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Theorem tfrexlem 5889
Description: The transfinite recursion function is set-like if the input is. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrexlem.1  {  |  On  Fn  `  F `  |`  }
tfrexlem.2  Fun 
F  F `  _V
Assertion
Ref Expression
tfrexlem  C  V recs F `  C  _V
Distinct variable groups:   ,,,   , F,,
Allowed substitution hints:   (,,)    C(,,)    V(,,)

Proof of Theorem tfrexlem
Dummy variables  e  h  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5121 . . . . 5  C recs F ` recs F `  C
21eleq1d 2103 . . . 4  C recs F `  _V recs F `  C  _V
32imbi2d 219 . . 3  C recs F `  _V recs F `  C  _V
4 inss2 3152 . . . . . . 7  suc 
suc  i^i  On  C_  On
5 ssorduni 4179 . . . . . . 7  suc  suc  i^i  On  C_  On  Ord  U. suc  suc  i^i  On
64, 5ax-mp 7 . . . . . 6  Ord  U. suc  suc  i^i  On
7 vex 2554 . . . . . . . . . 10 
_V
87sucex 4191 . . . . . . . . 9  suc  _V
98sucex 4191 . . . . . . . 8  suc  suc  _V
109inex1 3882 . . . . . . 7  suc 
suc  i^i  On  _V
1110uniex 4140 . . . . . 6  U. suc  suc  i^i  On  _V
12 elon2 4079 . . . . . 6  U. suc  suc  i^i  On  On  Ord  U. suc  suc  i^i  On  U. suc  suc  i^i  On  _V
136, 11, 12mpbir2an 848 . . . . 5  U. suc  suc  i^i  On  On
14 tfrexlem.1 . . . . . . 7  {  |  On  Fn  `  F `  |`  }
1514tfrlem3 5867 . . . . . 6  {  |  On  Fn  `  F `  |`  }
16 tfrexlem.2 . . . . . . 7  Fun 
F  F `  _V
17 fveq2 5121 . . . . . . . . . 10  F `  F `
1817eleq1d 2103 . . . . . . . . 9  F `  _V  F `

_V
1918anbi2d 437 . . . . . . . 8  Fun  F  F `  _V  Fun 
F  F `  _V
2019cbvalv 1791 . . . . . . 7  Fun  F  F `  _V  Fun  F  F `  _V
2116, 20sylib 127 . . . . . 6  Fun 
F  F `  _V
2215, 21tfrlemi1 5887 . . . . 5  U. suc 
suc  i^i  On  On  Fn  U. suc 
suc  i^i  On 
U. suc  suc  i^i  On `  F `  |`
2313, 22mpan2 401 . . . 4  Fn  U. suc 
suc  i^i  On 
U. suc  suc  i^i  On `  F `  |`
2415recsfval 5872 . . . . . . . . . . 11 recs F  U.
2524breqi 3761 . . . . . . . . . 10 recs F  U.
26 df-br 3756 . . . . . . . . . 10 
U.  <. ,  >.  U.
27 eluni 3574 . . . . . . . . . 10  <. ,  >.  U.  h <. ,  >.  h  h
2825, 26, 273bitri 195 . . . . . . . . 9 recs F  h <. ,  >.  h  h
297sucid 4120 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 
suc
30 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 
<. ,  >.  h  h  h
31 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  h 
_V
3214, 31tfrlem3a 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  h  t  On  h  Fn  t  e  t  h `  e  F `  h  |`  e
3330, 32sylib 127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 
<. ,  >.  h  h  t  On  h  Fn  t  e  t  h `  e  F `  h  |`  e
34 simprl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  <. , 
>.  h  h 
t  On  h  Fn  t  e  t  h `  e  F `  h  |`  e  t  On
35 simprrl 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  <. , 
>.  h  h 
t  On  h  Fn  t  e  t  h `  e  F `  h  |`  e  h  Fn  t
36 simpll 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  <. , 
>.  h  h 
t  On  h  Fn  t  e  t  h `  e  F `  h  |`  e  <. , 
>.  h
37 fnop 4945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  h  Fn  t  <. ,  >.  h  t
3835, 36, 37syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  <. , 
>.  h  h 
t  On  h  Fn  t  e  t  h `  e  F `  h  |`  e  t
39 onelon 4087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  t  On  t  On
4034, 38, 39syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  <. , 
>.  h  h 
t  On  h  Fn  t  e  t  h `  e  F `  h  |`  e  On
4133, 40rexlimddv 2431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 
<. ,  >.  h  h  On
