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Theorem cauappcvgprlemladdru 6628
Description: Lemma for cauappcvgprlemladd 6630. The reverse subset relationship for the upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f  F : Q. --> Q.
cauappcvgpr.app  p  Q.  q  Q.  F `  p 
<Q  F `  q  +Q  p  +Q  q  F `  q  <Q  F `
 p  +Q  p  +Q  q
cauappcvgpr.bnd  p  Q.  <Q  F `  p
cauappcvgpr.lim  L 
<. { l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `  q } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  <Q  } >.
cauappcvgprlemladd.s  S  Q.
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemladdru  2nd `  <. { l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `
 q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >.  C_  2nd `  L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.
Distinct variable groups:   , p    L, p, q   , p, q    F, l,, p, q    S, l, q,
Allowed substitution hints:   (, l)   (, q, l)    S( p)    L(, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlemladdru
Dummy variables  h  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3759 . . . . 5  r  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  F `
 q  +Q  q  +Q  S  <Q  r
21rexbidv 2321 . . . 4  r  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  r
3 nqex 6347 . . . . . 6  Q.  _V
43rabex 3892 . . . . 5  { l  Q.  |  q  Q. 
l  +Q  q 
<Q  F `  q  +Q  S }  _V
53rabex 3892 . . . . 5  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  }  _V
64, 5op2nd 5716 . . . 4  2nd `  <. { l 
Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >.  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  }
72, 6elrab2 2694 . . 3  r  2nd `  <. { l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `
 q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >.  r  Q.  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  r
8 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . . . 13  F : Q. --> Q.
9 cauappcvgpr.app . . . . . . . . . . . . 13  p  Q.  q  Q.  F `  p 
<Q  F `  q  +Q  p  +Q  q  F `  q  <Q  F `
 p  +Q  p  +Q  q
10 cauappcvgpr.bnd . . . . . . . . . . . . 13  p  Q.  <Q  F `  p
11 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . . . . . 13  L 
<. { l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `  q } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  <Q  } >.
12 cauappcvgprlemladd.s . . . . . . . . . . . . 13  S  Q.
138, 9, 10, 11, 12cauappcvgprlemladdfl 6627 . . . . . . . . . . . 12  1st `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  C_  1st `  <. { l  Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `
 q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >.
14 oveq2 5463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  q 
l  +Q  q  l  +Q
15 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  q  F `  q  F `
1615oveq1d 5470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  q  F `  q  +Q  S  F `  +Q  S
1714, 16breq12d 3768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  q  l  +Q  q  <Q  F `
 q  +Q  S  l  +Q  <Q  F `  +Q  S
1817cbvrexv 2528 . . . . . . . . . . . . . . . 16  q  Q. 
l  +Q  q 
<Q  F `  q  +Q  S  Q.  l  +Q  <Q  F `
 +Q  S
1918a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  l  Q.  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `
 q  +Q  S  Q.  l  +Q  <Q  F `  +Q  S
2019rabbiia 2541 . . . . . . . . . . . . . 14  { l  Q.  |  q  Q. 
l  +Q  q 
<Q  F `  q  +Q  S }  {
l  Q.  |  Q.  l  +Q  <Q  F `
 +Q  S }
21 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  q  q
2215, 21oveq12d 5473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  q  F `  q  +Q  q  F `  +Q
2322oveq1d 5470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  q  F `  q  +Q  q  +Q  S  F `  +Q  +Q  S
2423breq1d 3765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  q  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  F `
 +Q  +Q  S  <Q
2524cbvrexv 2528 . . . . . . . . . . . . . . . 16  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  Q.  F `  +Q  +Q  S  <Q
2625a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  Q.  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  Q.  F `  +Q  +Q  S  <Q
2726rabbiia 2541 . . . . . . . . . . . . . 14  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  }  {  Q.  |  Q.  F `  +Q  +Q  S  <Q  }
2820, 27opeq12i 3545 . . . . . . . . . . . . 13  <. { l  Q.  |  q  Q. 
