: Trichotomy for positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqtri3or ((A Q B Q) → (A <Q B A = B B <Q A))

Proof of Theorem nqtri3or
Dummy variables u v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6201 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
2 breq1 3737 . . 3 ([⟨z, w⟩] ~Q = A → ([⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨u, v⟩] ~QA <Q [⟨u, v⟩] ~Q ))
3 eqeq1 2024 . . 3 ([⟨z, w⟩] ~Q = A → ([⟨z, w⟩] ~Q = [⟨u, v⟩] ~QA = [⟨u, v⟩] ~Q ))
4 breq2 3738 . . 3 ([⟨z, w⟩] ~Q = A → ([⟨u, v⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ [⟨u, v⟩] ~Q <Q A))
52, 3, 43orbi123d 1189 . 2 ([⟨z, w⟩] ~Q = A → (([⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨u, v⟩] ~Q [⟨z, w⟩] ~Q = [⟨u, v⟩] ~Q [⟨u, v⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ↔ (A <Q [⟨u, v⟩] ~Q A = [⟨u, v⟩] ~Q [⟨u, v⟩] ~Q <Q A)))
6 breq2 3738 . . 3 ([⟨u, v⟩] ~Q = B → (A <Q [⟨u, v⟩] ~QA <Q B))
7 eqeq2 2027 . . 3 ([⟨u, v⟩] ~Q = B → (A = [⟨u, v⟩] ~QA = B))
8 breq1 3737 . . 3 ([⟨u, v⟩] ~Q = B → ([⟨u, v⟩] ~Q <Q AB <Q A))
96, 7, 83orbi123d 1189 . 2 ([⟨u, v⟩] ~Q = B → ((A <Q [⟨u, v⟩] ~Q A = [⟨u, v⟩] ~Q [⟨u, v⟩] ~Q <Q A) ↔ (A <Q B A = B B <Q A)))
10 mulclpi 6182 . . . . 5 ((z N v N) → (z ·N v) N)
1110ad2ant2rl 468 . . . 4 (((z N w N) (u N v N)) → (z ·N v) N)
12 mulclpi 6182 . . . . 5 ((w N u N) → (w ·N u) N)
1312ad2ant2lr 467 . . . 4 (((z N w N) (u N v N)) → (w ·N u) N)
14 pitri3or 6176 . . . 4 (((z ·N v) N (w ·N u) N) → ((z ·N v) <N (w ·N u) (z ·N v) = (w ·N u) (w ·N u) <N (z ·N v)))
1511, 13, 14syl2anc 393 . . 3 (((z N w N) (u N v N)) → ((z ·N v) <N (w ·N u) (z ·N v) = (w ·N u) (w ·N u) <N (z ·N v)))
16 ordpipqqs 6227 . . . 4 (((z N w N) (u N v N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨u, v⟩] ~Q ↔ (z ·N v) <N (w ·N u)))
17 enqeceq 6212 . . . 4 (((z N w N) (u N v N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q = [⟨u, v⟩] ~Q ↔ (z ·N v) = (w ·N u)))
18 ordpipqqs 6227 . . . . . 6 (((u N v N) (z N w N)) → ([⟨u, v⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ (u ·N w) <N (v ·N z)))
1918ancoms 255 . . . . 5 (((z N w N) (u N v N)) → ([⟨u, v⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ (u ·N w) <N (v ·N z)))
20 mulcompig 6185 . . . . . . 7 ((w N u N) → (w ·N u) = (u ·N w))
2120ad2ant2lr 467 . . . . . 6 (((z N w N) (u N v N)) → (w ·N u) = (u ·N w))
22 mulcompig 6185 . . . . . . 7 ((z N v N) → (z ·N v) = (v ·N z))
2322ad2ant2rl 468 . . . . . 6 (((z N w N) (u N v N)) → (z ·N v) = (v ·N z))
2421, 23breq12d 3747 . . . . 5 (((z N w N) (u N v N)) → ((w ·N u) <N (z ·N v) ↔ (u ·N w) <N (v ·N z)))
2519, 24bitr4d 180 . . . 4 (((z N w N) (u N v N)) → ([⟨u, v⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ (w ·N u) <N (z ·N v)))
2616, 17, 253orbi123d 1189 . . 3 (((z N w N) (u N v N)) → (([⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨u, v⟩] ~Q [⟨z, w⟩] ~Q = [⟨u, v⟩] ~Q [⟨u, v⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ↔ ((z ·N v) <N (w ·N u) (z ·N v) = (w ·N u) (w ·N u) <N (z ·N v))))
2715, 26mpbird 156 . 2 (((z N w N) (u N v N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨u, v⟩] ~Q [⟨z, w⟩] ~Q = [⟨u, v⟩] ~Q [⟨u, v⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ))
281, 5, 9, 272ecoptocl 6101 1 ((A Q B Q) → (A <Q B A = B B <Q A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3o 870   = wceq 1226   wcel 1370  cop 3349   class class class wbr 3734  (class class class)co 5432  [cec 6011  Ncnpi 6126   ·N cmi 6128   <N clti 6129   ~Q ceq 6133  Qcnq 6134   <Q cltq 6139
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-coll 3842  ax-sep 3845  ax-nul 3853  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116  ax-setind 4200  ax-iinf 4234
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 731  df-3or 872  df-3an 873  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-ral 2285  df-rex 2286  df-reu 2287  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-int 3586  df-iun 3629  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-tr 3825  df-eprel 3996  df-id 4000  df-iord 4048  df-on 4050  df-suc 4053  df-iom 4237  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-f1 4830  df-fo 4831  df-f1o 4832  df-fv 4833  df-ov 5435  df-oprab 5436  df-mpt2 5437  df-1st 5686  df-2nd 5687  df-recs 5838  df-irdg 5874  df-oadd 5916  df-omul 5917  df-er 6013  df-ec 6015  df-qs 6019  df-ni 6158  df-mi 6160  df-lti 6161  df-enq 6200  df-nqqs 6201  df-ltnqqs 6206
This theorem is referenced by:  ltsonq  6251  nqtric  6252  addlocprlem  6384  nqprloc  6394  distrlem4prl  6417  distrlem4pru  6418  ltexprlemrl  6441
  Copyright terms: Public domain W3C validator