ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltanqg Unicode version

Theorem ltanqg 6498
Description: Ordering property of addition for positive fractions. Proposition 9-2.6(ii) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltanqg  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  ( C  +Q  A )  <Q  ( C  +Q  B ) ) )

Proof of Theorem ltanqg
Dummy variables  x  y  z  w  v  u  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6446 . 2  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
2 breq1 3767 . . 3  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~Q  =  A  -> 
( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  A  <Q  [
<. z ,  w >. ]  ~Q  ) )
3 oveq2 5520 . . . 4  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~Q  =  A  -> 
( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  [
<. x ,  y >. ]  ~Q  )  =  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  A
) )
43breq1d 3774 . . 3  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~Q  =  A  -> 
( ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  <Q 
( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  [
<. z ,  w >. ]  ~Q  )  <->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  A ) 
<Q  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  [
<. z ,  w >. ]  ~Q  ) ) )
52, 4bibi12d 224 . 2  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~Q  =  A  -> 
( ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  [ <. x ,  y >. ]  ~Q  )  <Q  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )  <-> 
( A  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  A
)  <Q  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) ) ) )
6 breq2 3768 . . 3  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  B  -> 
( A  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  A 
<Q  B ) )
7 oveq2 5520 . . . 4  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  B  -> 
( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  [
<. z ,  w >. ]  ~Q  )  =  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  B
) )
87breq2d 3776 . . 3  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  B  -> 
( ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  A )  <Q  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  <->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  A ) 
<Q  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  B ) ) )
96, 8bibi12d 224 . 2  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  B  -> 
( ( A  <Q  [
<. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  A )  <Q  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )  <->  ( A  <Q  B  <->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  A )  <Q  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  B
) ) ) )
10 oveq1 5519 . . . 4  |-  ( [
<. v ,  u >. ]  ~Q  =  C  -> 
( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  A )  =  ( C  +Q  A ) )
11 oveq1 5519 . . . 4  |-  ( [
<. v ,  u >. ]  ~Q  =  C  -> 
( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  B )  =  ( C  +Q  B ) )
1210, 11breq12d 3777 . . 3  |-  ( [
<. v ,  u >. ]  ~Q  =  C  -> 
( ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  A )  <Q  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  B
)  <->  ( C  +Q  A )  <Q  ( C  +Q  B ) ) )
1312bibi2d 221 . 2  |-  ( [
<. v ,  u >. ]  ~Q  =  C  -> 
( ( A  <Q  B  <-> 
( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  A )  <Q  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  B
) )  <->  ( A  <Q  B  <->  ( C  +Q  A )  <Q  ( C  +Q  B ) ) ) )
14 addclpi 6425 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N. )  ->  ( f  +N  g
)  e.  N. )
1514adantl 262 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N. ) )  -> 
( f  +N  g
)  e.  N. )
16 simp3l 932 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  v  e.  N. )
17 simp1r 929 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  y  e.  N. )
18 mulclpi 6426 . . . . . 6  |-  ( ( v  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( v  .N  y
)  e.  N. )
1916, 17, 18syl2anc 391 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( v  .N  y )  e.  N. )
20 simp3r 933 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  u  e.  N. )
21 simp1l 928 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  x  e.  N. )
22 mulclpi 6426 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  N.  /\  x  e.  N. )  ->  ( u  .N  x
)  e.  N. )
2320, 21, 22syl2anc 391 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( u  .N  x )  e.  N. )
2415, 19, 23caovcld 5654 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
v  .N  y )  +N  ( u  .N  x ) )  e. 
N. )
25 mulclpi 6426 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( u  .N  y
)  e.  N. )
2620, 17, 25syl2anc 391 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( u  .N  y )  e.  N. )
27 mulclpi 6426 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N. )  ->  ( f  .N  g
)  e.  N. )
2827adantl 262 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N. ) )  -> 
( f  .N  g
)  e.  N. )
29 simp2r 931 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  w  e.  N. )
3028, 16, 29caovcld 5654 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( v  .N  w )  e.  N. )
31 simp2l 930 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  z  e.  N. )
32 mulclpi 6426 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  ( u  .N  z
)  e.  N. )
3320, 31, 32syl2anc 391 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( u  .N  z )  e.  N. )
3415, 30, 33caovcld 5654 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
v  .N  w )  +N  ( u  .N  z ) )  e. 