l  +Q  q 
<Q  F `  q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >.  <. { l 
Q.  |  Q.  l  +Q  <Q  F `  +Q  S } ,  {  Q.  |  Q.  F `  +Q  +Q  S  <Q  } >.
2928fveq2i 5124 . . . . . . . . . . . 12  1st `  <. { l 
Q.  |  q  Q.  l  +Q  q  <Q  F `  q  +Q  S } ,  {  Q.  |  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  <Q  } >.  1st `  <. { l  Q.  |  Q. 
l  +Q 
<Q  F `  +Q  S } ,  {  Q.  |  Q.  F `  +Q  +Q  S  <Q  } >.
3013, 29syl6sseq 2985 . . . . . . . . . . 11  1st `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  C_  1st `  <. { l  Q.  |  Q.  l  +Q  <Q  F `
 +Q  S } ,  {  Q.  |  Q.  F `  +Q  +Q  S  <Q  } >.
3130adantr 261 . . . . . . . . . 10  q  Q.  1st `  L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  {  |  S  <Q  } >.  C_  1st `  <. { l  Q.  |  Q.  l  +Q  <Q  F `
 +Q  S } ,  {  Q.  |  Q.  F `  +Q  +Q  S  <Q  } >.
328ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  q  Q.  Q.  F : Q. --> Q.
33 simplr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  q  Q.  Q.  q  Q.
3432, 33ffvelrnd 5246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  q  Q.  Q.  F `  q  Q.
35 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  q  Q.  Q.  Q.
36 addassnqg 6366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  F `  q  Q.  q  Q. 
Q.  F `  q  +Q  q  +Q  F `  q  +Q  q  +Q
3734, 33, 35, 36syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16  q  Q.  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  F `  q  +Q  q  +Q
38 addclnq 6359 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  F `  q  Q.  q  Q.  F `  q  +Q  q 
Q.
3934, 33, 38syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  q  Q.  Q.  F `  q  +Q  q 
Q.
40 addclnq 6359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  F `  q  +Q  q  Q.  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  Q.
4139, 40sylancom 397 . . . . . . . . . . . . . . . 16  q  Q.  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  Q.
4237, 41eqeltrrd 2112 . . . . . . . . . . . . . . 15  q  Q.  Q.  F `  q  +Q  q  +Q 
Q.
4332, 35ffvelrnd 5246 . . . . . . . . . . . . . . 15  q  Q.  Q.  F `  Q.
44 ltsonq 6382 . . . . . . . . . . . . . . . 16  <Q  Or  Q.
45 so2nr 4049 . . . . . . . . . . . . . . . 16 
<Q  Or  Q.  F `  q  +Q  q  +Q 
Q.  F `  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  <Q  F `  F `  <Q  F `
 q  +Q  q  +Q
4644, 45mpan 400 . . . . . . . . . . . . . . 15  F `  q  +Q 
q  +Q  Q.  F `  Q.  F `
 q  +Q  q  +Q  <Q  F `
 F ` 
<Q  F `  q  +Q 
q  +Q
4742, 43, 46syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . 14  q  Q.  Q.  F `  q  +Q 
q  +Q  <Q  F `  F `  <Q  F `  q  +Q 
q  +Q
4812ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  q  Q.  Q.  S  Q.
49 addcomnqg 6365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  Q.  Q.  +Q  +Q
5049adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  q  Q.  Q. 
Q.  Q.  +Q  +Q
51 addassnqg 6366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  Q.  Q.  h  Q.  +Q  +Q  h  +Q  +Q  h
5251adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  q  Q.  Q. 
