ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgprlemopl Unicode version

Theorem caucvgprlemopl 6640
Description: Lemma for caucvgpr 6653. The lower cut of the putative limit is open. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgpr.f  F : N. --> Q.
caucvgpr.cau  n  N.  k  N.  n  <N  k  F `  n 
<Q  F `  k  +Q  *Q `  <. n ,  1o >.  ~Q  F `  k  <Q  F `  n  +Q  *Q `  <. n ,  1o >.  ~Q
caucvgpr.bnd  j  N.  <Q  F `  j
caucvgpr.lim  L 
<. { l  Q.  |  j  N.  l  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  j } ,  {  Q.  |  j  N.  F `  j  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  } >.
Assertion
Ref Expression
caucvgprlemopl  s  1st `  L  r  Q.  s  <Q 
r  r  1st `  L
Distinct variable groups:   , j    F, l, r, s   , F    j, L, r, s    j,
l, s   , j, r, s   , j, r, s
Allowed substitution hints:   (, k, n, l)   (, k, n, s, r, l)    F( j, k, n)    L(, k, n, l)

Proof of Theorem caucvgprlemopl
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5462 . . . . . . 7  l  s 
l  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q
21breq1d 3765 . . . . . 6  l  s  l  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  j  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q  <Q  F `  j
32rexbidv 2321 . . . . 5  l  s  j  N.  l  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  j  j  N.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q  <Q  F `  j
4 caucvgpr.lim . . . . . . 7  L 
<. { l  Q.  |  j  N.  l  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  j } ,  {  Q.  |  j  N.  F `  j  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  } >.
54fveq2i 5124 . . . . . 6  1st `  L  1st `  <. { l  Q.  |  j  N. 
l  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  F `  j } ,  {  Q.  |  j  N.  F `
 j  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.
6 nqex 6347 . . . . . . . 8  Q.  _V
76rabex 3892 . . . . . . 7  { l  Q.  |  j  N. 
l  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  F `  j }  _V
86rabex 3892 . . . . . . 7  {  Q.  |  j  N.  F `
 j  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  }  _V
97, 8op1st 5715 . . . . . 6  1st `  <. { l 
Q.  |  j  N.  l  +Q  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q  <Q  F `  j } ,  {  Q.  |  j  N.  F `
 j  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  { l  Q.  |  j  N. 
l  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  F `  j }
105, 9eqtri 2057 . . . . 5  1st `  L  {
l  Q.  |  j  N.  l  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  j }
113, 10elrab2 2694 . . . 4  s  1st `  L  s  Q.  j  N.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  j
1211simprbi 260 . . 3  s  1st `  L  j 
N.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q  <Q  F `  j
1312adantl 262 . 2  s  1st `  L  j  N.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q  <Q  F `  j
14 simprr 484 . . . 4  s  1st `  L 
j  N.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  j  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  j
15 ltbtwnnqq 6398 . . . 4  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  F `  j  t  Q.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  t  t  <Q  F `  j
1614, 15sylib 127 . . 3  s  1st `  L 
j  N.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  j  t  Q.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  t  t  <Q  F `  j
17 simplrl 487 . . . . . . . . 9  s  1st `  L  j  N.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  j  t  Q.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q  <Q  t  t  <Q  F `
 j  j  N.
18 nnnq 6405 . . . . . . . . 9  j  N.  <. j ,  1o >. 
~Q  Q.
19 recclnq 6376 . . . . . . . . 9  <. j ,  1o >. 
~Q  Q.  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  Q.
2017, 18, 193syl 17 . . . . . . . 8  s  1st `  L  j  N.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  j  t  Q.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q  <Q  t  t  <Q  F `
 j  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  Q.
2111simplbi 259 . . . . . . . . 9  s  1st `  L  s  Q.
2221ad3antlr 462 . . . . . . . 8  s  1st `  L  j  N.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  j  t  Q.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q  <Q  t  t  <Q  F `
 j  s  Q.
