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Theorem bernneq 9022
Description: Bernoulli's inequality, due to Johan Bernoulli (1667-1748). (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
bernneq  RR  N  NN0  -u 1  <_ 
1  +  x.  N 
<_  1  +  ^ N

Proof of Theorem bernneq
Dummy variables  j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5463 . . . . . . . 8  j  0  x.  j  x.  0
21oveq2d 5471 . . . . . . 7  j  0 
1  +  x.  j  1  +  x.  0
3 oveq2 5463 . . . . . . 7  j  0  1  +  ^ j  1  +  ^ 0
42, 3breq12d 3768 . . . . . 6  j  0  1  +  x.  j  <_ 
1  +  ^ j  1  +  x.  0  <_  1  +  ^ 0
54imbi2d 219 . . . . 5  j  0  RR  -u 1  <_  1  +  x.  j  <_ 
1  +  ^ j  RR  -u 1  <_  1  +  x.  0  <_  1  +  ^ 0
6 oveq2 5463 . . . . . . . 8  j  k  x.  j  x.  k
76oveq2d 5471 . . . . . . 7  j  k 
1  +  x.  j  1  +  x.  k
8 oveq2 5463 . . . . . . 7  j  k  1  +  ^ j  1  +  ^ k
97, 8breq12d 3768 . . . . . 6  j  k  1  +  x.  j  <_ 
1  +  ^ j  1  +  x.  k  <_  1  +  ^ k
109imbi2d 219 . . . . 5  j  k  RR  -u 1  <_  1  +  x.  j  <_ 
1  +  ^ j  RR  -u 1  <_  1  +  x.  k  <_  1  +  ^ k
11 oveq2 5463 . . . . . . . 8  j  k  +  1  x.  j  x. 
k  +  1
1211oveq2d 5471 . . . . . . 7  j  k  +  1 
1  +  x.  j  1  +  x. 
k  +  1
13 oveq2 5463 . . . . . . 7  j  k  +  1  1  +  ^ j  1  +  ^
k  +  1
1412, 13breq12d 3768 . . . . . 6  j  k  +  1  1  +  x.  j  <_ 
1  +  ^ j  1  +  x.  k  +  1  <_  1  +  ^ k  +  1
1514imbi2d 219 . . . . 5  j  k  +  1  RR  -u 1  <_  1  +  x.  j  <_ 
1  +  ^ j  RR  -u 1  <_  1  +  x. 
k  +  1  <_  1  +  ^ k  +  1
16 oveq2 5463 . . . . . . . 8  j  N  x.  j  x.  N
1716oveq2d 5471 . . . . . . 7  j  N 
1  +  x.  j  1  +  x.  N
18 oveq2 5463 . . . . . . 7  j  N  1  +  ^ j  1  +  ^ N
1917, 18breq12d 3768 . . . . . 6  j  N  1  +  x.  j  <_ 
1  +  ^ j  1  +  x.  N  <_  1  +  ^ N
2019imbi2d 219 . . . . 5  j  N  RR  -u 1  <_  1  +  x.  j  <_ 
1  +  ^ j  RR  -u 1  <_  1  +  x.  N  <_  1  +  ^ N
21 recn 6812 . . . . . . 7  RR  CC
22 mul01 7182 . . . . . . . . . 10  CC  x.  0  0
2322oveq2d 5471 . . . . . . . . 9  CC 
1  +  x.  0  1  +  0
24 1p0e1 7810 . . . . . . . . 9  1  +  0  1
2523, 24syl6eq 2085 . . . . . . . 8  CC 
1  +  x.  0  1
26 1le1 7356 . . . . . . . . 9  1  <_  1
27 ax-1cn 6776 . . . . . . . . . . 11  1  CC
28 addcl 6804 . . . . . . . . . . 11  1  CC  CC  1  +  CC
2927, 28mpan 400 . . . . . . . . . 10  CC 
1  +  CC
30 exp0 8913 . . . . . . . . . 10  1  +  CC  1  +  ^ 0  1
3129, 30syl 14 . . . . . . . . 9  CC  1  +  ^ 0  1
3226, 31syl5breqr 3791 . . . . . . . 8  CC  1  <_  1  +  ^ 0
3325, 32eqbrtrd 3775 . . . . . . 7  CC 
1  +  x.  0 
<_  1  +  ^ 0
3421, 33syl 14 . . . . . 6  RR 
1  +  x.  0 
<_  1  +  ^ 0
3534adantr 261 . . . . 5  RR  -u 1  <_  1  +  x.  0  <_ 
1  +  ^ 0
36 1re 6824 . . . . . . . . . . . . . 14  1  RR
37 nn0re 7966 . . . . . . . . . . . . . . 15  k  NN0  k  RR
38 remulcl 6807 . . . . . . . . . . . . . . 15  RR  k  RR  x.  k  RR
