Theorem bernneq 9369

Description: Bernoulli's inequality, due to Johan Bernoulli (1667-1748). (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
bernneq	|- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ -u 1 <_ A ) -> ( 1 + ( A x. N ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ N ) )

Proof of Theorem bernneq

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5520	. . . . . . . 8 |- ( j = 0 -> ( A x. j ) = ( A x. 0 ) )
2	1	oveq2d 5528	. . . . . . 7 |- ( j = 0 -> ( 1 + ( A x. j ) ) = ( 1 + ( A x. 0 ) ) )
3		oveq2 5520	. . . . . . 7 |- ( j = 0 -> ( ( 1 + A ) ^ j ) = ( ( 1 + A ) ^ 0 ) )
4	2, 3	breq12d 3777	. . . . . 6 |- ( j = 0 -> ( ( 1 + ( A x. j ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ j ) <-> ( 1 + ( A x. 0 ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ 0 ) ) )
5	4	imbi2d 219	. . . . 5 |- ( j = 0 -> ( ( ( A e. RR /\ -u 1 <_ A ) -> ( 1 + ( A x. j ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ j ) ) <-> ( ( A e. RR /\ -u 1 <_ A ) -> ( 1 + ( A x. 0 ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ 0 ) ) ) )
6		oveq2 5520	. . . . . . . 8 |- ( j = k -> ( A x. j ) = ( A x. k ) )
7	6	oveq2d 5528	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( 1 + ( A x. j ) ) = ( 1 + ( A x. k ) ) )
8		oveq2 5520	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( ( 1 + A ) ^ j ) = ( ( 1 + A ) ^ k ) )
9	7, 8	breq12d 3777	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( ( 1 + ( A x. j ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ j ) <-> ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) ) )
10	9	imbi2d 219	. . . . 5 |- ( j = k -> ( ( ( A e. RR /\ -u 1 <_ A ) -> ( 1 + ( A x. j ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ j ) ) <-> ( ( A e. RR /\ -u 1 <_ A ) -> ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) ) ) )
11		oveq2 5520	. . . . . . . 8 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( A x. j ) = ( A x. ( k + 1 ) ) )
12	11	oveq2d 5528	. . . . . . 7 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( 1 + ( A x. j ) ) = ( 1 + ( A x. ( k + 1 ) ) ) )
13		oveq2 5520	. . . . . . 7 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( 1 + A ) ^ j ) = ( ( 1 + A ) ^ ( k + 1 ) ) )
14	12, 13	breq12d 3777	. . . . . 6 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( 1 + ( A x. j ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ j ) <-> ( 1 + ( A x. ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ ( k + 1 ) ) ) )
15	14	imbi2d 219	. . . . 5 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ( A e. RR /\ -u 1 <_ A ) -> ( 1 + ( A x. j ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ j ) ) <-> ( ( A e. RR /\ -u 1 <_ A ) -> ( 1 + ( A x. ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
16		oveq2 5520	. . . . . . . 8 |- ( j = N -> ( A x. j ) = ( A x. N ) )
17	16	oveq2d 5528	. . . . . . 7 |- ( j = N -> ( 1 + ( A x. j ) ) = ( 1 + ( A x. N ) ) )
18		oveq2 5520	. . . . . . 7 |- ( j = N -> ( ( 1 + A ) ^ j ) = ( ( 1 + A ) ^ N ) )
19	17, 18	breq12d 3777	. . . . . 6 |- ( j = N -> ( ( 1 + ( A x. j ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ j ) <-> ( 1 + ( A x. N ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ N ) ) )
20	19	imbi2d 219	. . . . 5 |- ( j = N -> ( ( ( A e. RR /\ -u 1 <_ A ) -> ( 1 + ( A x. j ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ j ) ) <-> ( ( A e. RR /\ -u 1 <_ A ) -> ( 1 + ( A x. N ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ N ) ) ) )
21		recn 7014	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> A e. CC )
22		mul01 7386	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( A x. 0 ) = 0 )
23	22	oveq2d 5528	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( 1 + ( A x. 0 ) ) = ( 1 + 0 ) )
24		1p0e1 8032	. . . . . . . . 9 |- ( 1 + 0 ) = 1
25	23, 24	syl6eq 2088	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( 1 + ( A x. 0 ) ) = 1 )
26		1le1 7563	. . . . . . . . 9 |- 1 <_ 1
27		ax-1cn 6977	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
28		addcl 7006	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 1 + A ) e. CC )
29	27, 28	mpan 400	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( 1 + A ) e. CC )
30		exp0 9259	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 + A ) e. CC -> ( ( 1 + A ) ^ 0 ) = 1 )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( 1 + A ) ^ 0 ) = 1 )
32	26, 31	syl5breqr 3800	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> 1 <_ ( ( 1 + A ) ^ 0 ) )
33	25, 32	eqbrtrd 3784	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( 1 + ( A x. 0 ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ 0 ) )
