Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcanenq GIF version

Theorem mulcanenq 6483
 Description: Lemma for distributive law: cancellation of common factor. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.)
Assertion
Ref Expression
mulcanenq ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ⟨(𝐴 ·N 𝐵), (𝐴 ·N 𝐶)⟩ ~Q𝐵, 𝐶⟩)

Proof of Theorem mulcanenq
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 904 . . 3 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → 𝐴N)
2 simp2 905 . . 3 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → 𝐵N)
3 simp3 906 . . 3 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → 𝐶N)
4 mulcompig 6429 . . . 4 ((𝑥N𝑦N) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
54adantl 262 . . 3 (((𝐴N𝐵N𝐶N) ∧ (𝑥N𝑦N)) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
6 mulasspig 6430 . . . 4 ((𝑥N𝑦N𝑧N) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
76adantl 262 . . 3 (((𝐴N𝐵N𝐶N) ∧ (𝑥N𝑦N𝑧N)) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
81, 2, 3, 5, 7caov32d 5681 . 2 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = ((𝐴 ·N 𝐶) ·N 𝐵))
9 mulclpi 6426 . . . . . 6 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 𝐵) ∈ N)
10 mulclpi 6426 . . . . . 6 ((𝐴N𝐶N) → (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N)
119, 10anim12i 321 . . . . 5 (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐴N𝐶N)) → ((𝐴 ·N 𝐵) ∈ N ∧ (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N))
12 simpr 103 . . . . . 6 (((𝐴N𝐴N) ∧ (𝐵N𝐶N)) → (𝐵N𝐶N))
1312an4s 522 . . . . 5 (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐴N𝐶N)) → (𝐵N𝐶N))
1411, 13jca 290 . . . 4 (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐴N𝐶N)) → (((𝐴 ·N 𝐵) ∈ N ∧ (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N) ∧ (𝐵N𝐶N)))
15143impdi 1190 . . 3 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (((𝐴 ·N 𝐵) ∈ N ∧ (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N) ∧ (𝐵N𝐶N)))
16 enqbreq 6454 . . 3 ((((𝐴 ·N 𝐵) ∈ N ∧ (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N) ∧ (𝐵N𝐶N)) → (⟨(𝐴 ·N 𝐵), (𝐴 ·N 𝐶)⟩ ~Q𝐵, 𝐶⟩ ↔ ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = ((𝐴 ·N 𝐶) ·N 𝐵)))
1715, 16syl 14 . 2 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (⟨(𝐴 ·N 𝐵), (𝐴 ·N 𝐶)⟩ ~Q𝐵, 𝐶⟩ ↔ ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = ((𝐴 ·N 𝐶) ·N 𝐵)))
188, 17mpbird 156 1 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ⟨(𝐴 ·N 𝐵), (𝐴 ·N 𝐶)⟩ ~Q𝐵, 𝐶⟩)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 885   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ⟨cop 3378   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512  Ncnpi 6370   ·N cmi 6372   ~Q ceq 6377 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-ni 6402  df-mi 6404  df-enq 6445 This theorem is referenced by:  mulcanenqec  6484
 Copyright terms: Public domain W3C validator