3937, 38sylan2 270 . . . . . . . . . . . . . 14  RR  k  NN0  x.  k  RR
40 readdcl 6805 . . . . . . . . . . . . . 14  1  RR  x.  k  RR  1  +  x.  k  RR
4136, 39, 40sylancr 393 . . . . . . . . . . . . 13  RR  k  NN0  1  +  x.  k  RR
42 simpl 102 . . . . . . . . . . . . 13  RR  k  NN0  RR
43 readdcl 6805 . . . . . . . . . . . . 13  1  +  x.  k  RR  RR  1  +  x.  k  +  RR
4441, 42, 43syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12  RR  k  NN0  1  +  x.  k  +  RR
4544adantr 261 . . . . . . . . . . 11  RR  k  NN0  -u 1  <_  1  +  x.  k  <_  1  +  ^ k  1  +  x.  k  +  RR
46 readdcl 6805 . . . . . . . . . . . . . . 15  1  RR  RR  1  +  RR
4736, 46mpan 400 . . . . . . . . . . . . . 14  RR 
1  +  RR
4847adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13  RR  k  NN0  1  +  RR
4941, 48remulcld 6853 . . . . . . . . . . . 12  RR  k  NN0  1  +  x.  k  x.  1  +  RR
5049adantr 261 . . . . . . . . . . 11  RR  k  NN0  -u 1  <_  1  +  x.  k  <_  1  +  ^ k  1  +  x.  k  x.  1  +  RR
51 reexpcl 8926 . . . . . . . . . . . . . 14  1  +  RR  k  NN0  1  +  ^ k  RR
5247, 51sylan 267 . . . . . . . . . . . . 13  RR  k  NN0  1  +  ^ k  RR
5352, 48remulcld 6853 . . . . . . . . . . . 12  RR  k  NN0  1  +  ^ k  x.  1  +  RR
5453adantr 261 . . . . . . . . . . 11  RR  k  NN0  -u 1  <_  1  +  x.  k  <_  1  +  ^ k  1  +  ^ k  x.  1  +  RR
55 remulcl 6807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  RR  RR  x.  RR
5655anidms 377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  RR  x.  RR
57 msqge0 7400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  RR  0  <_  x.
5856, 57jca 290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  RR  x.  RR  0  <_  x.
59 nn0ge0 7983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  k  NN0  0  <_  k
6037, 59jca 290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  k  NN0 
k  RR  0  <_  k
61 mulge0 7403 . . . . . . . . . . . . . . . 16  x.  RR  0  <_  x.  k  RR  0  <_  k  0  <_  x.  x.  k
6258, 60, 61syl2an 273 . . . . . . . . . . . . . . 15  RR  k  NN0  0  <_  x.  x.  k
6321adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . 16  RR  k  NN0  CC
64 nn0cn 7967 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  k  NN0  k  CC
6564adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . 16  RR  k  NN0  k  CC
6663, 63, 65mul32d 6963 . . . . . . . . . . . . . . 15  RR  k  NN0  x.  x.  k  x.  k  x.
6762, 66breqtrd 3779 . . . . . . . . . . . . . 14  RR  k  NN0  0  <_  x.  k  x.
68 simpl 102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  RR  k  RR  RR
6938, 68remulcld 6853 . . . . . . . . . . . . . . . 16  RR  k  RR  x.  k  x.  RR
7037, 69sylan2 270 . . . . . . . . . . . . . . 15  RR  k  NN0  x.  k  x.  RR
7144, 70addge01d 7319 . . . . . . . . . . . . . 14  RR  k  NN0  0  <_  x.  k  x.  1  +  x.  k  +  <_  1  +  x.  k  +  +  x.  k  x.