4241adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  Fn  U. suc  suc  i^i  On  U. suc  suc  i^i  On `  F `  |`  <. ,  >.  h  h  On
43 suceloni 4193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  On  suc  On
4442, 43syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  Fn  U. suc  suc  i^i  On  U. suc  suc  i^i  On `  F `  |`  <. ,  >.  h  h 
suc  On
45 suceloni 4193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  suc  On  suc 
suc  On
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  Fn  U. suc  suc  i^i  On  U. suc  suc  i^i  On `  F `  |`  <. ,  >.  h  h 
suc  suc  On
47 onss 4185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  suc 
suc  On  suc  suc  C_  On
4846, 47syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  Fn  U. suc  suc  i^i  On  U. suc  suc  i^i  On `  F `  |`  <. ,  >.  h  h 
suc  suc  C_  On
49 df-ss 2925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  suc 
suc  C_  On  suc  suc  i^i  On  suc  suc
5048, 49sylib 127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  Fn  U. suc  suc  i^i  On  U. suc  suc  i^i  On `  F `  |`  <. ,  >.  h  h  suc  suc  i^i  On  suc  suc
5150unieqd 3582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  Fn  U. suc  suc  i^i  On  U. suc  suc  i^i  On `  F `  |`  <. ,  >.  h  h  U. suc  suc  i^i  On  U. suc  suc
52 eloni 4078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  suc  On  Ord 
suc
53 ordtr 4081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  Ord 
suc  Tr  suc
5444, 52, 533syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  Fn  U. suc  suc  i^i  On  U. suc  suc  i^i  On `  F `  |`  <. ,  >.  h  h 
Tr  suc
558unisuc 4116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  Tr 
suc  U. suc  suc  suc
5654, 55sylib 127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  Fn  U. suc  suc  i^i  On  U. suc  suc  i^i  On `  F `  |`  <. ,  >.  h  h  U. suc  suc  suc
5751, 56eqtrd 2069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  Fn  U. suc  suc  i^i  On  U. suc  suc  i^i  On `  F `  |`  <. ,  >.  h  h  U. suc  suc  i^i  On  suc
5829, 57syl5eleqr 2124 . . . . . . . . . . . . . . . 16  Fn  U. suc  suc  i^i  On  U. suc  suc  i^i  On `  F `  |`  <. ,  >.  h  h  U. suc  suc  i^i  On
59 fndm 4941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  Fn  U. suc 
suc  i^i  On  dom 
U. suc  suc  i^i  On
6059ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  Fn  U. suc  suc  i^i  On  U. suc  suc  i^i  On `  F `  |`  <. ,  >.  h  h 
dom  U. suc  suc  i^i  On
6158, 60eleqtrrd 2114 . . . . . . . . . . . . . . 15  Fn  U. suc  suc  i^i  On  U. suc  suc  i^i  On `  F `  |`  <. ,  >.  h  h  dom
627eldm 4475 . . . . . . . . . . . . . . 15  dom
6361, 62sylib 127 . . . . . . . . . . . . . 14  Fn  U. suc  suc  i^i  On  U. suc  suc  i^i  On `  F `  |`  <. ,  >.  h  h
64 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . 15  Fn 
U. suc  suc  i^i  On  U. suc  suc  i^i  On `  F `  |`  <. ,  >.  h  h
65 fneq2 4931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  U. suc 
suc  i^i  On  Fn  Fn  U. suc  suc  i^i  On
66 raleq 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  U. suc 
suc  i^i  On  `  F `  |`  U. suc  suc  i^i  On `  F `  |`
6765, 66anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  U. suc 
suc  i^i  On  Fn  `  F `  |`  Fn 
U. suc  suc  i^i  On  U. suc  suc  i^i  On `  F `  |`
6867rspcev 2650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 
U. suc  suc  i^i  On  On  Fn  U. suc 
suc  i^i  On 
U. suc  suc  i^i  On `  F `  |`  On  Fn  `  F `  |`
6913, 68mpan 400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  Fn  U. suc  suc  i^i  On 