N. )
35 mulclpi 6426 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( u  .N  w
)  e.  N. )
3620, 29, 35syl2anc 391 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( u  .N  w )  e.  N. )
37 ordpipqqs 6472 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( v  .N  y )  +N  ( u  .N  x
) )  e.  N.  /\  ( u  .N  y
)  e.  N. )  /\  ( ( ( v  .N  w )  +N  ( u  .N  z
) )  e.  N.  /\  ( u  .N  w
)  e.  N. )
)  ->  ( [ <. ( ( v  .N  y )  +N  (
u  .N  x ) ) ,  ( u  .N  y ) >. ]  ~Q  <Q  [ <. (
( v  .N  w
)  +N  ( u  .N  z ) ) ,  ( u  .N  w ) >. ]  ~Q  <->  ( ( ( v  .N  y )  +N  (
u  .N  x ) )  .N  ( u  .N  w ) ) 
<N  ( ( u  .N  y )  .N  (
( v  .N  w
)  +N  ( u  .N  z ) ) ) ) )
3824, 26, 34, 36, 37syl22anc 1136 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. ( ( v  .N  y )  +N  (
u  .N  x ) ) ,  ( u  .N  y ) >. ]  ~Q  <Q  [ <. (
( v  .N  w
)  +N  ( u  .N  z ) ) ,  ( u  .N  w ) >. ]  ~Q  <->  ( ( ( v  .N  y )  +N  (
u  .N  x ) )  .N  ( u  .N  w ) ) 
<N  ( ( u  .N  y )  .N  (
( v  .N  w
)  +N  ( u  .N  z ) ) ) ) )
39 simp3 906 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( v  e.  N.  /\  u  e. 
N. ) )
40 simp1 904 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( x  e.  N.  /\  y  e. 
N. ) )
41 addpipqqs 6468 . . . . 5  |-  ( ( ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )
)  ->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  [ <. x ,  y >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( v  .N  y
)  +N  ( u  .N  x ) ) ,  ( u  .N  y ) >. ]  ~Q  )
4239, 40, 41syl2anc 391 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  [ <. x ,  y >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( v  .N  y
)  +N  ( u  .N  x ) ) ,  ( u  .N  y ) >. ]  ~Q  )
43 simp2 905 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( z  e.  N.  /\  w  e. 
N. ) )
44 addpipqqs 6468 . . . . 5  |-  ( ( ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( v  .N  w
)  +N  ( u  .N  z ) ) ,  ( u  .N  w ) >. ]  ~Q  )
4539, 43, 44syl2anc 391 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( v  .N  w
)  +N  ( u  .N  z ) ) ,  ( u  .N  w ) >. ]  ~Q  )
4642, 45breq12d 3777 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  [ <. x ,  y >. ]  ~Q  )  <Q  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  <->  [ <. (
( v  .N  y
)  +N  ( u  .N  x ) ) ,  ( u  .N  y ) >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( v  .N  w )  +N  ( u  .N  z
) ) ,  ( u  .N  w )
>. ]  ~Q  ) )
47 ordpipqqs 6472 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( x  .N  w )  <N  (
y  .N  z ) ) )
48473adant3 924 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( x  .N  w )  <N  (
y  .N  z ) ) )
49 mulclpi 6426 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( x  .N  w
)  e.  N. )
5021, 29, 49syl2anc 391 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( x  .N  w )  e.  N. )
51 mulclpi 6426 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  ( y  .N  z
)  e.  N. )
5217, 31, 51syl2anc 391 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( y  .N  z )  e.  N. )
53 mulclpi 6426 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( u  .N  u
)  e.  N. )
5420, 20, 53syl2anc 391 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( u  .N  u )  e.  N. )
55 ltmpig 6437 . . . . 5  |-  ( ( ( x  .N  w
)  e.  N.  /\  ( y  .N  z
)  e.  N.  /\  ( u  .N  u
)  e.  N. )  ->  ( ( x  .N  w )  <N  (
y  .N  z )  <-> 
( ( u  .N  u )  .N  (
x  .N  w ) )  <N  ( (
u  .N  u )  .N  ( y  .N  z ) ) ) )
5650, 52, 54, 55syl3anc 1135 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  w ) 
<N  ( y  .N  z
)  <->  ( ( u  .N  u )  .N  ( x  .N  w
) )  <N  (
( u  .N  u
)  .N  ( y  .N  z ) ) ) )
57 mulclpi 6426 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  .N  x
)  e.  N.  /\  ( u  .N  w
)  e.  N. )  ->  ( ( u  .N  x )  .N  (
u  .N  w ) )  e.  N. )
5823, 36, 57syl2anc 391 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
u  .N  x )  .N  ( u  .N  w ) )  e. 
