Theorem breqtrd 3779

Description: Substitution of equal classes into a binary relation. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
breqtrd.1	|- (ph -> A RB)
breqtrd.2	|- (ph -> B = C)

Assertion

Ref	Expression
breqtrd	|- (ph -> A R C)

Proof of Theorem breqtrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breqtrd.1	. 2 |- (ph -> A RB)
2		breqtrd.2	. . 3 |- (ph -> B = C)
3	2	breq2d 3767	. 2 |- (ph -> (A RB <-> A R C))
4	1, 3	mpbid 135	1 |- (ph -> A R C)

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1242   class class class wbr 3755

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756

This theorem is referenced by:  breqtrrd  3781  syl5breq  3790  tfrexlem  5889  ltsonq  6382  addlocprlemeqgt  6515  prmuloclemcalc  6546  mullocprlem  6551  addcanprlemu  6589  ltaprlem  6591  ltaprg  6592  ltmprr  6614  cauappcvgprlemopl  6618  cauappcvgprlemloc  6624  cauappcvgprlemladdru  6628  cauappcvgprlemladdrl  6629  cauappcvgprlem1  6631  caucvgprlemm  6639  caucvgprlemopl  6640  caucvgprlemloc  6646  recexgt0sr  6701  add20  7264  mullt0  7270  ltmul1a  7375  ltm1  7593  recgt0  7597  prodgt0gt0  7598  prodgt0  7599  prodge0  7601  lemul1a  7605  recp1lt1  7646  recreclt  7647  ledivp1  7650  ltaddrp2d  8427  fz01en  8687  fzonmapblen  8813  frecfzen2  8885  ltexp2a  8960  leexp2a  8961  exple1  8964  expubnd  8965  bernneq  9022