Q.  Q.  h  Q.  +Q  +Q  h  +Q  +Q  h
5339, 48, 35, 50, 52caov32d 5623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  q  Q.  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  +Q  F `  q  +Q  q  +Q  +Q  S
5453breq1d 3765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  q  Q.  Q.  F `
 q  +Q  q  +Q  S  +Q  <Q  F `  +Q  S  F `  q  +Q  q  +Q  +Q  S  <Q  F `  +Q  S
55 ltanqg 6384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  Q.  Q.  h  Q.  <Q  h  +Q  <Q  h  +Q
5655adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  q  Q.  Q. 
Q.  Q.  h  Q.  <Q  h  +Q  <Q  h  +Q
5756, 41, 43, 48, 50caovord2d 5612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  q  Q.  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  <Q  F `  F `  q  +Q  q  +Q  +Q  S  <Q  F `
 +Q  S
5837breq1d 3765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  q  Q.  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  <Q  F `  F `  q  +Q 
q  +Q  <Q  F `
5954, 57, 583bitr2d 205 . . . . . . . . . . . . . . . 16  q  Q.  Q.  F `
 q  +Q  q  +Q  S  +Q  <Q  F `  +Q  S  F `  q  +Q  q  +Q  <Q  F `
6059biimpd 132 . . . . . . . . . . . . . . 15  q  Q.  Q.  F `
 q  +Q  q  +Q  S  +Q  <Q  F `  +Q  S  F `  q  +Q  q  +Q  <Q  F `
619ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  q  Q.  Q.  p  Q.  q  Q.  F `
 p  <Q  F `  q  +Q  p  +Q  q  F `  q 
<Q  F `  p  +Q  p  +Q  q
62 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  p  F `  p  F `
63 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  p  p  +Q  q  +Q  q
6463oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  p  F `  q  +Q  p  +Q  q  F `  q  +Q  +Q  q
6562, 64breq12d 3768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  p  F `  p 
<Q  F `  q  +Q  p  +Q  q  F `  <Q  F `
 q  +Q  +Q  q
6662, 63oveq12d 5473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  p  F `  p  +Q  p  +Q  q  F `  +Q  +Q  q
6766breq2d 3767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  p  F `  q 
<Q  F `  p  +Q  p  +Q  q  F `  q  <Q  F `
 +Q  +Q  q
6865, 67anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  p  F `  p  <Q  F `
 q  +Q  p  +Q  q  F `  q  <Q  F `  p  +Q  p  +Q  q  F `
 <Q  F `  q  +Q  +Q  q  F `  q 
<Q  F `  +Q  +Q  q
6968ralbidv 2320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  p  q  Q.  F `  p  <Q  F `
 q  +Q  p  +Q  q  F `  q  <Q  F `  p  +Q  p  +Q  q  q 
Q.  F `
 <Q  F `  q  +Q  +Q  q  F `  q 
<Q  F `  +Q  +Q  q
7069rspcv 2646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  Q.  p  Q.  q  Q.  F `  p 
<Q  F `  q  +Q  p  +Q  q  F `  q  <Q  F `
 p  +Q  p  +Q  q  q  Q.  F ` 
<Q  F `  q  +Q  +Q  q  F `  q  <Q  F `
 +Q  +Q  q
7170adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  q  Q.  Q.  p  Q.  q  Q.  F `  p 
<Q  F `  q  +Q  p  +Q  q  F `  q  <Q  F `
 p  +Q  p  +Q  q  q  Q.  F ` 
<Q  F `  q  +Q  +Q  q  F `  q  <Q  F `
 +Q  +Q  q
7261, 71mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  q  Q.  Q.  q  Q.  F ` 
<Q  F `  q  +Q  +Q  q  F `  q  <Q  F `
 +Q  +Q  q
73 rsp 2363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  q  Q.  F ` 
<Q  F `  q  +Q  +Q  q  F `  q  <Q  F `
 +Q  +Q  q 
q  Q.  F `  <Q  F `
 q  +Q  +Q  q  F `  q  <Q  F `  +Q  +Q  q