N. )
59 mulclpi 6426 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  .N  y
)  e.  N.  /\  ( u  .N  z
)  e.  N. )  ->  ( ( u  .N  y )  .N  (
u  .N  z ) )  e.  N. )
6026, 33, 59syl2anc 391 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
u  .N  y )  .N  ( u  .N  z ) )  e. 
N. )
61 mulclpi 6426 . . . . . . 7  |-  ( ( ( v  .N  y
)  e.  N.  /\  ( u  .N  w
)  e.  N. )  ->  ( ( v  .N  y )  .N  (
u  .N  w ) )  e.  N. )
6219, 36, 61syl2anc 391 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
v  .N  y )  .N  ( u  .N  w ) )  e. 
N. )
63 ltapig 6436 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( u  .N  x )  .N  (
u  .N  w ) )  e.  N.  /\  ( ( u  .N  y )  .N  (
u  .N  z ) )  e.  N.  /\  ( ( v  .N  y )  .N  (
u  .N  w ) )  e.  N. )  ->  ( ( ( u  .N  x )  .N  ( u  .N  w
) )  <N  (
( u  .N  y
)  .N  ( u  .N  z ) )  <-> 
( ( ( v  .N  y )  .N  ( u  .N  w
) )  +N  (
( u  .N  x
)  .N  ( u  .N  w ) ) )  <N  ( (
( v  .N  y
)  .N  ( u  .N  w ) )  +N  ( ( u  .N  y )  .N  ( u  .N  z
) ) ) ) )
6458, 60, 62, 63syl3anc 1135 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
( u  .N  x
)  .N  ( u  .N  w ) ) 
<N  ( ( u  .N  y )  .N  (
u  .N  z ) )  <->  ( ( ( v  .N  y )  .N  ( u  .N  w ) )  +N  ( ( u  .N  x )  .N  (
u  .N  w ) ) )  <N  (
( ( v  .N  y )  .N  (
u  .N  w ) )  +N  ( ( u  .N  y )  .N  ( u  .N  z ) ) ) ) )
65 mulcompig 6429 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N. )  ->  ( f  .N  g
)  =  ( g  .N  f ) )
6665adantl 262 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N. ) )  -> 
( f  .N  g
)  =  ( g  .N  f ) )
67 mulasspig 6430 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N.  /\  h  e.  N. )  ->  (
( f  .N  g
)  .N  h )  =  ( f  .N  ( g  .N  h
) ) )
6867adantl 262 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N.  /\  h  e.  N. ) )  ->  (
( f  .N  g
)  .N  h )  =  ( f  .N  ( g  .N  h
) ) )
6920, 20, 21, 66, 68, 29, 28caov4d 5685 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
u  .N  u )  .N  ( x  .N  w ) )  =  ( ( u  .N  x )  .N  (
u  .N  w ) ) )
7020, 20, 17, 66, 68, 31, 28caov4d 5685 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
u  .N  u )  .N  ( y  .N  z ) )  =  ( ( u  .N  y )  .N  (
u  .N  z ) ) )
7169, 70breq12d 3777 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
( u  .N  u
)  .N  ( x  .N  w ) ) 
<N  ( ( u  .N  u )  .N  (
y  .N  z ) )  <->  ( ( u  .N  x )  .N  ( u  .N  w
) )  <N  (
( u  .N  y
)  .N  ( u  .N  z ) ) ) )
72 distrpig 6431 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N.  /\  h  e.  N. )  ->  (
f  .N  ( g  +N  h ) )  =  ( ( f  .N  g )  +N  ( f  .N  h
) ) )
7372adantl 262 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e. 
