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Theorem bernneq 9369
Description: Bernoulli's inequality, due to Johan Bernoulli (1667-1748). (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
bernneq  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  N ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^ N ) )

Proof of Theorem bernneq
Dummy variables  j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5520 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  0  ->  ( A  x.  j )  =  ( A  x.  0 ) )
21oveq2d 5528 . . . . . . 7  |-  ( j  =  0  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  =  ( 1  +  ( A  x.  0 ) ) )
3 oveq2 5520 . . . . . . 7  |-  ( j  =  0  ->  (
( 1  +  A
) ^ j )  =  ( ( 1  +  A ) ^
0 ) )
42, 3breq12d 3777 . . . . . 6  |-  ( j  =  0  ->  (
( 1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ j )  <->  ( 1  +  ( A  x.  0 ) )  <_ 
( ( 1  +  A ) ^ 0 ) ) )
54imbi2d 219 . . . . 5  |-  ( j  =  0  ->  (
( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
j ) )  <->  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  0 ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
0 ) ) ) )
6 oveq2 5520 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  ( A  x.  j )  =  ( A  x.  k ) )
76oveq2d 5528 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  =  ( 1  +  ( A  x.  k
) ) )
8 oveq2 5520 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
( 1  +  A
) ^ j )  =  ( ( 1  +  A ) ^
k ) )
97, 8breq12d 3777 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
( 1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ j )  <->  ( 1  +  ( A  x.  k ) )  <_ 
( ( 1  +  A ) ^ k
) ) )
109imbi2d 219 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
j ) )  <->  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  k ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
k ) ) ) )
11 oveq2 5520 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( A  x.  j )  =  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )
1211oveq2d 5528 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  =  ( 1  +  ( A  x.  (
k  +  1 ) ) ) )
13 oveq2 5520 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( 1  +  A
) ^ j )  =  ( ( 1  +  A ) ^
( k  +  1 ) ) )
1412, 13breq12d 3777 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( 1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ j )  <->  ( 1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( ( 1  +  A ) ^ (
k  +  1 ) ) ) )
1514imbi2d 219 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
j ) )  <->  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
( k  +  1 ) ) ) ) )
16 oveq2 5520 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  N  ->  ( A  x.  j )  =  ( A  x.  N ) )
1716oveq2d 5528 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  =  ( 1  +  ( A  x.  N
) ) )
18 oveq2 5520 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  (
( 1  +  A
) ^ j )  =  ( ( 1  +  A ) ^ N ) )
1917, 18breq12d 3777 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  (
( 1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ j )  <->  ( 1  +  ( A  x.  N ) )  <_ 
( ( 1  +  A ) ^ N
) ) )
2019imbi2d 219 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  (
( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  j ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
j ) )  <->  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  N ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^ N ) ) ) )
21 recn 7014 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
22 mul01 7386 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )
2322oveq2d 5528 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  ( A  x.  0 ) )  =  ( 1  +  0 ) )
24 1p0e1 8032 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  0 )  =  1
2523, 24syl6eq 2088 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  ( A  x.  0 ) )  =  1 )
26 1le1 7563 . . . . . . . . 9  |-  1  <_  1
27 ax-1cn 6977 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
28 addcl 7006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  +  A
)  e.  CC )
2927, 28mpan 400 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  A )  e.  CC )
30 exp0 9259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  +  A )  e.  CC  ->  (
( 1  +  A
) ^ 0 )  =  1 )
3129, 30syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 1  +  A
) ^ 0 )  =  1 )
3226, 31syl5breqr 3800 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  1  <_  ( ( 1  +  A ) ^ 0 ) )
3325, 32eqbrtrd 3784 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  +  ( A  x.  0 ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
0 ) )
3421, 33syl 14 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  +  ( A  x.  0 ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
0 ) )
3534adantr 261 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  ( 1  +  ( A  x.  0 ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ 0 ) )
36 1re 7026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
37 nn0re 8190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
38 remulcl 7009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( A  x.  k
)  e.  RR )
3937, 38sylan2 270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A  x.  k
)  e.  RR )
40 readdcl 7007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( A  x.  k
)  e.  RR )  ->  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  e.  RR )
4136, 39, 40sylancr 393 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( A  x.  k ) )  e.  RR )