7267, 71mpbid 135 . . . . . . . . . . . . 13  RR  k  NN0  1  +  x.  k  + 
<_  1  +  x.  k  +  +  x.  k  x.
73 mulcl 6806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  CC  k  CC  x.  k  CC
74 addcl 6804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  1  CC  x.  k  CC  1  +  x.  k  CC
7527, 73, 74sylancr 393 . . . . . . . . . . . . . . . 16  CC  k  CC  1  +  x.  k  CC
76 simpl 102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  CC  k  CC  CC
7773, 76mulcld 6845 . . . . . . . . . . . . . . . 16  CC  k  CC  x.  k  x.  CC
7875, 76, 77addassd 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15  CC  k  CC  1  +  x.  k  +  +  x.  k  x.  1  +  x.  k  +  +  x.  k  x.
79 muladd11 6943 . . . . . . . . . . . . . . . 16  x.  k  CC  CC  1  +  x.  k  x.  1  +  1  +  x.  k  +  +  x.  k  x.
8073, 76, 79syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . 15  CC  k  CC  1  +  x.  k  x. 
1  +  1  +  x.  k  +  +  x.  k  x.
8178, 80eqtr4d 2072 . . . . . . . . . . . . . 14  CC  k  CC  1  +  x.  k  +  +  x.  k  x.  1  +  x.  k  x.  1  +
8221, 64, 81syl2an 273 . . . . . . . . . . . . 13  RR  k  NN0  1  +  x.  k  +  +  x.  k  x.  1  +  x.  k  x. 
1  +
8372, 82breqtrd 3779 . . . . . . . . . . . 12  RR  k  NN0  1  +  x.  k  + 
<_  1  +  x.  k  x. 
1  +
8483adantr 261 . . . . . . . . . . 11  RR  k  NN0  -u 1  <_  1  +  x.  k  <_  1  +  ^ k  1  +  x.  k  +  <_  1  +  x.  k  x.  1  +
8541adantr 261 . . . . . . . . . . . 12  RR  k  NN0  -u 1  <_  1  +  x.  k  <_  1  +  ^ k  1  +  x.  k  RR
8652adantr 261 . . . . . . . . . . . 12  RR  k  NN0  -u 1  <_  1  +  x.  k  <_  1  +  ^ k  1  +  ^ k  RR
8748adantr 261 . . . . . . . . . . . 12  RR  k  NN0  -u 1  <_  1  +  x.  k  <_  1  +  ^ k  1  +  RR
88 neg1rr 7801 . . . . . . . . . . . . . . . 16  -u 1  RR
89 leadd2 7221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 
-u 1  RR  RR  1  RR  -u 1  <_  1  +  -u
1  <_ 
1  +
9088, 36, 89mp3an13 1222 . . . . . . . . . . . . . . 15  RR  -u 1  <_  1  +  -u 1  <_  1  +
91 1pneg1e0 7806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  1  +  -u 1  0
9291breq1i 3762 . . . . . . . . . . . . . . 15  1  +  -u 1  <_  1  +  0  <_  1  +
9390, 92syl6bb 185 . . . . . . . . . . . . . 14  RR  -u 1  <_  0  <_  1  +
9493biimpa 280 . . . . . . . . . . . . 13  RR  -u 1  <_  0  <_  1  +
9594ad2ant2r 478 . . . . . . . . . . . 12  RR  k  NN0  -u 1  <_  1  +  x.  k  <_  1  +  ^ k  0  <_  1  +
96 simprr 484 . . . . . . . . . . . 12  RR  k  NN0  -u 1  <_  1  +  x.  k  <_  1  +  ^ k  1  +  x.  k  <_  1  +  ^ k
9785, 86, 87, 95, 96lemul1ad 7686 . . . . . . . . . . 11  RR  k  NN0  -u 1  <_  1  +  x.  k  <_  1  +  ^ k  1  +  x.  k  x.  1  +  <_  1  +  ^ k  x.  1  +
9845, 50, 54, 84, 97letrd 6935 . . . . . . . . . 10  RR  k  NN0  -u 1  <_  1  +  x.  k  <_  1  +  ^ k  1  +  x.  k  +  <_  1  +  ^ k  x.  1  +
99 adddi 6811 . . . . . . . . . . . . . . . 16  CC  k  CC  1  CC  x.  k  +  1  x.  k  +  x.  1
10027, 99mp3an3 1220 . . . . . . . . . . . . . . 15  CC  k  CC  x. 