23 ltaddnq 6390 . . . . . . . 8  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q  Q.  s  Q.  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q  <Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  +Q  s
2420, 22, 23syl2anc 391 . . . . . . 7  s  1st `  L  j  N.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  j  t  Q.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q  <Q  t  t  <Q  F `
 j  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  +Q  s
25 addcomnqg 6365 . . . . . . . 8  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q  Q.  s  Q.  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  +Q  s 
s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q
2620, 22, 25syl2anc 391 . . . . . . 7  s  1st `  L  j  N.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  j  t  Q.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q  <Q  t  t  <Q  F `
 j  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  +Q  s  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q
2724, 26breqtrd 3779 . . . . . 6  s  1st `  L  j  N.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  j  t  Q.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q  <Q  t  t  <Q  F `
 j  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q
28 simprrl 491 . . . . . 6  s  1st `  L  j  N.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  j  t  Q.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q  <Q  t  t  <Q  F `
 j 
s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  t
29 ltsonq 6382 . . . . . . 7  <Q  Or  Q.
30 ltrelnq 6349 . . . . . . 7  <Q  C_  Q.  X.  Q.
3129, 30sotri 4663 . . . . . 6  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q  <Q 
s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  t  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  t
3227, 28, 31syl2anc 391 . . . . 5  s  1st `  L  j  N.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  j  t  Q.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q  <Q  t  t  <Q  F `
 j  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  t
33 simprl 483 . . . . . 6  s  1st `  L  j  N.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  j  t  Q.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q  <Q  t  t  <Q  F `
 j  t  Q.
34 ltexnqq 6391 . . . . . 6  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q  Q.  t  Q.  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  t  r  Q.  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q  +Q  r  t
3520, 33, 34syl2anc 391 . . . . 5  s  1st `  L  j  N.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  j  t  Q.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q  <Q  t  t  <Q  F `
 j  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  t  r  Q.  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  +Q  r  t
3632, 35mpbid 135 . . . 4  s  1st `  L  j  N.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  j  t  Q.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q  <Q  t  t  <Q  F `
 j  r  Q.  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  +Q  r  t
3722ad2antrr 457 . . . . . . . . . . 11  s  1st `  L  j  N. 
s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  F `  j 
t  Q.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  t  t  <Q  F `  j  r  Q.  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  +Q  r  t  s  Q.
3820ad2antrr 457 . . . . . . . . . . 11  s  1st `  L  j  N. 
s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  F `  j 
t  Q.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  t  t  <Q  F `  j  r  Q.  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  +Q  r  t  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
Q.
39 addcomnqg 6365 . . . . . . . . . . 11  s  Q.  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  Q.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  +Q  s
4037, 38, 39syl2anc 391 . . . . . . . . . 10  s  1st `  L  j  N. 
s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  F `  j 
t  Q.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  t  t  <Q  F `  j  r  Q.  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  +Q  r  t  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  +Q  s
4128ad2antrr 457 . . . . . . . . . 10  s  1st `  L  j  N. 
s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  F `  j 
t  Q.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  t  t  <Q  F `  j  r  Q.  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  +Q  r  t  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q  <Q  t
4240, 41eqbrtrrd 3777 . . . . . . . . 9  s  1st `  L  j  N. 
s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  F `  j 
t  Q.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  t  t  <Q  F `  j  r  Q.  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  +Q  r  t  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  +Q  s  <Q  t
43 simpr 103 . . . . . . . . 9  s  1st `  L  j  N. 
s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  F `  j 
t  Q.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  t  t  <Q  F `  j  r  Q.  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  +Q  r  t  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  +Q  r  t
4442, 43breqtrrd 3781 . . . . . . . 8  s  1st `  L  j  N. 
s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  F `  j 
t  Q.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  t  t  <Q  F `  j  r  Q.  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  +Q  r  t  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  +Q  s  <Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  +Q  r
45 simplr 482 . . . . . . . . 9  s  1st `  L  j  N. 
s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  F `  j 
t  Q.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  t  t  <Q  F `  j  r  Q.  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  +Q  r  t  r  Q.
46 ltanqg 6384 . . . . . . . . 9  s  Q.  r  Q.  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  Q. 
s  <Q  r  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  +Q  s  <Q  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q  +Q  r
4737, 45, 38, 46syl3anc 1134 . . . . . . . 8  s  1st `  L  j  N. 
s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  F `  j 
t  Q.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  t  t  <Q  F `  j  r  Q.  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  +Q  r  t  s  <Q 
r  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  +Q  s  <Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  +Q  r
4844, 47mpbird 156 . . . . . . 7  s  1st `  L  j  N. 
s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  F `  j 
t  Q.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  t  t  <Q  F `  j  r  Q.  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  +Q  r  t  s  <Q  r
4917ad2antrr 457 . . . . . . . . 9  s  1st `  L  j  N. 
s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  F `  j 
t  Q.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  t  t  <Q  F `  j  r  Q.  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  +Q  r  t  j  N.