U. suc  suc  i^i  On `  F `  |`  On  Fn  `  F `  |`
70 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 
_V
7114, 70tfrlem3a 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  On  Fn  `  F `  |`
7269, 71sylibr 137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  Fn  U. suc  suc  i^i  On 
U. suc  suc  i^i  On `  F `  |`
7372ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  Fn 
U. suc  suc  i^i  On  U. suc  suc  i^i  On `  F `  |`  <. ,  >.  h  h
74 simplrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  Fn 
U. suc  suc  i^i  On  U. suc  suc  i^i  On `  F `  |`  <. ,  >.  h  h 
h
75 simplrl 487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  Fn 
U. suc  suc  i^i  On  U. suc  suc  i^i  On `  F `  |`  <. ,  >.  h  h  <. ,  >.  h
76 df-br 3756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  h  <. ,  >.  h
7775, 76sylibr 137 . . . . . . . . . . . . . . . 16  Fn 
U. suc  suc  i^i  On  U. suc  suc  i^i  On `  F `  |`  <. ,  >.  h  h  h
7815tfrlem5 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  h  h
7978imp 115 . . . . . . . . . . . . . . . 16  h  h
8073, 74, 64, 77, 79syl22anc 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15  Fn 
U. suc  suc  i^i  On  U. suc  suc  i^i  On `  F `  |`  <. ,  >.  h  h
8164, 80breqtrd 3779 . . . . . . . . . . . . . 14  Fn 
U. suc  suc  i^i  On  U. suc  suc  i^i  On `  F `  |`  <. ,  >.  h  h
8263, 81exlimddv 1775 . . . . . . . . . . . . 13  Fn  U. suc  suc  i^i  On  U. suc  suc  i^i  On `  F `  |`  <. ,  >.  h  h
83 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . 14 
_V
847, 83brelrn 4510 . . . . . . . . . . . . 13  ran
8582, 84syl 14 . . . . . . . . . . . 12  Fn  U. suc  suc  i^i  On  U. suc  suc  i^i  On `  F `  |`  <. ,  >.  h  h  ran
86 elssuni 3599 . . . . . . . . . . . 12  ran  C_  U. ran
8785, 86syl 14 . . . . . . . . . . 11  Fn  U. suc  suc  i^i  On  U. suc  suc  i^i  On `  F `  |`  <. ,  >.  h  h  C_  U. ran
8887ex 108 . . . . . . . . . 10  Fn  U. suc  suc  i^i  On 
U. suc  suc  i^i  On `  F `  |`  <. , 
>.  h  h  C_ 
U. ran
8988exlimdv 1697 . . . . . . . . 9  Fn  U. suc  suc  i^i  On 
U. suc  suc  i^i  On `  F `  |`  h <. ,  >.  h  h  C_  U. ran
9028, 89syl5bi 141 . . . . . . . 8  Fn  U. suc  suc  i^i  On 
U. suc  suc  i^i  On `  F `  |` recs F  C_  U. ran
9190alrimiv 1751 . . . . . . 7  Fn  U. suc  suc  i^i  On 
U. suc  suc  i^i  On `  F `  |` recs F  C_ 
U. ran
92 fvss 5132 . . . . . . 7 recs F  C_ 
U. ran recs F `
 C_  U.
ran
9391, 92syl 14 . . . . . 6  Fn  U. suc  suc  i^i  On 
U. suc  suc  i^i  On `  F `  |` recs F `  C_  U. ran
9470rnex 4542 . . . . . . . 8  ran  _V
9594uniex 4140 . . . . . . 7  U. ran  _V
9695ssex 3885 . . . . . 6 recs F `  C_  U. ran recs F `  _V
9793, 96syl 14 . . . . 5  Fn  U. suc  suc  i^i  On 
U. suc  suc  i^i  On `  F `  |` recs F `  _V
9897exlimiv 1486 . . . 4  Fn  U. suc  suc  i^i  On  U. suc  suc  i^i  On `  F `  |` recs F `  _V
9923, 98syl 14 . . 3 recs F `

_V
1003, 99vtoclg 2607 . 2  C  V recs F `  C  _V
101100impcom 116 1  C  V recs F `  C  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97  wal 1240   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   {cab 2023  wral 2300  wrex 2301   _Vcvv 2551    i^i cin 2910    C_ wss 2911   <.cop 3370   U.cuni 3571   class class class wbr 3755   Tr wtr 3845   Ord word 4065   Oncon0 4066   suc csuc 4068   dom cdm 4288   ran crn 4289    |` cres 4290   Fun wfun 4839    Fn wfn 4840   ` cfv 4845  recscrecs 5860
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-recs 5861
This theorem is referenced by:  tfrex  5895
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