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Theorem aptiprlemu 6610
Description: Lemma for aptipr 6611. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
aptiprlemu ((A P B P ¬ B<P A) → (2ndB) ⊆ (2ndA))

Proof of Theorem aptiprlemu
Dummy variables f g 𝑠 𝑡 u x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prop 6457 . . . . . 6 (B P → ⟨(1stB), (2ndB)⟩ P)
2 prnminu 6471 . . . . . 6 ((⟨(1stB), (2ndB)⟩ P x (2ndB)) → 𝑠 (2ndB)𝑠 <Q x)
31, 2sylan 267 . . . . 5 ((B P x (2ndB)) → 𝑠 (2ndB)𝑠 <Q x)
433ad2antl2 1066 . . . 4 (((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) → 𝑠 (2ndB)𝑠 <Q x)
5 simprr 484 . . . . . 6 ((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) → 𝑠 <Q x)
6 ltexnqi 6392 . . . . . 6 (𝑠 <Q x𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)
75, 6syl 14 . . . . 5 ((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) → 𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)
8 simpl1 906 . . . . . . . 8 (((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) → A P)
98ad2antrr 457 . . . . . . 7 (((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) → A P)
10 simprl 483 . . . . . . 7 (((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) → 𝑡 Q)
11 prop 6457 . . . . . . . 8 (A P → ⟨(1stA), (2ndA)⟩ P)
12 prarloc2 6486 . . . . . . . 8 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P 𝑡 Q) → u (1stA)(u +Q 𝑡) (2ndA))
1311, 12sylan 267 . . . . . . 7 ((A P 𝑡 Q) → u (1stA)(u +Q 𝑡) (2ndA))
149, 10, 13syl2anc 391 . . . . . 6 (((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) → u (1stA)(u +Q 𝑡) (2ndA))
15 simpl2 907 . . . . . . . . . 10 (((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) → B P)
1615ad3antrrr 461 . . . . . . . . 9 ((((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) (u (1stA) (u +Q 𝑡) (2ndA))) → B P)
17 simpr 103 . . . . . . . . . 10 (((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) → x (2ndB))
1817ad3antrrr 461 . . . . . . . . 9 ((((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) (u (1stA) (u +Q 𝑡) (2ndA))) → x (2ndB))
19 elprnqu 6464 . . . . . . . . . 10 ((⟨(1stB), (2ndB)⟩ P x (2ndB)) → x Q)
201, 19sylan 267 . . . . . . . . 9 ((B P x (2ndB)) → x Q)
2116, 18, 20syl2anc 391 . . . . . . . 8 ((((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) (u (1stA) (u +Q 𝑡) (2ndA))) → x Q)
228ad3antrrr 461 . . . . . . . . . 10 ((((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) (u (1stA) (u +Q 𝑡) (2ndA))) → A P)
23 simprl 483 . . . . . . . . . 10 ((((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) (u (1stA) (u +Q 𝑡) (2ndA))) → u (1stA))
24 elprnql 6463 . . . . . . . . . . 11 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P u (1stA)) → u Q)
2511, 24sylan 267 . . . . . . . . . 10 ((A P u (1stA)) → u Q)
2622, 23, 25syl2anc 391 . . . . . . . . 9 ((((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) (u (1stA) (u +Q 𝑡) (2ndA))) → u Q)
2710adantr 261 . . . . . . . . 9 ((((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) (u (1stA) (u +Q 𝑡) (2ndA))) → 𝑡 Q)
28 addclnq 6359 . . . . . . . . 9 ((u Q 𝑡 Q) → (u +Q 𝑡) Q)
2926, 27, 28syl2anc 391 . . . . . . . 8 ((((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) (u (1stA) (u +Q 𝑡) (2ndA))) → (u +Q 𝑡) Q)
30 nqtri3or 6380 . . . . . . . 8 ((x Q (u +Q 𝑡) Q) → (x <Q (u +Q 𝑡) x = (u +Q 𝑡) (u +Q 𝑡) <Q x))
