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Theorem ltexprlemru 6584
Description: Lemma for ltexpri 6585. One direction of our result for upper cuts. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1 𝐶 = ⟨{x Qy(y (2ndA) (y +Q x) (1stB))}, {x Qy(y (1stA) (y +Q x) (2ndB))}⟩
Assertion
Ref Expression
ltexprlemru (A<P B → (2ndB) ⊆ (2nd ‘(A +P 𝐶)))
Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,𝐶,y

Proof of Theorem ltexprlemru
Dummy variables z w u v f g 𝑞 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelpr 6487 . . . . . . . 8 <P ⊆ (P × P)
21brel 4335 . . . . . . 7 (A<P B → (A P B P))
32simprd 107 . . . . . 6 (A<P BB P)
4 prop 6457 . . . . . 6 (B P → ⟨(1stB), (2ndB)⟩ P)
53, 4syl 14 . . . . 5 (A<P B → ⟨(1stB), (2ndB)⟩ P)
6 prnminu 6471 . . . . 5 ((⟨(1stB), (2ndB)⟩ P w (2ndB)) → 𝑡 (2ndB)𝑡 <Q w)
75, 6sylan 267 . . . 4 ((A<P B w (2ndB)) → 𝑡 (2ndB)𝑡 <Q w)
8 simprr 484 . . . . . 6 (((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) → 𝑡 <Q w)
9 elprnqu 6464 . . . . . . . . 9 ((⟨(1stB), (2ndB)⟩ P 𝑡 (2ndB)) → 𝑡 Q)
105, 9sylan 267 . . . . . . . 8 ((A<P B 𝑡 (2ndB)) → 𝑡 Q)
1110ad2ant2r 478 . . . . . . 7 (((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) → 𝑡 Q)
12 elprnqu 6464 . . . . . . . . 9 ((⟨(1stB), (2ndB)⟩ P w (2ndB)) → w Q)
135, 12sylan 267 . . . . . . . 8 ((A<P B w (2ndB)) → w Q)
1413adantr 261 . . . . . . 7 (((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) → w Q)
15 ltexnqq 6391 . . . . . . 7 ((𝑡 Q w Q) → (𝑡 <Q wv Q (𝑡 +Q v) = w))
1611, 14, 15syl2anc 391 . . . . . 6 (((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) → (𝑡 <Q wv Q (𝑡 +Q v) = w))
178, 16mpbid 135 . . . . 5 (((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) → v Q (𝑡 +Q v) = w)
182simpld 105 . . . . . . . . . 10 (A<P BA P)
19 prop 6457 . . . . . . . . . 10 (A P → ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P)
2018, 19syl 14 . . . . . . . . 9 (A<P B → ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P)
21 prarloc 6485 . . . . . . . . 9 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P v Q) → z (1stA)u (2ndA)u <Q (z +Q v))
2220, 21sylan 267 . . . . . . . 8 ((A<P B v Q) → z (1stA)u (2ndA)u <Q (z +Q v))
2322adantlr 446 . . . . . . 7 (((A<P B w (2ndB)) v Q) → z (1stA)u (2ndA)u <Q (z +Q v))
2423ad2ant2r 478 . . . . . 6 ((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) → z (1stA)u (2ndA)u <Q (z +Q v))
25 simplll 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) → A<P B)
2625ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . 12 ((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) → A<P B)
27 ltdfpr 6488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((A P B P) → (A<P B𝑞 Q (𝑞 (2ndA) 𝑞 (1stB))))
2827biimpd 132 . . . . . . . . . . . . 13 ((A P B P) → (A<P B𝑞 Q (𝑞 (2ndA) 𝑞 (1stB))))
292, 28mpcom 32 . . . . . . . . . . . 12 (A<P B𝑞 Q (𝑞 (2ndA) 𝑞 (1stB)))
3026, 29syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) → 𝑞 Q (𝑞 (2ndA) 𝑞 (1stB)))
3125adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) → A<P B)
3231ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑞 Q (𝑞 (2ndA) 𝑞 (1stB)))) → A<P B)
33 simplrl 487 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) → z (1stA))
3433adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑞 Q (𝑞 (2ndA) 𝑞 (1stB)))) → z (1stA))
35 simprrl 491 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑞 Q (𝑞 (2ndA) 𝑞 (1stB)))) → 𝑞 (2ndA))
36 prltlu 6469 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P z (1stA) 𝑞 (2ndA)) → z <Q 𝑞)
3720, 36syl3an1 1167 . . . . . . . . . . . . 13 ((A<P B z (1stA) 𝑞 (2ndA)) → z <Q 𝑞)
3832, 34, 35, 37syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . 12 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑞 Q (𝑞 (2ndA) 𝑞 (1stB)))) → z <Q 𝑞)
39 simprrr 492 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑞 Q (𝑞 (2ndA) 𝑞 (1stB)))) → 𝑞 (1stB))
40 simplrl 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) → 𝑡 (2ndB))