42 simpl 102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  RR )
43 readdcl 7007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  e.  RR )
4441, 42, 43syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  e.  RR )
4544adantr 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  e.  RR )
46 readdcl 7007 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 1  +  A
)  e.  RR )
4736, 46mpan 400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  +  A )  e.  RR )
4847adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  A
)  e.  RR )
4941, 48remulcld 7056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  x.  (
1  +  A ) )  e.  RR )
5049adantr 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( 1  +  ( A  x.  k ) )  x.  ( 1  +  A ) )  e.  RR )
51 reexpcl 9272 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  +  A
)  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  A ) ^ k
)  e.  RR )
5247, 51sylan 267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  A ) ^ k
)  e.  RR )
5352, 48remulcld 7056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( 1  +  A ) ^
k )  x.  (
1  +  A ) )  e.  RR )
5453adantr 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( ( 1  +  A ) ^ k
)  x.  ( 1  +  A ) )  e.  RR )
55 remulcl 7009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( A  x.  A
)  e.  RR )
5655anidms 377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  x.  A )  e.  RR )
57 msqge0 7607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( A  x.  A
) )
5856, 57jca 290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  x.  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( A  x.  A ) ) )
59 nn0ge0 8207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  ->  0  <_ 
k )
6037, 59jca 290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  e.  RR  /\  0  <_  k ) )
61 mulge0 7610 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  x.  A )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  x.  A ) )  /\  ( k  e.  RR  /\  0  <_  k )
)  ->  0  <_  ( ( A  x.  A
)  x.  k ) )
6258, 60, 61syl2an 273 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( ( A  x.  A )  x.  k ) )
6321adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
64 nn0cn 8191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
6564adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  CC )
6663, 63, 65mul32d 7166 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( A  x.  A )  x.  k
)  =  ( ( A  x.  k )  x.  A ) )
6762, 66breqtrd 3788 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( ( A  x.  k )  x.  A ) )
68 simpl 102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
6938, 68remulcld 7056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( ( A  x.  k )  x.  A
)  e.  RR )
7037, 69sylan2 270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( A  x.  k )  x.  A
)  e.  RR )
7144, 70addge01d 7524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  (
( A  x.  k
)  x.  A )  <-> 
( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  <_  ( (
( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  +  ( ( A  x.  k )  x.  A ) ) ) )
7267, 71mpbid 135 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  <_  ( (
( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  +  ( ( A  x.  k )  x.  A ) ) )
73 mulcl 7008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( A  x.  k
)  e.  CC )
74 addcl 7006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A  x.  k
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  e.  CC )
7527, 73, 74sylancr 393 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( A  x.  k ) )  e.  CC )
76 simpl 102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
7773, 76mulcld 7047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  k )  x.  A
)  e.  CC )
7875, 76, 77addassd 7049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  +  ( ( A  x.  k
)  x.  A ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  ( A  +  ( ( A  x.  k )  x.  A
) ) ) )
79 muladd11 7146 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  x.  k
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  x.  (
1  +  A ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  ( A  +  ( ( A  x.  k )  x.  A
) ) ) )
8073, 76, 79syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  x.  (
1  +  A ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  ( A  +  ( ( A  x.  k )  x.  A
) ) ) )
8178, 80eqtr4d 2075 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  +  ( ( A  x.  k
)  x.  A ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  x.  ( 1  +  A ) ) )
8221, 64, 81syl2an 273 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  +  ( ( A  x.  k
)  x.  A ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  x.  ( 1  +  A ) ) )
8372, 82breqtrd 3788 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  <_  ( (
1  +  ( A  x.  k ) )  x.  ( 1  +  A ) ) )
8483adantr 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  <_  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  x.  ( 1  +  A
) ) )
8541adantr 261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
1  +  ( A  x.  k ) )  e.  RR )
8652adantr 261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( 1  +  A
) ^ k )  e.  RR )
8748adantr 261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
1  +  A )  e.  RR )
88 neg1rr 8023 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u 1  e.  RR
