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Theorem ltexprlemru 6443
Description: Lemma for ltexpri 6444. One direction of our result for upper cuts. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1 𝐶 = ⟨{x Qy(y (2ndA) (y +Q x) (1stB))}, {x Qy(y (1stA) (y +Q x) (2ndB))}⟩
Assertion
Ref Expression
ltexprlemru (A<P B → (2ndB) ⊆ (2nd ‘(A +P 𝐶)))
Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,𝐶,y

Proof of Theorem ltexprlemru
Dummy variables z w u v f g 𝑞 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelpr 6353 . . . . . . . 8 <P ⊆ (P × P)
21brel 4315 . . . . . . 7 (A<P B → (A P B P))
32simprd 107 . . . . . 6 (A<P BB P)
4 prop 6323 . . . . . 6 (B P → ⟨(1stB), (2ndB)⟩ P)
53, 4syl 14 . . . . 5 (A<P B → ⟨(1stB), (2ndB)⟩ P)
6 prnminu 6337 . . . . 5 ((⟨(1stB), (2ndB)⟩ P w (2ndB)) → 𝑡 (2ndB)𝑡 <Q w)
75, 6sylan 267 . . . 4 ((A<P B w (2ndB)) → 𝑡 (2ndB)𝑡 <Q w)
8 simprr 472 . . . . . 6 (((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) → 𝑡 <Q w)
9 elprnqu 6330 . . . . . . . . 9 ((⟨(1stB), (2ndB)⟩ P 𝑡 (2ndB)) → 𝑡 Q)
105, 9sylan 267 . . . . . . . 8 ((A<P B 𝑡 (2ndB)) → 𝑡 Q)
1110ad2ant2r 466 . . . . . . 7 (((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) → 𝑡 Q)
12 elprnqu 6330 . . . . . . . . 9 ((⟨(1stB), (2ndB)⟩ P w (2ndB)) → w Q)
135, 12sylan 267 . . . . . . . 8 ((A<P B w (2ndB)) → w Q)
1413adantr 261 . . . . . . 7 (((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) → w Q)
15 ltexnqq 6260 . . . . . . 7 ((𝑡 Q w Q) → (𝑡 <Q wv Q (𝑡 +Q v) = w))
1611, 14, 15syl2anc 393 . . . . . 6 (((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) → (𝑡 <Q wv Q (𝑡 +Q v) = w))
178, 16mpbid 135 . . . . 5 (((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) → v Q (𝑡 +Q v) = w)
182simpld 105 . . . . . . . . . 10 (A<P BA P)
19 prop 6323 . . . . . . . . . 10 (A P → ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P)
2018, 19syl 14 . . . . . . . . 9 (A<P B → ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P)
21 prarloc 6351 . . . . . . . . 9 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P v Q) → z (1stA)u (2ndA)u <Q (z +Q v))
2220, 21sylan 267 . . . . . . . 8 ((A<P B v Q) → z (1stA)u (2ndA)u <Q (z +Q v))
2322adantlr 449 . . . . . . 7 (((A<P B w (2ndB)) v Q) → z (1stA)u (2ndA)u <Q (z +Q v))
2423ad2ant2r 466 . . . . . 6 ((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) → z (1stA)u (2ndA)u <Q (z +Q v))
25 simplll 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) → A<P B)
2625ad2antrr 460 . . . . . . . . . . . 12 ((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) → A<P B)
27 ltdfpr 6354 . . . . . . . . . . . . . 14 ((A P B P) → (A<P B𝑞 Q (𝑞 (2ndA) 𝑞 (1stB))))
2827biimpd 132 . . . . . . . . . . . . 13 ((A P B P) → (A<P B𝑞 Q (𝑞 (2ndA) 𝑞 (1stB))))
292, 28mpcom 32 . . . . . . . . . . . 12 (A<P B𝑞 Q (𝑞 (2ndA) 𝑞 (1stB)))
3026, 29syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) → 𝑞 Q (𝑞 (2ndA) 𝑞 (1stB)))
3125adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) → A<P B)
3231ad2antrr 460 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑞 Q (𝑞 (2ndA) 𝑞 (1stB)))) → A<P B)
33 simplrl 475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) → z (1stA))
3433adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑞 Q (𝑞 (2ndA) 𝑞 (1stB)))) → z (1stA))