4140adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) → 𝑡 (2ndB))
4241ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑞 Q (𝑞 (2ndA) 𝑞 (1stB)))) → 𝑡 (2ndB))
43 prltlu 6469 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⟨(1stB), (2ndB)⟩ P 𝑞 (1stB) 𝑡 (2ndB)) → 𝑞 <Q 𝑡)
445, 43syl3an1 1167 . . . . . . . . . . . . 13 ((A<P B 𝑞 (1stB) 𝑡 (2ndB)) → 𝑞 <Q 𝑡)
4532, 39, 42, 44syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . 12 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑞 Q (𝑞 (2ndA) 𝑞 (1stB)))) → 𝑞 <Q 𝑡)
46 ltsonq 6382 . . . . . . . . . . . . 13 <Q Or Q
47 ltrelnq 6349 . . . . . . . . . . . . 13 <Q ⊆ (Q × Q)
4846, 47sotri 4663 . . . . . . . . . . . 12 ((z <Q 𝑞 𝑞 <Q 𝑡) → z <Q 𝑡)
4938, 45, 48syl2anc 391 . . . . . . . . . . 11 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑞 Q (𝑞 (2ndA) 𝑞 (1stB)))) → z <Q 𝑡)
5030, 49rexlimddv 2431 . . . . . . . . . 10 ((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) → z <Q 𝑡)
51 ltexnqi 6392 . . . . . . . . . 10 (z <Q 𝑡𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)
5250, 51syl 14 . . . . . . . . 9 ((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) → 𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)
53 simplrr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) → (𝑡 +Q v) = w)
5453ad2antrr 457 . . . . . . . . . . 11 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → (𝑡 +Q v) = w)
55 simprr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → (z +Q 𝑠) = 𝑡)
56 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . . 13 ((z +Q 𝑠) = 𝑡 → ((z +Q 𝑠) +Q v) = (𝑡 +Q v))
5756eqeq1d 2045 . . . . . . . . . . . 12 ((z +Q 𝑠) = 𝑡 → (((z +Q 𝑠) +Q v) = w ↔ (𝑡 +Q v) = w))
5855, 57syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → (((z +Q 𝑠) +Q v) = w ↔ (𝑡 +Q v) = w))
5954, 58mpbird 156 . . . . . . . . . 10 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → ((z +Q 𝑠) +Q v) = w)
60 elprnql 6463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P z (1stA)) → z Q)
6120, 60sylan 267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((A<P B z (1stA)) → z Q)
6261adantlr 446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((A<P B w (2ndB)) z (1stA)) → z Q)
6362ad2ant2r 478 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (z (1stA) u (2ndA))) → z Q)
6463adantlr 446 . . . . . . . . . . . . 13 (((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) → z Q)
6564ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . 12 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → z Q)
66 simplrl 487 . . . . . . . . . . . . 13 (((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) → v Q)
6766ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . 12 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → v Q)
68 simprl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → 𝑠 Q)
69 addcomnqg 6365 . . . . . . . . . . . . 13 ((f Q g Q) → (f +Q g) = (g +Q f))
7069adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) (f Q g Q)) → (f +Q g) = (g +Q f))
71 addassnqg 6366 . . . . . . . . . . . . 13 ((f Q g Q Q) → ((f +Q g) +Q ) = (f +Q (g +Q )))
7271adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) (f Q g Q Q)) → ((f +Q g) +Q ) = (f +Q (g +Q )))
7365, 67, 68, 70, 72caov32d 5623 . . . . . . . . . . 11 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → ((z +Q v) +Q 𝑠) = ((z +Q 𝑠) +Q v))
74 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) → u <Q (z +Q v))
75 simplrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) → u (2ndA))
76 prcunqu 6467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P u (2ndA)) → (u <Q (z +Q v) → (z +Q v) (2ndA)))
7720, 76sylan 267 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((A<P B u (2ndA)) → (u <Q (z +Q v) → (z +Q v) (2ndA)))
7826, 75, 77syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) → (u <Q (z +Q v) → (z +Q v) (2ndA)))
7974, 78mpd 13 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) → (z +Q v) (2ndA))
