ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltbtwnnqq Structured version   Unicode version

Theorem ltbtwnnqq 6398
Description: There exists a number between any two positive fractions. Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltbtwnnqq 
<Q 
Q.  <Q  <Q
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem ltbtwnnqq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 6349 . . . . 5  <Q  C_  Q.  X.  Q.
21brel 4335 . . . 4 
<Q  Q.  Q.
32simpld 105 . . 3 
<Q  Q.
4 ltexnqi 6392 . . 3 
<Q  Q.  +Q
5 nsmallnq 6396 . . . . . 6  Q.  <Q
61brel 4335 . . . . . . . . . . . . . . 15 
<Q  Q.  Q.
76simpld 105 . . . . . . . . . . . . . 14 
<Q  Q.
8 ltaddnq 6390 . . . . . . . . . . . . . 14  Q.  Q.  <Q  +Q
97, 8sylan2 270 . . . . . . . . . . . . 13  Q.  <Q  <Q  +Q
109ancoms 255 . . . . . . . . . . . 12  <Q  Q.  <Q  +Q
1110adantr 261 . . . . . . . . . . 11  <Q  Q.  +Q  <Q  +Q
12 ltanqi 6386 . . . . . . . . . . . . 13  <Q  Q.  +Q  <Q  +Q
1312adantr 261 . . . . . . . . . . . 12  <Q  Q.  +Q  +Q  <Q  +Q
14 breq2 3759 . . . . . . . . . . . . 13  +Q  +Q  <Q  +Q  +Q  <Q
1514adantl 262 . . . . . . . . . . . 12  <Q  Q.  +Q  +Q  <Q  +Q  +Q  <Q
1613, 15mpbid 135 . . . . . . . . . . 11  <Q  Q.  +Q  +Q  <Q
17 addclnq 6359 . . . . . . . . . . . . . . 15  Q.  Q.  +Q  Q.
187, 17sylan2 270 . . . . . . . . . . . . . 14  Q.  <Q  +Q  Q.
1918ancoms 255 . . . . . . . . . . . . 13  <Q  Q.  +Q  Q.
2019adantr 261 . . . . . . . . . . . 12  <Q  Q.  +Q  +Q  Q.
21 breq2 3759 . . . . . . . . . . . . . 14  +Q  <Q  <Q  +Q
22 breq1 3758 . . . . . . . . . . . . . 14  +Q  <Q  +Q  <Q
2321, 22anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . 13  +Q  <Q  <Q 
<Q  +Q  +Q  <Q
2423adantl 262 . . . . . . . . . . . 12  <Q  Q.  +Q  +Q  <Q  <Q  <Q  +Q  +Q  <Q
2520, 24rspcedv 2654 . . . . . . . . . . 11  <Q  Q.  +Q  <Q  +Q  +Q  <Q  Q.  <Q  <Q
2611, 16, 25mp2and 409 . . . . . . . . . 10  <Q  Q.  +Q  Q.  <Q  <Q
27263impa 1098 . . . . . . . . 9  <Q  Q.  +Q  Q.  <Q  <Q
28273coml 1110 . . . . . . . 8  Q.  +Q  <Q  Q.  <Q  <Q
29283expia 1105 . . . . . . 7  Q.  +Q  <Q  Q.  <Q  <Q
3029exlimdv 1697 . . . . . 6  Q.  +Q 
<Q  Q.  <Q  <Q
315, 30syl5 28 . . . . 5  Q.  +Q  Q.  Q.  <Q  <Q
3231impancom 247 . . . 4  Q.  Q.  +Q  Q.  <Q  <Q
3332rexlimdva 2427 . . 3  Q.  Q.  +Q  Q.  <Q  <Q
343, 4, 33sylc 56 . 2 
<Q  Q.  <Q  <Q
35 ltsonq 6382 . . . 4  <Q  Or  Q.
3635, 1sotri 4663 . . 3  <Q  <Q  <Q
3736rexlimivw 2423 . 2  Q.  <Q  <Q  <Q
3834, 37impbii 117 1 
<Q 
Q.  <Q  <Q
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   wb 98   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  wrex 2301   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455   Q.cnq 6264    +Q cplq 6266    <Q cltq 6269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337
This theorem is referenced by:  ltbtwnnq  6399  nqprrnd  6525  appdivnq  6543  recexprlemopl  6596  recexprlemopu  6598  cauappcvgprlemopl  6617  cauappcvgprlemopu  6619  cauappcvgprlem2  6631
  Copyright terms: Public domain W3C validator