35 simprrl 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑞 Q (𝑞 (2ndA) 𝑞 (1stB)))) → 𝑞 (2ndA))
36 prltlu 6335 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P z (1stA) 𝑞 (2ndA)) → z <Q 𝑞)
3720, 36syl3an1 1152 . . . . . . . . . . . . 13 ((A<P B z (1stA) 𝑞 (2ndA)) → z <Q 𝑞)
3832, 34, 35, 37syl3anc 1119 . . . . . . . . . . . 12 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑞 Q (𝑞 (2ndA) 𝑞 (1stB)))) → z <Q 𝑞)
39 simprrr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑞 Q (𝑞 (2ndA) 𝑞 (1stB)))) → 𝑞 (1stB))
40 simplrl 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) → 𝑡 (2ndB))
4140adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) → 𝑡 (2ndB))
4241ad2antrr 460 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑞 Q (𝑞 (2ndA) 𝑞 (1stB)))) → 𝑡 (2ndB))
43 prltlu 6335 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⟨(1stB), (2ndB)⟩ P 𝑞 (1stB) 𝑡 (2ndB)) → 𝑞 <Q 𝑡)
445, 43syl3an1 1152 . . . . . . . . . . . . 13 ((A<P B 𝑞 (1stB) 𝑡 (2ndB)) → 𝑞 <Q 𝑡)
4532, 39, 42, 44syl3anc 1119 . . . . . . . . . . . 12 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑞 Q (𝑞 (2ndA) 𝑞 (1stB)))) → 𝑞 <Q 𝑡)
46 ltsonq 6251 . . . . . . . . . . . . 13 <Q Or Q
47 ltrelnq 6218 . . . . . . . . . . . . 13 <Q ⊆ (Q × Q)
4846, 47sotri 4643 . . . . . . . . . . . 12 ((z <Q 𝑞 𝑞 <Q 𝑡) → z <Q 𝑡)
4938, 45, 48syl2anc 393 . . . . . . . . . . 11 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑞 Q (𝑞 (2ndA) 𝑞 (1stB)))) → z <Q 𝑡)
5030, 49rexlimddv 2411 . . . . . . . . . 10 ((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) → z <Q 𝑡)
5147brel 4315 . . . . . . . . . . 11 (z <Q 𝑡 → (z Q 𝑡 Q))
52 ltexnqq 6260 . . . . . . . . . . . 12 ((z Q 𝑡 Q) → (z <Q 𝑡𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡))
5352biimpd 132 . . . . . . . . . . 11 ((z Q 𝑡 Q) → (z <Q 𝑡𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡))
5451, 53mpcom 32 . . . . . . . . . 10 (z <Q 𝑡𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)
5550, 54syl 14 . . . . . . . . 9 ((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) → 𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)
56 simplrr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) → (𝑡 +Q v) = w)
5756ad2antrr 460 . . . . . . . . . . 11 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → (𝑡 +Q v) = w)
58 simprr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → (z +Q 𝑠) = 𝑡)
59 oveq1 5439 . . . . . . . . . . . . 13 ((z +Q 𝑠) = 𝑡 → ((z +Q 𝑠) +Q v) = (𝑡 +Q v))
6059eqeq1d 2026 . . . . . . . . . . . 12 ((z +Q 𝑠) = 𝑡 → (((z +Q 𝑠) +Q v) = w ↔ (𝑡 +Q v) = w))
6158, 60syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → (((z +Q 𝑠) +Q v) = w ↔ (𝑡 +Q v) = w))
6257, 61mpbird 156 . . . . . . . . . 10 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → ((z +Q 𝑠) +Q v) = w)
63 elprnql 6329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P z (1stA)) → z Q)
6420, 63sylan 267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((A<P B z (1stA)) → z Q)
6564adantlr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((A<P B w (2ndB)) z (1stA)) → z Q)
6665ad2ant2r 466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (z (1stA) u (2ndA))) → z Q)
6766adantlr 449 . . . . . . . . . . . . 13 (((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) → z Q)