8079adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → (z +Q v) (2ndA))
8133adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → z (1stA))
8241ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → 𝑡 (2ndB))
8355, 82eqeltrd 2111 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → (z +Q 𝑠) (2ndB))
84 eleq1 2097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (y = z → (y (1stA) ↔ z (1stA)))
85 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (y = z → (y +Q 𝑠) = (z +Q 𝑠))
8685eleq1d 2103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (y = z → ((y +Q 𝑠) (2ndB) ↔ (z +Q 𝑠) (2ndB)))
8784, 86anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (y = z → ((y (1stA) (y +Q 𝑠) (2ndB)) ↔ (z (1stA) (z +Q 𝑠) (2ndB))))
8887spcegv 2635 . . . . . . . . . . . . . . 15 (z (1stA) → ((z (1stA) (z +Q 𝑠) (2ndB)) → y(y (1stA) (y +Q 𝑠) (2ndB))))
8988anabsi5 513 . . . . . . . . . . . . . 14 ((z (1stA) (z +Q 𝑠) (2ndB)) → y(y (1stA) (y +Q 𝑠) (2ndB)))
9081, 83, 89syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → y(y (1stA) (y +Q 𝑠) (2ndB)))
91 ltexprlem.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐶 = ⟨{x Qy(y (2ndA) (y +Q x) (1stB))}, {x Qy(y (1stA) (y +Q x) (2ndB))}⟩
9291ltexprlemelu 6571 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 (2nd𝐶) ↔ (𝑠 Q y(y (1stA) (y +Q 𝑠) (2ndB))))
9368, 90, 92sylanbrc 394 . . . . . . . . . . . 12 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → 𝑠 (2nd𝐶))
9431ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → A<P B)
9594, 18syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → A P)
9691ltexprlempr 6580 . . . . . . . . . . . . . 14 (A<P B𝐶 P)
9794, 96syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → 𝐶 P)
98 df-iplp 6450 . . . . . . . . . . . . . 14 +P = (x P, w P ↦ ⟨{z Qf Q v Q (f (1stx) v (1stw) z = (f +Q v))}, {z Qf Q v Q (f (2ndx) v (2ndw) z = (f +Q v))}⟩)
99 addclnq 6359 . . . . . . . . . . . . . 14 ((f Q v Q) → (f +Q v) Q)
10098, 99genppreclu 6497 . . . . . . . . . . . . 13 ((A P 𝐶 P) → (((z +Q v) (2ndA) 𝑠 (2nd𝐶)) → ((z +Q v) +Q 𝑠) (2nd ‘(A +P 𝐶))))
10195, 97, 100syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → (((z +Q v) (2ndA) 𝑠 (2nd𝐶)) → ((z +Q v) +Q 𝑠) (2nd ‘(A +P 𝐶))))
10280, 93, 101mp2and 409 . . . . . . . . . . 11 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → ((z +Q v) +Q 𝑠) (2nd ‘(A +P 𝐶)))
10373, 102eqeltrrd 2112 . . . . . . . . . 10 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → ((z +Q 𝑠) +Q v) (2nd ‘(A +P 𝐶)))
10459, 103eqeltrrd 2112 . . . . . . . . 9 (((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) (𝑠 Q (z +Q 𝑠) = 𝑡)) → w (2nd ‘(A +P 𝐶)))
10552, 104rexlimddv 2431 . . . . . . . 8 ((((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) u <Q (z +Q v)) → w (2nd ‘(A +P 𝐶)))
106105ex 108 . . . . . . 7 (((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) (z (1stA) u (2ndA))) → (u <Q (z +Q v) → w (2nd ‘(A +P 𝐶))))
107106rexlimdvva 2434 . . . . . 6 ((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) → (z (1stA)u (2ndA)u <Q (z +Q v) → w (2nd ‘(A +P 𝐶))))
10824, 107mpd 13 . . . . 5 ((((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) (v Q (𝑡 +Q v) = w)) → w (2nd ‘(A +P 𝐶)))
10917, 108rexlimddv 2431 . . . 4 (((A<P B w (2ndB)) (𝑡 (2ndB) 𝑡 <Q w)) → w (2nd ‘(A +P 𝐶)))
1107, 109rexlimddv 2431 . . 3 ((A<P B w (2ndB)) → w (2nd ‘(A +P 𝐶)))
111110ex 108 . 2 (A<P B → (w (2ndB) → w (2nd ‘(A +P 𝐶))))
112111ssrdv 2945 1 (A<P B → (2ndB) ⊆ (2nd ‘(A +P 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  wrex 2301  {crab 2304  wss 2911  cop 3370   class class class wbr 3755  cfv 4845  (class class class)co 5455  1st c1st 5707  2nd c2nd 5708  Qcnq 6264   +Q cplq 6266   <Q cltq 6269  Pcnp 6275   +P cpp 6277  <P cltp 6279
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-iplp 6450  df-iltp 6452
This theorem is referenced by:  ltexpri  6585
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