Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgprlemnbj Unicode version

Theorem caucvgprlemnbj 6746
 Description: Lemma for caucvgpr 6761. Non-existence of two elements of the sequence which are too far from each other. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgpr.f
caucvgpr.cau
caucvgprlemnbj.b
caucvgprlemnbj.j
Assertion
Ref Expression
caucvgprlemnbj
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem caucvgprlemnbj
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caucvgpr.cau . . . . . . 7
2 caucvgprlemnbj.b . . . . . . . 8
3 caucvgprlemnbj.j . . . . . . . 8
4 breq1 3764 . . . . . . . . . 10
5 fveq2 5165 . . . . . . . . . . . 12
6 opeq1 3546 . . . . . . . . . . . . . . 15
76eceq1d 6129 . . . . . . . . . . . . . 14
87fveq2d 5169 . . . . . . . . . . . . 13
98oveq2d 5515 . . . . . . . . . . . 12
105, 9breq12d 3774 . . . . . . . . . . 11
115, 8oveq12d 5517 . . . . . . . . . . . 12
1211breq2d 3773 . . . . . . . . . . 11
1310, 12anbi12d 442 . . . . . . . . . 10
144, 13imbi12d 223 . . . . . . . . 9
15 breq2 3765 . . . . . . . . . 10
16 fveq2 5165 . . . . . . . . . . . . 13
1716oveq1d 5514 . . . . . . . . . . . 12
1817breq2d 3773 . . . . . . . . . . 11
1916breq1d 3771 . . . . . . . . . . 11
2018, 19anbi12d 442 . . . . . . . . . 10
2115, 20imbi12d 223 . . . . . . . . 9
2214, 21rspc2v 2659 . . . . . . . 8
232, 3, 22syl2anc 391 . . . . . . 7
241, 23mpd 13 . . . . . 6
2524imp 115 . . . . 5
2625simprd 107 . . . 4
27 caucvgpr.f . . . . . . . 8
2827, 2ffvelrnd 5290 . . . . . . 7
29 nnnq 6501 . . . . . . . 8
30 recclnq 6471 . . . . . . . 8
312, 29, 303syl 17 . . . . . . 7
32 addclnq 6454 . . . . . . 7
3328, 31, 32syl2anc 391 . . . . . 6
34 nnnq 6501 . . . . . . 7
35 recclnq 6471 . . . . . . 7
363, 34, 353syl 17 . . . . . 6
37 ltaddnq 6486 . . . . . 6
3833, 36, 37syl2anc 391 . . . . 5
3938adantr 261 . . . 4
40 ltsonq 6477 . . . . 5
41 ltrelnq 6444 . . . . 5
4240, 41sotri 4707 . . . 4
4326, 39, 42syl2anc 391 . . 3
44 ltaddnq 6486 . . . . . . 7
4528, 31, 44syl2anc 391 . . . . . 6
4645adantr 261 . . . . 5
47 fveq2 5165 . . . . . . 7
4847breq1d 3771 . . . . . 6
4948adantl 262 . . . . 5
5046, 49mpbid 135 . . . 4
5138adantr 261 . . . 4
5250, 51, 42syl2anc 391 . . 3
53 breq1 3764 . . . . . . . . . 10
54 fveq2 5165 . . . . . . . . . . . 12
55 opeq1 3546 . . . . . . . . . . . . . . 15
5655eceq1d 6129 . . . . . . . . . . . . . 14
5756fveq2d 5169 . . . . . . . . . . . . 13
5857oveq2d 5515 . . . . . . . . . . . 12
5954, 58breq12d 3774 . . . . . . . . . . 11
6054, 57oveq12d 5517 . . . . . . . . . . . 12
6160breq2d 3773 . . . . . . . . . . 11
6259, 61anbi12d 442 . . . . . . . . . 10
6353, 62imbi12d 223 . . . . . . . . 9
64 breq2 3765 . . . . . . . . . 10
65 fveq2 5165 . . . . . . . . . . . . 13
6665oveq1d 5514 . . . . . . . . . . . 12
6766breq2d 3773 . . . . . . . . . . 11
6865breq1d 3771 . . . . . . . . . . 11
6967, 68anbi12d 442 . . . . . . . . . 10
7064, 69imbi12d 223 . . . . . . . . 9
7163, 70rspc2v 2659 . . . . . . . 8
723, 2, 71syl2anc 391 . . . . . . 7
731, 72mpd 13 . . . . . 6
7473imp 115 . . . . 5
7574simpld 105 . . . 4
76 ltanqg 6479 . . . . . . . 8
7776adantl 262 . . . . . . 7
78 addcomnqg 6460 . . . . . . . 8
7978adantl 262 . . . . . . 7
8077, 28, 33, 36, 79caovord2d 5657 . . . . . 6
8145, 80mpbid 135 . . . . 5
8281adantr 261 . . . 4
8340, 41sotri 4707 . . . 4
8475, 82, 83syl2anc 391 . . 3
85 pitri3or 6401 . . . 4
862, 3, 85syl2anc 391 . . 3
8743, 52, 84, 86mpjao3dan 1202 . 2
8827, 3ffvelrnd 5290 . . . 4
89 addclnq 6454 . . . . 5
9033, 36, 89syl2anc 391 . . . 4
91 so2nr 4055 . . . . 5
9240, 91mpan 400 . . . 4
9388, 90, 92syl2anc 391 . . 3
94 imnan 624 . . 3
9593, 94sylibr 137 . 2
9687, 95mpd 13 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wb 98   w3o 884   w3a 885   wceq 1243   wcel 1393  wral 2303  cop 3375   class class class wbr 3761   wor 4029  wf 4885  cfv 4889  (class class class)co 5499  c1o 5981  cec 6091  cnpi 6351   clti 6354   ceq 6358  cnq 6359   cplq 6361  crq 6363   cltq 6364 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3869  ax-sep 3872  ax-nul 3880  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4166  ax-setind 4256  ax-iinf 4298 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-iun 3656  df-br 3762  df-opab 3816  df-mpt 3817  df-tr 3852  df-eprel 4023  df-id 4027  df-po 4030  df-iso 4031  df-iord 4099  df-on 4101  df-suc 4104  df-iom 4301  df-xp 4338  df-rel 4339  df-cnv 4340  df-co 4341  df-dm 4342  df-rn 4343  df-res 4344  df-ima 4345  df-iota 4854  df-fun 4891  df-fn 4892  df-f 4893  df-f1 4894  df-fo 4895  df-f1o 4896  df-fv 4897  df-ov 5502  df-oprab 5503  df-mpt2 5504  df-1st 5754  df-2nd 5755  df-recs 5907  df-irdg 5944  df-1o 5988  df-oadd 5992  df-omul 5993  df-er 6093  df-ec 6095  df-qs 6099  df-ni 6383  df-pli 6384  df-mi 6385  df-lti 6386  df-plpq 6423  df-mpq 6424  df-enq 6426  df-nqqs 6427  df-plqqs 6428  df-mqqs 6429  df-1nqqs 6430  df-rq 6431  df-ltnqqs 6432 This theorem is referenced by:  caucvgprlemladdrl  6757
 Copyright terms: Public domain W3C validator