6867ad2antrr 460 . . . . . . . . . . . 12 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → z Q)
69 simplrl 475 . . . . . . . . . . . . 13 (((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) → v Q)
7069ad2antrr 460 . . . . . . . . . . . 12 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → v Q)
71 simprl 471 . . . . . . . . . . . 12 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → 𝑠 Q)
72 addcomnqg 6234 . . . . . . . . . . . . 13 ((f Q g Q) → (f +Q g) = (g +Q f))
7372adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) (f Q g Q)) → (f +Q g) = (g +Q f))
74 addassnqg 6235 . . . . . . . . . . . . 13 ((f Q g Q Q) → ((f +Q g) +Q ) = (f +Q (g +Q )))
7574adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) (f Q g Q Q)) → ((f +Q g) +Q ) = (f +Q (g +Q )))
7668, 70, 71, 73, 75caov32d 5600 . . . . . . . . . . 11 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → ((z +Q v) +Q 𝑠) = ((z +Q 𝑠) +Q v))
77 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) → u <Q (z +Q v))
78 simplrr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) → u (2ndA))
79 prcunqu 6333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P u (2ndA)) → (u <Q (z +Q v) → (z +Q v) (2ndA)))
8020, 79sylan 267 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((A<P B u (2ndA)) → (u <Q (z +Q v) → (z +Q v) (2ndA)))
8126, 78, 80syl2anc 393 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) → (u <Q (z +Q v) → (z +Q v) (2ndA)))
8277, 81mpd 13 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) → (z +Q v) (2ndA))
8382adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → (z +Q v) (2ndA))
8433adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → z (1stA))
8541ad2antrr 460 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → 𝑡 (2ndB))
8658, 85eqeltrd 2092 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → (z +Q 𝑠) (2ndB))
87 eleq1 2078 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (y = z → (y (1stA) ↔ z (1stA)))
88 oveq1 5439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (y = z → (y +Q 𝑠) = (z +Q 𝑠))
8988eleq1d 2084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (y = z → ((y +Q 𝑠) (2ndB) ↔ (z +Q 𝑠) (2ndB)))
9087, 89anbi12d 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (y = z → ((y (1stA) (y +Q 𝑠) (2ndB)) ↔ (z (1stA) (z +Q 𝑠) (2ndB))))
9190spcegv 2614 . . . . . . . . . . . . . . 15 (z (1stA) → ((z (1stA) (z +Q 𝑠) (2ndB)) → y(y (1stA) (y +Q 𝑠) (2ndB))))
9291anabsi5 500 . . . . . . . . . . . . . 14 ((z (1stA) (z +Q 𝑠) (2ndB)) → y(y (1stA) (y +Q 𝑠) (2ndB)))
9384, 86, 92syl2anc 393 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → y(y (1stA) (y +Q 𝑠) (2ndB)))
94 ltexprlem.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐶 = ⟨{x Qy(y (2ndA) (y +Q x) (1stB))}, {x Qy(y (1stA) (y +Q x) (2ndB))}⟩
9594ltexprlemelu 6430 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 (2nd𝐶) ↔ (𝑠 Q y(y (1stA) (y +Q 𝑠) (2ndB))))
9671, 93, 95sylanbrc 396 . . . . . . . . . . . 12 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → 𝑠 (2nd𝐶))
9731ad2antrr 460 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → A<P B)
9897, 18syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → A P)
9994ltexprlempr 6439 . . . . . . . . . . . . . 14 (A<P B𝐶 P)
10097, 99syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → 𝐶 P)