89 leadd2 7426 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( -u 1  <_  A 
<->  ( 1  +  -u
1 )  <_  (
1  +  A ) ) )
9088, 36, 89mp3an13 1223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  A  <->  ( 1  +  -u 1 )  <_ 
( 1  +  A
) ) )
91 1pneg1e0 8028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
9291breq1i 3771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  +  -u 1
)  <_  ( 1  +  A )  <->  0  <_  ( 1  +  A ) )
9390, 92syl6bb 185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  A  <->  0  <_  ( 1  +  A ) ) )
9493biimpa 280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  0  <_  ( 1  +  A ) )
9594ad2ant2r 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  0  <_  ( 1  +  A
) )
96 simprr 484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
1  +  ( A  x.  k ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
k ) )
9785, 86, 87, 95, 96lemul1ad 7905 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( 1  +  ( A  x.  k ) )  x.  ( 1  +  A ) )  <_  ( ( ( 1  +  A ) ^ k )  x.  ( 1  +  A
) ) )
9845, 50, 54, 84, 97letrd 7138 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A )  <_  ( ( ( 1  +  A ) ^ k )  x.  ( 1  +  A
) ) )
99 adddi 7013 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( k  +  1 ) )  =  ( ( A  x.  k )  +  ( A  x.  1 ) ) )
10027, 99mp3an3 1221 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
k  +  1 ) )  =  ( ( A  x.  k )  +  ( A  x.  1 ) ) )
101 mulid1 7024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
102101adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
103102oveq2d 5528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  k )  +  ( A  x.  1 ) )  =  ( ( A  x.  k )  +  A ) )
104100, 103eqtrd 2072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
k  +  1 ) )  =  ( ( A  x.  k )  +  A ) )
105104oveq2d 5528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  =  ( 1  +  ( ( A  x.  k )  +  A ) ) )
106 addass 7011 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A  x.  k
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  =  ( 1  +  ( ( A  x.  k )  +  A ) ) )
10727, 106mp3an1 1219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  x.  k
)  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  =  ( 1  +  ( ( A  x.  k )  +  A ) ) )
10873, 76, 107syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  +  A
)  =  ( 1  +  ( ( A  x.  k )  +  A ) ) )
109105, 108eqtr4d 2075 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A ) )
11021, 64, 109syl2an 273 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A ) )
111110adantr 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  +  A ) )
11227, 21, 28sylancr 393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  +  A )  e.  CC )
113 expp1 9262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  +  A
)  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  A ) ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  +  A
) ^ k )  x.  ( 1  +  A ) ) )
114112, 113sylan 267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  A ) ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  +  A
) ^ k )  x.  ( 1  +  A ) ) )
115114adantr 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
( 1  +  A
) ^ ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( 1  +  A ) ^ k )  x.  ( 1  +  A
) ) )
11698, 111, 1153brtr4d 3794 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( -u 1  <_  A  /\  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) ) )  ->  (
1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
( k  +  1 ) ) )
117116exp43 354 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
k  e.  NN0  ->  (
-u 1  <_  A  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k )  ->  ( 1  +  ( A  x.  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
118117com12 27 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  A  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ k )  -> 
( 1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
119118impd 242 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  ( ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k )  ->  ( 1  +  ( A  x.  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
120119a2d 23 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  ( 1  +  ( A  x.  k
) )  <_  (
( 1  +  A
) ^ k ) )  ->  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^
( k  +  1 ) ) ) ) )
1215, 10, 15, 20, 35, 120nn0ind 8352 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  RR  /\  -u 1  <_  A )  ->  ( 1  +  ( A  x.  N ) )  <_  ( (
1  +  A ) ^ N ) ) )
122121expd 245 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  A  ->  ( 1  +  ( A  x.  N ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^ N ) ) ) )
123122com12 27 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( -u 1  <_  A  ->  ( 1  +  ( A  x.  N ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^ N ) ) ) )
1241233imp 1098 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  -u 1  <_  A )  ->  (
1  +  ( A  x.  N ) )  <_  ( ( 1  +  A ) ^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    /\ w3a 885    = wceq 1243    e. wcel 1393   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512   CCcc 6887   RRcr 6888   0cc0 6889   1c1 6890    + caddc 6892    x. cmul 6894    <_ cle 7061   -ucneg 7183   NN0cn0 8181   ^cexp 9254
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-iseq 9212  df-iexp 9255
This theorem is referenced by:  bernneq2  9370
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