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Theorem cauappcvgprlemdisj 6622
 Description: Lemma for cauappcvgpr 6633. The putative limit is disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f (φ𝐹:QQ)
cauappcvgpr.app (φ𝑝 Q 𝑞 Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd (φ𝑝 Q A <Q (𝐹𝑝))
cauappcvgpr.lim 𝐿 = ⟨{𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {u Q𝑞 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q u}⟩
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemdisj (φ𝑠 Q ¬ (𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿)))
Distinct variable groups:   A,𝑝   𝐿,𝑝,𝑞   φ,𝑝,𝑞   𝐿,𝑠   A,𝑠,𝑝   𝐹,𝑙,u,𝑝,𝑞,𝑠   φ,𝑠
Allowed substitution hints:   φ(u,𝑙)   A(u,𝑞,𝑙)   𝐿(u,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemdisj
Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cauappcvgpr.app . . . . . . 7 (φ𝑝 Q 𝑞 Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
2 simpl 102 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → (𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))
32ralimi 2378 . . . . . . . 8 (𝑞 Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → 𝑞 Q (𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))
43ralimi 2378 . . . . . . 7 (𝑝 Q 𝑞 Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → 𝑝 Q 𝑞 Q (𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))
51, 4syl 14 . . . . . 6 (φ𝑝 Q 𝑞 Q (𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))
65adantr 261 . . . . 5 ((φ (𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿))) → 𝑝 Q 𝑞 Q (𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))
7 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = 𝑠 → (𝑙 +Q 𝑞) = (𝑠 +Q 𝑞))
87breq1d 3765 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑠 → ((𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
98rexbidv 2321 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑠 → (𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ 𝑞 Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
10 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = ⟨{𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {u Q𝑞 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q u}⟩
1110fveq2i 5124 . . . . . . . . . . . 12 (1st𝐿) = (1st ‘⟨{𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {u Q𝑞 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q u}⟩)
12 nqex 6347 . . . . . . . . . . . . . 14 Q V
1312rabex 3892 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)} V
1412rabex 3892 . . . . . . . . . . . . 13 {u Q𝑞 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q u} V
1513, 14op1st 5715 . . . . . . . . . . . 12 (1st ‘⟨{𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {u Q𝑞 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q u}⟩) = {𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}
1611, 15eqtri 2057 . . . . . . . . . . 11 (1st𝐿) = {𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}
179, 16elrab2 2694 . . . . . . . . . 10 (𝑠 (1st𝐿) ↔ (𝑠 Q 𝑞 Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
1817simprbi 260 . . . . . . . . 9 (𝑠 (1st𝐿) → 𝑞 Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))
19 oveq2 5463 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑝 → (𝑠 +Q 𝑞) = (𝑠 +Q 𝑝))
20 fveq2 5121 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑝 → (𝐹𝑞) = (𝐹𝑝))
2119, 20breq12d 3768 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = 𝑝 → ((𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ (𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝)))
2221cbvrexv 2528 . . . . . . . . 9 (𝑞 Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ 𝑝 Q (𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝))
2318, 22sylib 127 . . . . . . . 8 (𝑠 (1st𝐿) → 𝑝 Q (𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝))
24 breq2 3759 . . . . . . . . . . 11 (u = 𝑠 → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q u ↔ ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
2524rexbidv 2321 . . . . . . . . . 10 (u = 𝑠 → (𝑞 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q u𝑞 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
2610fveq2i 5124 . . . . . . . . . . 11 (2nd𝐿) = (2nd ‘⟨{𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {u Q𝑞 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q u}⟩)
2713, 14op2nd 5716 . . . . . . . . . . 11 (2nd ‘⟨{𝑙 Q𝑞 Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {u Q𝑞 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q u}⟩) = {u Q𝑞 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q u}
2826, 27eqtri 2057 . . . . . . . . . 10 (2nd𝐿) = {u Q𝑞 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q u}
2925, 28elrab2 2694 . . . . . . . . 9 (𝑠 (2nd𝐿) ↔ (𝑠 Q 𝑞 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
3029simprbi 260 . . . . . . . 8 (𝑠 (2nd𝐿) → 𝑞 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)
