ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqtri3or Structured version   GIF version

Theorem nqtri3or 6380
Description: Trichotomy for positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqtri3or ((A Q B Q) → (A <Q B A = B B <Q A))

Proof of Theorem nqtri3or
Dummy variables u v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6332 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
2 breq1 3758 . . 3 ([⟨z, w⟩] ~Q = A → ([⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨u, v⟩] ~QA <Q [⟨u, v⟩] ~Q ))
3 eqeq1 2043 . . 3 ([⟨z, w⟩] ~Q = A → ([⟨z, w⟩] ~Q = [⟨u, v⟩] ~QA = [⟨u, v⟩] ~Q ))
4 breq2 3759 . . 3 ([⟨z, w⟩] ~Q = A → ([⟨u, v⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ [⟨u, v⟩] ~Q <Q A))
52, 3, 43orbi123d 1205 . 2 ([⟨z, w⟩] ~Q = A → (([⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨u, v⟩] ~Q [⟨z, w⟩] ~Q = [⟨u, v⟩] ~Q [⟨u, v⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ↔ (A <Q [⟨u, v⟩] ~Q A = [⟨u, v⟩] ~Q [⟨u, v⟩] ~Q <Q A)))
6 breq2 3759 . . 3 ([⟨u, v⟩] ~Q = B → (A <Q [⟨u, v⟩] ~QA <Q B))
7 eqeq2 2046 . . 3 ([⟨u, v⟩] ~Q = B → (A = [⟨u, v⟩] ~QA = B))
8 breq1 3758 . . 3 ([⟨u, v⟩] ~Q = B → ([⟨u, v⟩] ~Q <Q AB <Q A))
96, 7, 83orbi123d 1205 . 2 ([⟨u, v⟩] ~Q = B → ((A <Q [⟨u, v⟩] ~Q A = [⟨u, v⟩] ~Q [⟨u, v⟩] ~Q <Q A) ↔ (A <Q B A = B B <Q A)))
10 mulclpi 6312 . . . . 5 ((z N v N) → (z ·N v) N)
1110ad2ant2rl 480 . . . 4 (((z N w N) (u N v N)) → (z ·N v) N)
12 mulclpi 6312 . . . . 5 ((w N u N) → (w ·N u) N)
1312ad2ant2lr 479 . . . 4 (((z N w N) (u N v N)) → (w ·N u) N)
14 pitri3or 6306 . . . 4 (((z ·N v) N (w ·N u) N) → ((z ·N v) <N (w ·N u) (z ·N v) = (w ·N u) (w ·N u) <N (z ·N v)))
1511, 13, 14syl2anc 391 . . 3 (((z N w N) (u N v N)) → ((z ·N v) <N (w ·N u) (z ·N v) = (w ·N u) (w ·N u) <N (z ·N v)))
16 ordpipqqs 6358 . . . 4 (((z N w N) (u N v N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨u, v⟩] ~Q ↔ (z ·N v) <N (w ·N u)))
17 enqeceq 6343 . . . 4 (((z N w N) (u N v N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q = [⟨u, v⟩] ~Q ↔ (z ·N v) = (w ·N u)))
18 ordpipqqs 6358 . . . . . 6 (((u N v N) (z N w N)) → ([⟨u, v⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ (u ·N w) <N (v ·N z)))
1918ancoms 255 . . . . 5 (((z N w N) (u N v N)) → ([⟨u, v⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ (u ·N w) <N (v ·N z)))
20 mulcompig 6315 . . . . . . 7 ((w N u N) → (w ·N u) = (u ·N w))
2120ad2ant2lr 479 . . . . . 6 (((z N w N) (u N v N)) → (w ·N u) = (u ·N w))
22 mulcompig 6315 . . . . . . 7 ((z N v N) → (z ·N v) = (v ·N z))
2322ad2ant2rl 480 . . . . . 6 (((z N w N) (u N v N)) → (z ·N v) = (v ·N z))
2421, 23breq12d 3768 . . . . 5 (((z N w N) (u N v N)) → ((w ·N u) <N (z ·N v) ↔ (u ·N w) <N (v ·N z)))
2519, 24bitr4d 180 . . . 4 (((z N w N) (u N v N)) → ([⟨u, v⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ↔ (w ·N u) <N (z ·N v)))
2616, 17, 253orbi123d 1205 . . 3 (((z N w N) (u N v N)) → (([⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨u, v⟩] ~Q [⟨z, w⟩] ~Q = [⟨u, v⟩] ~Q [⟨u, v⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ) ↔ ((z ·N v) <N (w ·N u) (z ·N v) = (w ·N u) (w ·N u) <N (z ·N v))))
2715, 26mpbird 156 . 2 (((z N w N) (u N v N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q <Q [⟨u, v⟩] ~Q [⟨z, w⟩] ~Q = [⟨u, v⟩] ~Q [⟨u, v⟩] ~Q <Q [⟨z, w⟩] ~Q ))
281, 5, 9, 272ecoptocl 6130 1 ((A Q B Q) → (A <Q B A = B B <Q A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3o 883   = wceq 1242   wcel 1390  cop 3370   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  [cec 6040  Ncnpi 6256   ·N cmi 6258   <N clti 6259   ~Q ceq 6263  Qcnq 6264   <Q cltq 6269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-mi 6290  df-lti 6291  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-ltnqqs 6337
This theorem is referenced by:  ltsonq  6382  nqtric  6383  addlocprlem  6518  nqprloc  6528  distrlem4prl  6560  distrlem4pru  6561  ltexprlemrl  6584  aptiprleml  6611  aptiprlemu  6612
  Copyright terms: Public domain W3C validator