3121, 29, 30syl2anc 391 . . . . . . 7 ((((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) (u (1stA) (u +Q 𝑡) (2ndA))) → (x <Q (u +Q 𝑡) x = (u +Q 𝑡) (u +Q 𝑡) <Q x))
3215adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) → B P)
33 simprl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) → 𝑠 (2ndB))
34 elprnqu 6464 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⟨(1stB), (2ndB)⟩ P 𝑠 (2ndB)) → 𝑠 Q)
351, 34sylan 267 . . . . . . . . . . . . . 14 ((B P 𝑠 (2ndB)) → 𝑠 Q)
3632, 33, 35syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . 13 ((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) → 𝑠 Q)
3736ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . . 12 (((((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) (u (1stA) (u +Q 𝑡) (2ndA))) x <Q (u +Q 𝑡)) → 𝑠 Q)
3833ad3antrrr 461 . . . . . . . . . . . 12 (((((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) (u (1stA) (u +Q 𝑡) (2ndA))) x <Q (u +Q 𝑡)) → 𝑠 (2ndB))
39 simplrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) (u (1stA) (u +Q 𝑡) (2ndA))) → (𝑠 +Q 𝑡) = x)
40 breq1 3758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 +Q 𝑡) = x → ((𝑠 +Q 𝑡) <Q (u +Q 𝑡) ↔ x <Q (u +Q 𝑡)))
4140biimprd 147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠 +Q 𝑡) = x → (x <Q (u +Q 𝑡) → (𝑠 +Q 𝑡) <Q (u +Q 𝑡)))
4239, 41syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) (u (1stA) (u +Q 𝑡) (2ndA))) → (x <Q (u +Q 𝑡) → (𝑠 +Q 𝑡) <Q (u +Q 𝑡)))
4342imp 115 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) (u (1stA) (u +Q 𝑡) (2ndA))) x <Q (u +Q 𝑡)) → (𝑠 +Q 𝑡) <Q (u +Q 𝑡))
44 ltanqg 6384 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((f Q g Q Q) → (f <Q g ↔ ( +Q f) <Q ( +Q g)))
4544adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) (u (1stA) (u +Q 𝑡) (2ndA))) x <Q (u +Q 𝑡)) (f Q g Q Q)) → (f <Q g ↔ ( +Q f) <Q ( +Q g)))
4626adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) (u (1stA) (u +Q 𝑡) (2ndA))) x <Q (u +Q 𝑡)) → u Q)
4727adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) (u (1stA) (u +Q 𝑡) (2ndA))) x <Q (u +Q 𝑡)) → 𝑡 Q)
48 addcomnqg 6365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((f Q g Q) → (f +Q g) = (g +Q f))
4948adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) (u (1stA) (u +Q 𝑡) (2ndA))) x <Q (u +Q 𝑡)) (f Q g Q)) → (f +Q g) = (g +Q f))
5045, 37, 46, 47, 49caovord2d 5612 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) (u (1stA) (u +Q 𝑡) (2ndA))) x <Q (u +Q 𝑡)) → (𝑠 <Q u ↔ (𝑠 +Q 𝑡) <Q (u +Q 𝑡)))
5143, 50mpbird 156 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) (u (1stA) (u +Q 𝑡) (2ndA))) x <Q (u +Q 𝑡)) → 𝑠 <Q u)
5222adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) (u (1stA) (u +Q 𝑡) (2ndA))) x <Q (u +Q 𝑡)) → A P)
5323adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) (u (1stA) (u +Q 𝑡) (2ndA))) x <Q (u +Q 𝑡)) → u (1stA))
54 prcdnql 6466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P u (1stA)) → (𝑠 <Q u𝑠 (1stA)))
5511, 54sylan 267 . . . . . . . . . . . . . 14 ((A P u (1stA)) → (𝑠 <Q u𝑠 (1stA)))
5652, 53, 55syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) (u (1stA) (u +Q 𝑡) (2ndA))) x <Q (u +Q 𝑡)) → (𝑠 <Q u𝑠 (1stA)))
5751, 56mpd 13 . . . . . . . . . . . 12 (((((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) (u (1stA) (u +Q 𝑡) (2ndA))) x <Q (u +Q 𝑡)) → 𝑠 (1stA))
