Theorem addpipqqslem 6353

Description: Lemma for addpipqqs 6354. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addpipqqslem	⊢ (((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) → ⟨((A ·N 𝐷) +N (B ·N 𝐶)), (B ·N 𝐷)⟩ ∈ (N × N))

Proof of Theorem addpipqqslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulclpi 6312	. . . 4 ⊢ ((A ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N) → (A ·N 𝐷) ∈ N)
2		mulclpi 6312	. . . 4 ⊢ ((B ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (B ·N 𝐶) ∈ N)
3		addclpi 6311	. . . 4 ⊢ (((A ·N 𝐷) ∈ N ∧ (B ·N 𝐶) ∈ N) → ((A ·N 𝐷) +N (B ·N 𝐶)) ∈ N)
4	1, 2, 3	syl2an 273	. . 3 ⊢ (((A ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N) ∧ (B ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → ((A ·N 𝐷) +N (B ·N 𝐶)) ∈ N)
5	4	an42s 523	. 2 ⊢ (((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) → ((A ·N 𝐷) +N (B ·N 𝐶)) ∈ N)
6		mulclpi 6312	. . 3 ⊢ ((B ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N) → (B ·N 𝐷) ∈ N)
7	6	ad2ant2l 477	. 2 ⊢ (((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) → (B ·N 𝐷) ∈ N)
8		opelxpi 4319	. 2 ⊢ ((((A ·N 𝐷) +N (B ·N 𝐶)) ∈ N ∧ (B ·N 𝐷) ∈ N) → ⟨((A ·N 𝐷) +N (B ·N 𝐶)), (B ·N 𝐷)⟩ ∈ (N × N))
9	5, 7, 8	syl2anc 391	1 ⊢ (((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ (𝐶 ∈ N ∧ 𝐷 ∈ N)) → ⟨((A ·N 𝐷) +N (B ·N 𝐶)), (B ·N 𝐷)⟩ ∈ (N × N))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∈ wcel 1390  ⟨cop 3370   × cxp 4286  (class class class)co 5455  Ncnpi 6256   +_N cpli 6257   ·_N cmi 6258

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290

This theorem is referenced by:  addpipqqs  6354