Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcanenq0ec Structured version   GIF version

Theorem mulcanenq0ec 6294
 Description: Lemma for distributive law: cancellation of common factor. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcanenq0ec ((A N B 𝜔 𝐶 N) → [⟨(A ·𝑜 B), (A ·𝑜 𝐶)⟩] ~Q0 = [⟨B, 𝐶⟩] ~Q0 )

Proof of Theorem mulcanenq0ec
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enq0er 6284 . . 3 ~Q0 Er (𝜔 × N)
21a1i 9 . 2 ((A N B 𝜔 𝐶 N) → ~Q0 Er (𝜔 × N))
3 pinn 6163 . . . . 5 (A NA 𝜔)
433ad2ant1 911 . . . 4 ((A N B 𝜔 𝐶 N) → A 𝜔)
5 simp2 891 . . . 4 ((A N B 𝜔 𝐶 N) → B 𝜔)
6 pinn 6163 . . . . 5 (𝐶 N𝐶 𝜔)
763ad2ant3 913 . . . 4 ((A N B 𝜔 𝐶 N) → 𝐶 𝜔)
8 nnmcom 5979 . . . . 5 ((x 𝜔 y 𝜔) → (x ·𝑜 y) = (y ·𝑜 x))
98adantl 262 . . . 4 (((A N B 𝜔 𝐶 N) (x 𝜔 y 𝜔)) → (x ·𝑜 y) = (y ·𝑜 x))
10 nnmass 5977 . . . . 5 ((x 𝜔 y 𝜔 z 𝜔) → ((x ·𝑜 y) ·𝑜 z) = (x ·𝑜 (y ·𝑜 z)))
1110adantl 262 . . . 4 (((A N B 𝜔 𝐶 N) (x 𝜔 y 𝜔 z 𝜔)) → ((x ·𝑜 y) ·𝑜 z) = (x ·𝑜 (y ·𝑜 z)))
124, 5, 7, 9, 11caov32d 5600 . . 3 ((A N B 𝜔 𝐶 N) → ((A ·𝑜 B) ·𝑜 𝐶) = ((A ·𝑜 𝐶) ·𝑜 B))
13 nnmcl 5971 . . . . . . . 8 ((A 𝜔 B 𝜔) → (A ·𝑜 B) 𝜔)
143, 13sylan 267 . . . . . . 7 ((A N B 𝜔) → (A ·𝑜 B) 𝜔)
15 mulpiord 6171 . . . . . . . 8 ((A N 𝐶 N) → (A ·N 𝐶) = (A ·𝑜 𝐶))
16 mulclpi 6182 . . . . . . . 8 ((A N 𝐶 N) → (A ·N 𝐶) N)
1715, 16eqeltrrd 2093 . . . . . . 7 ((A N 𝐶 N) → (A ·𝑜 𝐶) N)
1814, 17anim12i 321 . . . . . 6 (((A N B 𝜔) (A N 𝐶 N)) → ((A ·𝑜 B) 𝜔 (A ·𝑜 𝐶) N))
19 simpr 103 . . . . . . 7 (((A N A N) (B 𝜔 𝐶 N)) → (B 𝜔 𝐶 N))
2019an4s 509 . . . . . 6 (((A N B 𝜔) (A N 𝐶 N)) → (B 𝜔 𝐶 N))
2118, 20jca 290 . . . . 5 (((A N B 𝜔) (A N 𝐶 N)) → (((A ·𝑜 B) 𝜔 (A ·𝑜 𝐶) N) (B 𝜔 𝐶 N)))
22213impdi 1174 . . . 4 ((A N B 𝜔 𝐶 N) → (((A ·𝑜 B) 𝜔 (A ·𝑜 𝐶) N) (B 𝜔 𝐶 N)))
23 enq0breq 6285 . . . 4 ((((A ·𝑜 B) 𝜔 (A ·𝑜 𝐶) N) (B 𝜔 𝐶 N)) → (⟨(A ·𝑜 B), (A ·𝑜 𝐶)⟩ ~Q0B, 𝐶⟩ ↔ ((A ·𝑜 B) ·𝑜 𝐶) = ((A ·𝑜 𝐶) ·𝑜 B)))
2422, 23syl 14 . . 3 ((A N B 𝜔 𝐶 N) → (⟨(A ·𝑜 B), (A ·𝑜 𝐶)⟩ ~Q0B, 𝐶⟩ ↔ ((A ·𝑜 B) ·𝑜 𝐶) = ((A ·𝑜 𝐶) ·𝑜 B)))
2512, 24mpbird 156 . 2 ((A N B 𝜔 𝐶 N) → ⟨(A ·𝑜 B), (A ·𝑜 𝐶)⟩ ~Q0B, 𝐶⟩)
262, 25erthi 6059 1 ((A N B 𝜔 𝐶 N) → [⟨(A ·𝑜 B), (A ·𝑜 𝐶)⟩] ~Q0 = [⟨B, 𝐶⟩] ~Q0 )
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 871   = wceq 1226   ∈ wcel 1370  ⟨cop 3349   class class class wbr 3734  𝜔com 4236   × cxp 4266  (class class class)co 5432   ·𝑜 comu 5910   Er wer 6010  [cec 6011  Ncnpi 6126   ·N cmi 6128   ~Q0 ceq0 6140 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-coll 3842  ax-sep 3845  ax-nul 3853  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116  ax-setind 4200  ax-iinf 4234 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 731  df-3or 872  df-3an 873  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-ral 2285  df-rex 2286  df-reu 2287  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-int 3586  df-iun 3629  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-tr 3825  df-id 4000  df-iord 4048  df-on 4050  df-suc 4053  df-iom 4237  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-f1 4830  df-fo 4831  df-f1o 4832  df-fv 4833  df-ov 5435  df-oprab 5436  df-mpt2 5437  df-1st 5686  df-2nd 5687  df-recs 5838  df-irdg 5874  df-oadd 5916  df-omul 5917  df-er 6013  df-ec 6015  df-ni 6158  df-mi 6160  df-enq0 6273 This theorem is referenced by:  nnanq0  6307  distrnq0  6308
 Copyright terms: Public domain W3C validator