58 rspe 2364 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 Q (𝑠 (2ndB) 𝑠 (1stA))) → 𝑠 Q (𝑠 (2ndB) 𝑠 (1stA)))
5937, 38, 57, 58syl12anc 1132 . . . . . . . . . . 11 (((((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) (u (1stA) (u +Q 𝑡) (2ndA))) x <Q (u +Q 𝑡)) → 𝑠 Q (𝑠 (2ndB) 𝑠 (1stA)))
6016adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 (((((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) (u (1stA) (u +Q 𝑡) (2ndA))) x <Q (u +Q 𝑡)) → B P)
61 ltdfpr 6488 . . . . . . . . . . . 12 ((B P A P) → (B<P A𝑠 Q (𝑠 (2ndB) 𝑠 (1stA))))
6260, 52, 61syl2anc 391 . . . . . . . . . . 11 (((((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) (u (1stA) (u +Q 𝑡) (2ndA))) x <Q (u +Q 𝑡)) → (B<P A𝑠 Q (𝑠 (2ndB) 𝑠 (1stA))))
6359, 62mpbird 156 . . . . . . . . . 10 (((((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) (u (1stA) (u +Q 𝑡) (2ndA))) x <Q (u +Q 𝑡)) → B<P A)
64 simpll3 944 . . . . . . . . . . 11 ((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) → ¬ B<P A)
6564ad3antrrr 461 . . . . . . . . . 10 (((((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) (u (1stA) (u +Q 𝑡) (2ndA))) x <Q (u +Q 𝑡)) → ¬ B<P A)
6663, 65pm2.21dd 550 . . . . . . . . 9 (((((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) (u (1stA) (u +Q 𝑡) (2ndA))) x <Q (u +Q 𝑡)) → x (2ndA))
6766ex 108 . . . . . . . 8 ((((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) (u (1stA) (u +Q 𝑡) (2ndA))) → (x <Q (u +Q 𝑡) → x (2ndA)))
68 simprr 484 . . . . . . . . 9 ((((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) (u (1stA) (u +Q 𝑡) (2ndA))) → (u +Q 𝑡) (2ndA))
69 eleq1 2097 . . . . . . . . 9 (x = (u +Q 𝑡) → (x (2ndA) ↔ (u +Q 𝑡) (2ndA)))
7068, 69syl5ibrcom 146 . . . . . . . 8 ((((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) (u (1stA) (u +Q 𝑡) (2ndA))) → (x = (u +Q 𝑡) → x (2ndA)))
71 prcunqu 6467 . . . . . . . . . 10 ((⟨(1stA), (2ndA)⟩ P (u +Q 𝑡) (2ndA)) → ((u +Q 𝑡) <Q xx (2ndA)))
7211, 71sylan 267 . . . . . . . . 9 ((A P (u +Q 𝑡) (2ndA)) → ((u +Q 𝑡) <Q xx (2ndA)))
7322, 68, 72syl2anc 391 . . . . . . . 8 ((((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) (u (1stA) (u +Q 𝑡) (2ndA))) → ((u +Q 𝑡) <Q xx (2ndA)))
7467, 70, 733jaod 1198 . . . . . . 7 ((((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) (u (1stA) (u +Q 𝑡) (2ndA))) → ((x <Q (u +Q 𝑡) x = (u +Q 𝑡) (u +Q 𝑡) <Q x) → x (2ndA)))
7531, 74mpd 13 . . . . . 6 ((((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) (u (1stA) (u +Q 𝑡) (2ndA))) → x (2ndA))
7614, 75rexlimddv 2431 . . . . 5 (((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) (𝑡 Q (𝑠 +Q 𝑡) = x)) → x (2ndA))
777, 76rexlimddv 2431 . . . 4 ((((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) (𝑠 (2ndB) 𝑠 <Q x)) → x (2ndA))
784, 77rexlimddv 2431 . . 3 (((A P B P ¬ B<P A) x (2ndB)) → x (2ndA))
7978ex 108 . 2 ((A P B P ¬ B<P A) → (x (2ndB) → x (2ndA)))
8079ssrdv 2945 1 ((A P B P ¬ B<P A) → (2ndB) ⊆ (2ndA))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   w3o 883   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301  wss 2911  cop 3370   class class class wbr 3755  cfv 4845  (class class class)co 5455  1st c1st 5707  2nd c2nd 5708  Qcnq 6264   +Q cplq 6266   <Q cltq 6269  Pcnp 6275  <P cltp 6279
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-iltp 6452
This theorem is referenced by:  aptipr  6611
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