ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnnq Unicode version

Theorem nnnq 6520
Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnnq  |-  ( A  e.  N.  ->  [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )

Proof of Theorem nnnq
StepHypRef Expression
1 1pi 6413 . . . 4  |-  1o  e.  N.
2 opelxpi 4376 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  ->  <. A ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
31, 2mpan2 401 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  <. A ,  1o >.  e.  ( N. 
X.  N. ) )
4 enqex 6458 . . . 4  |-  ~Q  e.  _V
54ecelqsi 6160 . . 3  |-  ( <. A ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  ) )
63, 5syl 14 . 2  |-  ( A  e.  N.  ->  [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
)
7 df-nqqs 6446 . 2  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
86, 7syl6eleqr 2131 1  |-  ( A  e.  N.  ->  [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1393   <.cop 3378    X. cxp 4343   1oc1o 5994   [cec 6104   /.cqs 6105   N.cnpi 6370    ~Q ceq 6377   Q.cnq 6378
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-br 3765  df-opab 3819  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-cnv 4353  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-1o 6001  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-enq 6445  df-nqqs 6446
This theorem is referenced by:  recnnpr  6646  nnprlu  6651  archrecnq  6761  archrecpr  6762  caucvgprlemnkj  6764  caucvgprlemnbj  6765  caucvgprlemm  6766  caucvgprlemopl  6767  caucvgprlemlol  6768  caucvgprlemloc  6773  caucvgprlemladdfu  6775  caucvgprlemladdrl  6776  caucvgprprlemloccalc  6782  caucvgprprlemnkltj  6787  caucvgprprlemnkeqj  6788  caucvgprprlemnjltk  6789  caucvgprprlemml  6792  caucvgprprlemopl  6795  caucvgprprlemlol  6796  caucvgprprlemloc  6801  caucvgprprlemexb  6805  caucvgprprlem1  6807  caucvgprprlem2  6808  pitonnlem2  6923  ltrennb  6930  recidpipr  6932
  Copyright terms: Public domain W3C validator