3123, 30anim12i 321 . . . . . . 7 ((𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿)) → (𝑝 Q (𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) 𝑞 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
32 reeanv 2473 . . . . . . 7 (𝑝 Q 𝑞 Q ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠) ↔ (𝑝 Q (𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) 𝑞 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
3331, 32sylibr 137 . . . . . 6 ((𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿)) → 𝑝 Q 𝑞 Q ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
3433adantl 262 . . . . 5 ((φ (𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿))) → 𝑝 Q 𝑞 Q ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
356, 34r19.29d2r 2449 . . . 4 ((φ (𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿))) → 𝑝 Q 𝑞 Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)))
36 simprl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → (𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝))
37 simpl 102 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → (𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))
3836, 37jca 290 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) (𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
3917simplbi 259 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 (1st𝐿) → 𝑠 Q)
4039adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿)) → 𝑠 Q)
4140ad3antlr 462 . . . . . . . . . . . . 13 ((((φ (𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿))) 𝑝 Q) 𝑞 Q) → 𝑠 Q)
42 simplr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((φ (𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿))) 𝑝 Q) 𝑞 Q) → 𝑝 Q)
43 addclnq 6359 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 Q 𝑝 Q) → (𝑠 +Q 𝑝) Q)
4441, 42, 43syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12 ((((φ (𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿))) 𝑝 Q) 𝑞 Q) → (𝑠 +Q 𝑝) Q)
45 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . . . . 14 (φ𝐹:QQ)
4645ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . . . 13 ((((φ (𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿))) 𝑝 Q) 𝑞 Q) → 𝐹:QQ)
4746, 42ffvelrnd 5246 . . . . . . . . . . . 12 ((((φ (𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿))) 𝑝 Q) 𝑞 Q) → (𝐹𝑝) Q)
48 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((φ (𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿))) 𝑝 Q) 𝑞 Q) → 𝑞 Q)
4946, 48ffvelrnd 5246 . . . . . . . . . . . . 13 ((((φ (𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿))) 𝑝 Q) 𝑞 Q) → (𝐹𝑞) Q)
50 addclnq 6359 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 Q 𝑞 Q) → (𝑝 +Q 𝑞) Q)
5142, 48, 50syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . 13 ((((φ (𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿))) 𝑝 Q) 𝑞 Q) → (𝑝 +Q 𝑞) Q)
52 addclnq 6359 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑞) Q (𝑝 +Q 𝑞) Q) → ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) Q)
5349, 51, 52syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12 ((((φ (𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿))) 𝑝 Q) 𝑞 Q) → ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) Q)
54 ltsonq 6382 . . . . . . . . . . . . 13 <Q Or Q
55 sotr 4046 . . . . . . . . . . . . 13 (( <Q Or Q ((𝑠 +Q 𝑝) Q (𝐹𝑝) Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) Q)) → (((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) (𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → (𝑠 +Q 𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
5654, 55mpan 400 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑠 +Q 𝑝) Q (𝐹𝑝) Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) Q) → (((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) (𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → (𝑠 +Q 𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
5744, 47, 53, 56syl3anc 1134 . . . . . . . . . . 11 ((((φ (𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿))) 𝑝 Q) 𝑞 Q) → (((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) (𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → (𝑠 +Q 𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
5838, 57syl5 28 . . . . . . . . . 10 ((((φ (𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿))) 𝑝 Q) 𝑞 Q) → (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → (𝑠 +Q 𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
59 simprr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)
6059a1i 9 . . . . . . . . . 10 ((((φ (𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿))) 𝑝 Q) 𝑞 Q) → (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
6158, 60jcad 291 . . . . . . . . 9 ((((φ (𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿))) 𝑝 Q) 𝑞 Q) → (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ((𝑠 +Q 𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)))
62 addcomnqg 6365 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 Q 𝑝 Q) → (𝑠 +Q 𝑝) = (𝑝 +Q 𝑠))
