ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcanenq0ec Structured version   GIF version

Theorem mulcanenq0ec 6427
Description: Lemma for distributive law: cancellation of common factor. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcanenq0ec ((A N B 𝜔 𝐶 N) → [⟨(A ·𝑜 B), (A ·𝑜 𝐶)⟩] ~Q0 = [⟨B, 𝐶⟩] ~Q0 )

Proof of Theorem mulcanenq0ec
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enq0er 6417 . . 3 ~Q0 Er (𝜔 × N)
21a1i 9 . 2 ((A N B 𝜔 𝐶 N) → ~Q0 Er (𝜔 × N))
3 pinn 6293 . . . . 5 (A NA 𝜔)
433ad2ant1 924 . . . 4 ((A N B 𝜔 𝐶 N) → A 𝜔)
5 simp2 904 . . . 4 ((A N B 𝜔 𝐶 N) → B 𝜔)
6 pinn 6293 . . . . 5 (𝐶 N𝐶 𝜔)
763ad2ant3 926 . . . 4 ((A N B 𝜔 𝐶 N) → 𝐶 𝜔)
8 nnmcom 6007 . . . . 5 ((x 𝜔 y 𝜔) → (x ·𝑜 y) = (y ·𝑜 x))
98adantl 262 . . . 4 (((A N B 𝜔 𝐶 N) (x 𝜔 y 𝜔)) → (x ·𝑜 y) = (y ·𝑜 x))
10 nnmass 6005 . . . . 5 ((x 𝜔 y 𝜔 z 𝜔) → ((x ·𝑜 y) ·𝑜 z) = (x ·𝑜 (y ·𝑜 z)))
1110adantl 262 . . . 4 (((A N B 𝜔 𝐶 N) (x 𝜔 y 𝜔 z 𝜔)) → ((x ·𝑜 y) ·𝑜 z) = (x ·𝑜 (y ·𝑜 z)))
124, 5, 7, 9, 11caov32d 5623 . . 3 ((A N B 𝜔 𝐶 N) → ((A ·𝑜 B) ·𝑜 𝐶) = ((A ·𝑜 𝐶) ·𝑜 B))
13 nnmcl 5999 . . . . . . . 8 ((A 𝜔 B 𝜔) → (A ·𝑜 B) 𝜔)
143, 13sylan 267 . . . . . . 7 ((A N B 𝜔) → (A ·𝑜 B) 𝜔)
15 mulpiord 6301 . . . . . . . 8 ((A N 𝐶 N) → (A ·N 𝐶) = (A ·𝑜 𝐶))
16 mulclpi 6312 . . . . . . . 8 ((A N 𝐶 N) → (A ·N 𝐶) N)
1715, 16eqeltrrd 2112 . . . . . . 7 ((A N 𝐶 N) → (A ·𝑜 𝐶) N)
1814, 17anim12i 321 . . . . . 6 (((A N B 𝜔) (A N 𝐶 N)) → ((A ·𝑜 B) 𝜔 (A ·𝑜 𝐶) N))
19 simpr 103 . . . . . . 7 (((A N A N) (B 𝜔 𝐶 N)) → (B 𝜔 𝐶 N))
2019an4s 522 . . . . . 6 (((A N B 𝜔) (A N 𝐶 N)) → (B 𝜔 𝐶 N))
2118, 20jca 290 . . . . 5 (((A N B 𝜔) (A N 𝐶 N)) → (((A ·𝑜 B) 𝜔 (A ·𝑜 𝐶) N) (B 𝜔 𝐶 N)))
22213impdi 1189 . . . 4 ((A N B 𝜔 𝐶 N) → (((A ·𝑜 B) 𝜔 (A ·𝑜 𝐶) N) (B 𝜔 𝐶 N)))
23 enq0breq 6418 . . . 4 ((((A ·𝑜 B) 𝜔 (A ·𝑜 𝐶) N) (B 𝜔 𝐶 N)) → (⟨(A ·𝑜 B), (A ·𝑜 𝐶)⟩ ~Q0B, 𝐶⟩ ↔ ((A ·𝑜 B) ·𝑜 𝐶) = ((A ·𝑜 𝐶) ·𝑜 B)))
2422, 23syl 14 . . 3 ((A N B 𝜔 𝐶 N) → (⟨(A ·𝑜 B), (A ·𝑜 𝐶)⟩ ~Q0B, 𝐶⟩ ↔ ((A ·𝑜 B) ·𝑜 𝐶) = ((A ·𝑜 𝐶) ·𝑜 B)))
2512, 24mpbird 156 . 2 ((A N B 𝜔 𝐶 N) → ⟨(A ·𝑜 B), (A ·𝑜 𝐶)⟩ ~Q0B, 𝐶⟩)
262, 25erthi 6088 1 ((A N B 𝜔 𝐶 N) → [⟨(A ·𝑜 B), (A ·𝑜 𝐶)⟩] ~Q0 = [⟨B, 𝐶⟩] ~Q0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  cop 3370   class class class wbr 3755  𝜔com 4256   × cxp 4286  (class class class)co 5455   ·𝑜 comu 5938   Er wer 6039  [cec 6040  Ncnpi 6256   ·N cmi 6258   ~Q0 ceq0 6270
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-ni 6288  df-mi 6290  df-enq0 6406
This theorem is referenced by:  nnanq0  6440  distrnq0  6441
  Copyright terms: Public domain W3C validator