k  +  1  x.  k  +  x.  1
101 mulid1 6822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  CC  x.  1
102101adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . 16  CC  k  CC  x.  1
103102oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . . . . 15  CC  k  CC  x.  k  +  x.  1  x.  k  +
104100, 103eqtrd 2069 . . . . . . . . . . . . . 14  CC  k  CC  x. 
k  +  1  x.  k  +
105104oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . . 13  CC  k  CC  1  +  x.  k  +  1  1  +  x.  k  +
106 addass 6809 . . . . . . . . . . . . . . 15  1  CC  x.  k  CC  CC  1  +  x.  k  +  1  +  x.  k  +
10727, 106mp3an1 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  x.  k  CC  CC  1  +  x.  k  +  1  +  x.  k  +
10873, 76, 107syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . 13  CC  k  CC  1  +  x.  k  +  1  +  x.  k  +
109105, 108eqtr4d 2072 . . . . . . . . . . . 12  CC  k  CC  1  +  x.  k  +  1  1  +  x.  k  +
11021, 64, 109syl2an 273 . . . . . . . . . . 11  RR  k  NN0  1  +  x.  k  +  1  1  +  x.  k  +
111110adantr 261 . . . . . . . . . 10  RR  k  NN0  -u 1  <_  1  +  x.  k  <_  1  +  ^ k  1  +  x.  k  +  1  1  +  x.  k  +
11227, 21, 28sylancr 393 . . . . . . . . . . . 12  RR 
1  +  CC
113 expp1 8916 . . . . . . . . . . . 12  1  +  CC  k  NN0  1  +  ^ k  +  1  1  +  ^
k  x. 
1  +
114112, 113sylan 267 . . . . . . . . . . 11  RR  k  NN0  1  +  ^ k  +  1  1  +  ^
k  x. 
1  +
115114adantr 261 . . . . . . . . . 10  RR  k  NN0  -u 1  <_  1  +  x.  k  <_  1  +  ^ k  1  +  ^ k  +  1  1  +  ^
k  x. 
1  +
11698, 111, 1153brtr4d 3785 . . . . . . . . 9  RR  k  NN0  -u 1  <_  1  +  x.  k  <_  1  +  ^ k  1  +  x.  k  +  1  <_  1  +  ^ k  +  1
117116exp43 354 . . . . . . . 8  RR 
k  NN0  -u 1  <_  1  +  x.  k  <_  1  +  ^ k  1  +  x.  k  +  1  <_ 
1  +  ^ k  +  1
118117com12 27 . . . . . . 7  k  NN0  RR  -u 1  <_  1  +  x.  k  <_  1  +  ^ k  1  +  x.  k  +  1  <_ 
1  +  ^ k  +  1
119118impd 242 . . . . . 6  k  NN0  RR  -u 1  <_  1  +  x.  k  <_  1  +  ^ k  1  +  x.  k  +  1  <_ 
1  +  ^ k  +  1
120119a2d 23 . . . . 5  k  NN0  RR  -u 1  <_  1  +  x.  k  <_ 
1  +  ^ k  RR  -u 1  <_  1  +  x. 
k  +  1  <_  1  +  ^ k  +  1
1215, 10, 15, 20, 35, 120nn0ind 8128 . . . 4  N  NN0  RR  -u 1  <_  1  +  x.  N  <_ 
1  +  ^ N
122121expd 245 . . 3  N  NN0  RR  -u 1  <_  1  +  x.  N  <_ 
1  +  ^ N
123122com12 27 . 2  RR  N  NN0  -u 1  <_  1  +  x.  N  <_ 
1  +  ^ N
1241233imp 1097 1  RR  N  NN0  -u 1  <_ 
1  +  x.  N 
<_  1  +  ^ N
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455   CCcc 6709   RRcr 6710   0cc0 6711   1c1 6712    + caddc 6714    x. cmul 6716    <_ cle 6858   -ucneg 6980   NN0cn0 7957   ^cexp 8908
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-iseq 8893  df-iexp 8909
This theorem is referenced by:  bernneq2  9023
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