6341, 42, 62syl2anc 391 . . . . . . . . . . 11 ((((φ (𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿))) 𝑝 Q) 𝑞 Q) → (𝑠 +Q 𝑝) = (𝑝 +Q 𝑠))
64 addcomnqg 6365 . . . . . . . . . . . . 13 ((f Q g Q) → (f +Q g) = (g +Q f))
6564adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 (((((φ (𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿))) 𝑝 Q) 𝑞 Q) (f Q g Q)) → (f +Q g) = (g +Q f))
66 addassnqg 6366 . . . . . . . . . . . . 13 ((f Q g Q Q) → ((f +Q g) +Q ) = (f +Q (g +Q )))
6766adantl 262 . . . . . . . . . . . 12 (((((φ (𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿))) 𝑝 Q) 𝑞 Q) (f Q g Q Q)) → ((f +Q g) +Q ) = (f +Q (g +Q )))
6849, 42, 48, 65, 67caov12d 5624 . . . . . . . . . . 11 ((((φ (𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿))) 𝑝 Q) 𝑞 Q) → ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) = (𝑝 +Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞)))
6963, 68breq12d 3768 . . . . . . . . . 10 ((((φ (𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿))) 𝑝 Q) 𝑞 Q) → ((𝑠 +Q 𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ↔ (𝑝 +Q 𝑠) <Q (𝑝 +Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞))))
7069anbi1d 438 . . . . . . . . 9 ((((φ (𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿))) 𝑝 Q) 𝑞 Q) → (((𝑠 +Q 𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠) ↔ ((𝑝 +Q 𝑠) <Q (𝑝 +Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞)) ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)))
7161, 70sylibd 138 . . . . . . . 8 ((((φ (𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿))) 𝑝 Q) 𝑞 Q) → (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ((𝑝 +Q 𝑠) <Q (𝑝 +Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞)) ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)))
72 addclnq 6359 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑞) Q 𝑞 Q) → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) Q)
7349, 48, 72syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 ((((φ (𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿))) 𝑝 Q) 𝑞 Q) → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) Q)
74 ltanqg 6384 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) Q 𝑝 Q) → (𝑠 <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ↔ (𝑝 +Q 𝑠) <Q (𝑝 +Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞))))
7541, 73, 42, 74syl3anc 1134 . . . . . . . . 9 ((((φ (𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿))) 𝑝 Q) 𝑞 Q) → (𝑠 <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ↔ (𝑝 +Q 𝑠) <Q (𝑝 +Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞))))
7675anbi1d 438 . . . . . . . 8 ((((φ (𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿))) 𝑝 Q) 𝑞 Q) → ((𝑠 <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠) ↔ ((𝑝 +Q 𝑠) <Q (𝑝 +Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞)) ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)))
7771, 76sylibrd 158 . . . . . . 7 ((((φ (𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿))) 𝑝 Q) 𝑞 Q) → (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → (𝑠 <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)))
78 so2nr 4049 . . . . . . . . . 10 (( <Q Or Q (𝑠 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) Q)) → ¬ (𝑠 <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
7954, 78mpan 400 . . . . . . . . 9 ((𝑠 Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) Q) → ¬ (𝑠 <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
8041, 73, 79syl2anc 391 . . . . . . . 8 ((((φ (𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿))) 𝑝 Q) 𝑞 Q) → ¬ (𝑠 <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠))
8180pm2.21d 549 . . . . . . 7 ((((φ (𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿))) 𝑝 Q) 𝑞 Q) → ((𝑠 <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠) → ⊥ ))
8277, 81syld 40 . . . . . 6 ((((φ (𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿))) 𝑝 Q) 𝑞 Q) → (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ⊥ ))
8382rexlimdva 2427 . . . . 5 (((φ (𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿))) 𝑝 Q) → (𝑞 Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ⊥ ))
8483rexlimdva 2427 . . . 4 ((φ (𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿))) → (𝑝 Q 𝑞 Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ((𝑠 +Q 𝑝) <Q (𝐹𝑝) ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑠)) → ⊥ ))
8535, 84mpd 13 . . 3 ((φ (𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿))) → ⊥ )
8685inegd 1262 . 2 (φ → ¬ (𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿)))
8786ralrimivw 2387 1 (φ𝑠 Q ¬ (𝑠 (1st𝐿) 𝑠 (2nd𝐿)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ⊥ wfal 1247   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300  ∃wrex 2301  {crab 2304  ⟨cop 3370   class class class wbr 3755   Or wor 4023  ⟶wf 4841  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  1st c1st 5707  2nd c2nd 5708  Qcnq 6264   +Q cplq 6266
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