101 df-iplp 6316 . . . . . . . . . . . . . 14 +P = (x P, w P ↦ ⟨{z Qf Q v Q (f (1stx) v (1stw) z = (f +Q v))}, {z Qf Q v Q (f (2ndx) v (2ndw) z = (f +Q v))}⟩)
102 addclnq 6228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((f Q v Q) → (f +Q v) Q)
103101, 102genppreclu 6363 . . . . . . . . . . . . 13 ((A P 𝐶 P) → (((z +Q v) (2ndA) 𝑠 (2nd𝐶)) → ((z +Q v) +Q 𝑠) (2nd ‘(A +P 𝐶))))
10498, 100, 103syl2anc 393 . . . . . . . . . . . 12 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → (((z +Q v) (2ndA) 𝑠 (2nd𝐶)) → ((z +Q v) +Q 𝑠) (2nd ‘(A +P 𝐶))))
10583, 96, 104mp2and 411 . . . . . . . . . . 11 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → ((z +Q v) +Q 𝑠) (2nd ‘(A +P 𝐶)))
10676, 105eqeltrrd 2093 . . . . . . . . . 10 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → ((z +Q 𝑠) +Q v) (2nd ‘(A +P 𝐶)))
10762, 106eqeltrrd 2093 . . . . . . . . 9 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → w (2nd ‘(A +P 𝐶)))
10855, 107rexlimddv 2411 . . . . . . . 8 ((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) → w (2nd ‘(A +P 𝐶)))
109108ex 108 . . . . . . 7 (((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) → (u <Q (z +Q v) → w (2nd ‘(A +P 𝐶))))
110109rexlimdvva 2414 . . . . . 6 ((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) → (z (1stA)u (2ndA)u <Q (z +Q v) → w (2nd ‘(A +P 𝐶))))
11124, 110mpd 13 . . . . 5 ((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) → w (2nd ‘(A +P 𝐶)))
11217, 111rexlimddv 2411 . . . 4 (((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) → w (2nd ‘(A +P 𝐶)))
1137, 112rexlimddv 2411 . . 3 ((A<P B w (2ndB)) → w (2nd ‘(A +P 𝐶)))
114113ex 108 . 2 (A<P B → (w (2ndB) → w (2nd ‘(A +P 𝐶))))
115114ssrdv 2924 1 (A<P B → (2ndB) ⊆ (2nd ‘(A +P 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 871   = wceq 1226  wex 1358   wcel 1370  wrex 2281  {crab 2284  wss 2890  cop 3349   class class class wbr 3734  cfv 4825  (class class class)co 5432  1st c1st 5684  2nd c2nd 5685  Qcnq 6134   +Q cplq 6136   <Q cltq 6139  Pcnp 6145   +P cpp 6147  <P cltp 6149
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-coll 3842  ax-sep 3845  ax-nul 3853  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116  ax-setind 4200  ax-iinf 4234
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 731  df-3or 872  df-3an 873  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-ral 2285  df-rex 2286  df-reu 2287  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-int 3586  df-iun 3629  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-tr 3825  df-eprel 3996  df-id 4000  df-po 4003  df-iso 4004  df-iord 4048  df-on 4050  df-suc 4053  df-iom 4237  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-f1 4830  df-fo 4831  df-f1o 4832  df-fv 4833  df-ov 5435  df-oprab 5436  df-mpt2 5437  df-1st 5686  df-2nd 5687  df-recs 5838  df-irdg 5874  df-1o 5912  df-2o 5913  df-oadd 5916  df-omul 5917  df-er 6013  df-ec 6015  df-qs 6019  df-ni 6158  df-pli 6159  df-mi 6160  df-lti 6161  df-plpq 6197  df-mpq 6198  df-enq 6200  df-nqqs 6201  df-plqqs 6202  df-mqqs 6203  df-1nqqs 6204  df-rq 6205  df-ltnqqs 6206  df-enq0 6273  df-nq0 6274  df-0nq0 6275  df-plq0 6276  df-mq0 6277  df-inp 6314  df-iplp 6316  df-iltp 6318
This theorem is referenced by:  ltexpri  6444
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