N.  /\  h  e.  N. ) )  ->  (
f  .N  ( g  +N  h ) )  =  ( ( f  .N  g )  +N  ( f  .N  h
) ) )
7473, 19, 23, 36, 15, 66caovdir2d 5677 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
( v  .N  y
)  +N  ( u  .N  x ) )  .N  ( u  .N  w ) )  =  ( ( ( v  .N  y )  .N  ( u  .N  w
) )  +N  (
( u  .N  x
)  .N  ( u  .N  w ) ) ) )
7573, 26, 30, 33caovdid 5676 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
u  .N  y )  .N  ( ( v  .N  w )  +N  ( u  .N  z
) ) )  =  ( ( ( u  .N  y )  .N  ( v  .N  w
) )  +N  (
( u  .N  y
)  .N  ( u  .N  z ) ) ) )
7620, 17, 16, 66, 68, 29, 28caov411d 5686 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
u  .N  y )  .N  ( v  .N  w ) )  =  ( ( v  .N  y )  .N  (
u  .N  w ) ) )
7776oveq1d 5527 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
( u  .N  y
)  .N  ( v  .N  w ) )  +N  ( ( u  .N  y )  .N  ( u  .N  z
) ) )  =  ( ( ( v  .N  y )  .N  ( u  .N  w
) )  +N  (
( u  .N  y
)  .N  ( u  .N  z ) ) ) )
7875, 77eqtrd 2072 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
u  .N  y )  .N  ( ( v  .N  w )  +N  ( u  .N  z
) ) )  =  ( ( ( v  .N  y )  .N  ( u  .N  w
) )  +N  (
( u  .N  y
)  .N  ( u  .N  z ) ) ) )
7974, 78breq12d 3777 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
( ( v  .N  y )  +N  (
u  .N  x ) )  .N  ( u  .N  w ) ) 
<N  ( ( u  .N  y )  .N  (
( v  .N  w
)  +N  ( u  .N  z ) ) )  <->  ( ( ( v  .N  y )  .N  ( u  .N  w ) )  +N  ( ( u  .N  x )  .N  (
u  .N  w ) ) )  <N  (
( ( v  .N  y )  .N  (
u  .N  w ) )  +N  ( ( u  .N  y )  .N  ( u  .N  z ) ) ) ) )
8064, 71, 793bitr4d 209 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
( u  .N  u
)  .N  ( x  .N  w ) ) 
<N  ( ( u  .N  u )  .N  (
y  .N  z ) )  <->  ( ( ( v  .N  y )  +N  ( u  .N  x ) )  .N  ( u  .N  w
) )  <N  (
( u  .N  y
)  .N  ( ( v  .N  w )  +N  ( u  .N  z ) ) ) ) )
8148, 56, 803bitrd 203 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( (
( v  .N  y
)  +N  ( u  .N  x ) )  .N  ( u  .N  w ) )  <N 
( ( u  .N  y )  .N  (
( v  .N  w
)  +N  ( u  .N  z ) ) ) ) )
8238, 46, 813bitr4rd 210 . 2  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  [ <. x ,  y >. ]  ~Q  )  <Q  ( [ <. v ,  u >. ]  ~Q  +Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) ) )
831, 5, 9, 13, 823ecoptocl 6195 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  ( C  +Q  A )  <Q  ( C  +Q  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    /\ w3a 885    = wceq 1243    e. wcel 1393   <.cop 3378   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512   [cec 6104   N.cnpi 6370    +N cpli 6371    .N cmi 6372    <N clti 6373    ~Q ceq 6377   Q.cnq 6378    +Q cplq 6380    <Q cltq 6383
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-ltnqqs 6451
This theorem is referenced by:  ltanqi  6500  lt2addnq  6502  ltaddnq  6505  prarloclemlt  6591  prarloclemcalc  6600  addlocprlemgt  6632  addclpr  6635  prmuloclemcalc  6663  distrlem4prl  6682  distrlem4pru  6683  ltexprlemopl  6699  ltexprlemopu  6701  ltexprlemdisj  6704  ltexprlemloc  6705  ltexprlemfl  6707  ltexprlemfu  6709  aptiprleml  6737  aptiprlemu  6738  cauappcvgprlemopl  6744  cauappcvgprlemlol  6745  cauappcvgprlemdisj  6749  cauappcvgprlemloc  6750  cauappcvgprlemladdfu  6752  cauappcvgprlemladdru  6754  cauappcvgprlemladdrl  6755  cauappcvgprlem1  6757  caucvgprlemnkj  6764  caucvgprlemnbj  6765  caucvgprlemm  6766  caucvgprlemopl  6767  caucvgprlemlol  6768  caucvgprlemloc  6773  caucvgprlemladdfu  6775  caucvgprlemladdrl  6776  caucvgprprlemml  6792  caucvgprprlemopl  6795  caucvgprprlemlol  6796
  Copyright terms: Public domain W3C validator