50 simprrr 492 . . . . . . . . . . 11  s  1st `  L  j  N.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  j  t  Q.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q  <Q  t  t  <Q  F `
 j  t  <Q  F `  j
5150ad2antrr 457 . . . . . . . . . 10  s  1st `  L  j  N. 
s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  F `  j 
t  Q.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  t  t  <Q  F `  j  r  Q.  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  +Q  r  t  t  <Q  F `  j
52 addcomnqg 6365 . . . . . . . . . . . . 13  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q  Q.  r  Q.  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  +Q  r 
r  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q
5338, 45, 52syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12  s  1st `  L  j  N. 
s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  F `  j 
t  Q.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  t  t  <Q  F `  j  r  Q.  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  +Q  r  t  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  +Q  r 
r  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q
5453, 43eqtr3d 2071 . . . . . . . . . . 11  s  1st `  L  j  N. 
s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  F `  j 
t  Q.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  t  t  <Q  F `  j  r  Q.  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  +Q  r  t  r  +Q  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q  t
5554breq1d 3765 . . . . . . . . . 10  s  1st `  L  j  N. 
s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  F `  j 
t  Q.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  t  t  <Q  F `  j  r  Q.  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  +Q  r  t  r  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  F `  j  t  <Q  F `  j
5651, 55mpbird 156 . . . . . . . . 9  s  1st `  L  j  N. 
s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  F `  j 
t  Q.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  t  t  <Q  F `  j  r  Q.  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  +Q  r  t  r  +Q  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q  <Q  F `  j
57 rspe 2364 . . . . . . . . 9  j  N.  r  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  j  j  N.  r  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  j
5849, 56, 57syl2anc 391 . . . . . . . 8  s  1st `  L  j  N. 
s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  F `  j 
t  Q.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  t  t  <Q  F `  j  r  Q.  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  +Q  r  t  j 
N.  r  +Q  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q  <Q  F `  j
59 oveq1 5462 . . . . . . . . . . 11  l  r 
l  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  r  +Q  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q
6059breq1d 3765 . . . . . . . . . 10  l  r  l  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  j  r  +Q  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q  <Q  F `  j
6160rexbidv 2321 . . . . . . . . 9  l  r  j  N.  l  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  j  j  N.  r  +Q  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q  <Q  F `  j
6261, 10elrab2 2694 . . . . . . . 8  r  1st `  L  r  Q.  j  N.  r  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  j
6345, 58, 62sylanbrc 394 . . . . . . 7  s  1st `  L  j  N. 
s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  F `  j 
t  Q.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  t  t  <Q  F `  j  r  Q.  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  +Q  r  t  r  1st `  L
6448, 63jca 290 . . . . . 6  s  1st `  L  j  N. 
s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q 
<Q  F `  j 
t  Q.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  t  t  <Q  F `  j  r  Q.  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  +Q  r  t  s  <Q 
r  r  1st `  L
6564ex 108 . . . . 5  s  1st `  L  j  N.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  j  t  Q.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q  <Q  t  t  <Q  F `
 j  r  Q.  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q  +Q  r  t  s  <Q  r  r  1st `  L
6665reximdva 2415 . . . 4  s  1st `  L  j  N.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  j  t  Q.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q  <Q  t  t  <Q  F `
 j  r  Q.  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q  +Q  r  t  r  Q. 
s  <Q  r  r  1st `  L
6736, 66mpd 13 . . 3  s  1st `  L  j  N.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  j  t  Q.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >. 
~Q  <Q  t  t  <Q  F `
 j  r  Q. 
s  <Q  r  r  1st `  L
6816, 67rexlimddv 2431 . 2  s  1st `  L 
j  N.  s  +Q  *Q `  <. j ,  1o >.  ~Q  <Q  F `  j  r  Q.  s  <Q  r  r  1st `  L
6913, 68rexlimddv 2431 1  s  1st `  L  r  Q.  s  <Q 
r  r  1st `  L
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  wrex 2301   {crab 2304   <.cop 3370   class class class wbr 3755   -->wf 4841   ` cfv 4845  (class class class)co 5455   1stc1st 5707   1oc1o 5933  cec 6040   N.cnpi 6256    <N clti 6259    ~Q ceq 6263   Q.cnq 6264    +Q cplq 6266   *Qcrq 6268    <Q cltq 6269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337
This theorem is referenced by:  caucvgprlemrnd  6644
  Copyright terms: Public domain W3C validator