7472, 33, 73sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  q  Q.  Q.  F ` 
<Q  F `  q  +Q  +Q  q  F `  q  <Q  F `
 +Q  +Q  q
7574simpld 105 . . . . . . . . . . . . . . . 16  q  Q.  Q.  F `  <Q  F `  q  +Q  +Q  q
76 addcomnqg 6365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  Q.  q  Q.  +Q  q  q  +Q
7735, 33, 76syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  q  Q.  Q.  +Q  q  q  +Q
7877oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  q  Q.  Q.  F `  q  +Q  +Q  q  F `  q  +Q 
q  +Q
7975, 78breqtrd 3779 . . . . . . . . . . . . . . 15  q  Q.  Q.  F `  <Q  F `  q  +Q 
q  +Q
8060, 79jctird 300 . . . . . . . . . . . . . 14  q  Q.  Q.  F `
 q  +Q  q  +Q  S  +Q  <Q  F `  +Q  S  F `  q  +Q 
q  +Q  <Q  F `  F `  <Q  F `  q  +Q 
q  +Q
8147, 80mtod 588 . . . . . . . . . . . . 13  q  Q.  Q.  F `
 q  +Q  q  +Q  S  +Q  <Q  F `  +Q  S
8281nrexdv 2406 . . . . . . . . . . . 12  q  Q.  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  +Q  <Q  F `
 +Q  S
838ffvelrnda 5245 . . . . . . . . . . . . . . 15  q  Q.  F `  q  Q.
8483, 38sylancom 397 . . . . . . . . . . . . . 14  q  Q.  F `
 q  +Q  q  Q.
8512adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14  q  Q.  S  Q.
86 addclnq 6359 . . . . . . . . . . . . . 14  F `  q  +Q  q  Q.  S  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  Q.
8784, 85, 86syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . 13  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  Q.
88 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  l  F `  q  +Q  q  +Q  S 
l  +Q  F `  q  +Q  q  +Q  S  +Q
8988breq1d 3765 . . . . . . . . . . . . . . 15  l  F `  q  +Q  q  +Q  S  l  +Q  <Q  F `
 +Q  S  F `  q  +Q  q  +Q  S  +Q  <Q  F `
 +Q  S
9089rexbidv 2321 . . . . . . . . . . . . . 14  l  F `  q  +Q  q  +Q  S  Q.  l  +Q  <Q  F `
 +Q  S  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  +Q  <Q  F `
 +Q  S
9190elrab3 2693 . . . . . . . . . . . . 13  F `  q  +Q  q  +Q  S 
Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  { l  Q.  |  Q. 
l  +Q 
<Q  F `  +Q  S }  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  +Q  <Q  F `
 +Q  S
9287, 91syl 14 . . . . . . . . . . . 12  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  { l  Q.  |  Q. 
l  +Q 
<Q  F `  +Q  S }  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  +Q  <Q  F `
 +Q  S
9382, 92mtbird 597 . . . . . . . . . . 11  q  Q.  F `  q  +Q  q  +Q  S  { l  Q.  |  Q. 
l  +Q 
<Q  F `  +Q  S }
943rabex 3892 . . . . . . . . . . . . 13  { l  Q.  |  Q. 
l  +Q 
<Q  F `  +Q  S }  _V
953rabex 3892 . . . . . . . . . . . . 13  {  Q.  |  Q.  F `  +Q  +Q  S  <Q  }  _V
9694, 95op1st 5715 . . . . . . . . . . . 12  1st `  <. { l 
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wb 98   wo 628   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390   {cab 2023  wral 2300  wrex 2301   {crab 2304    C_ wss 2911   <.cop 3370   class class class wbr 3755    Or wor 4023   -->wf 4841   ` cfv 4845  (class class class)co 5455   1stc1st 5707   2ndc2nd 5708   Q.cnq 6264    +Q cplq 6266    <Q cltq 6269   P.cnp 6275    +P. cpp 6277
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-iplp 6451
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemladd  6630
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