34	21, 33	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( 1 + ( A x. 0 ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ 0 ) )
35	34	adantr 261	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ -u 1 <_ A ) -> ( 1 + ( A x. 0 ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ 0 ) )
36		1re 7026	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. RR
37		nn0re 8190	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN0 -> k e. RR )
38		remulcl 7009	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. RR /\ k e. RR ) -> ( A x. k ) e. RR )
39	37, 38	sylan2 270	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( A x. k ) e. RR )
40		readdcl 7007	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. RR /\ ( A x. k ) e. RR ) -> ( 1 + ( A x. k ) ) e. RR )
41	36, 39, 40	sylancr 393	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( 1 + ( A x. k ) ) e. RR )
42		simpl 102	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> A e. RR )
43		readdcl 7007	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 + ( A x. k ) ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( 1 + ( A x. k ) ) + A ) e. RR )
44	41, 42, 43	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 + ( A x. k ) ) + A ) e. RR )
45	44	adantr 261	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) /\ ( -u 1 <_ A /\ ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) ) ) -> ( ( 1 + ( A x. k ) ) + A ) e. RR )
46		readdcl 7007	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 1 + A ) e. RR )
47	36, 46	mpan 400	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR -> ( 1 + A ) e. RR )
48	47	adantr 261	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( 1 + A ) e. RR )
49	41, 48	remulcld 7056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 + ( A x. k ) ) x. ( 1 + A ) ) e. RR )
50	49	adantr 261	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) /\ ( -u 1 <_ A /\ ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) ) ) -> ( ( 1 + ( A x. k ) ) x. ( 1 + A ) ) e. RR )
51		reexpcl 9272	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 + A ) e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 + A ) ^ k ) e. RR )
52	47, 51	sylan 267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 + A ) ^ k ) e. RR )
53	52, 48	remulcld 7056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( 1 + A ) ^ k ) x. ( 1 + A ) ) e. RR )
54	53	adantr 261	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) /\ ( -u 1 <_ A /\ ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) ) ) -> ( ( ( 1 + A ) ^ k ) x. ( 1 + A ) ) e. RR )
55		remulcl 7009	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. RR /\ A e. RR ) -> ( A x. A ) e. RR )
56	55	anidms 377	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. RR -> ( A x. A ) e. RR )
57		msqge0 7607	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. RR -> 0 <_ ( A x. A ) )
58	56, 57	jca 290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. RR -> ( ( A x. A ) e. RR /\ 0 <_ ( A x. A ) ) )
59		nn0ge0 8207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN0 -> 0 <_ k )
60	37, 59	jca 290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN0 -> ( k e. RR /\ 0 <_ k ) )
61		mulge0 7610	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A x. A ) e. RR /\ 0 <_ ( A x. A ) ) /\ ( k e. RR /\ 0 <_ k ) ) -> 0 <_ ( ( A x. A ) x. k ) )
62	58, 60, 61	syl2an 273	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( ( A x. A ) x. k ) )
63	21	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> A e. CC )
64		nn0cn 8191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN0 -> k e. CC )
65	64	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> k e. CC )
66	63, 63, 65	mul32d 7166	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( A x. A ) x. k ) = ( ( A x. k ) x. A ) )
67	62, 66	breqtrd 3788	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( ( A x. k ) x. A ) )
68		simpl 102	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. RR /\ k e. RR ) -> A e. RR )
69	38, 68	remulcld 7056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. RR /\ k e. RR ) -> ( ( A x. k ) x. A ) e. RR )
70	37, 69	sylan2 270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( A x. k ) x. A ) e. RR )
71	44, 70	addge01d 7524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( 0 <_ ( ( A x. k ) x. A ) <-> ( ( 1 + ( A x. k ) ) + A ) <_ ( ( ( 1 + ( A x. k ) ) + A ) + ( ( A x. k ) x. A ) ) ) )
72	67, 71	mpbid 135	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 + ( A x. k ) ) + A ) <_ ( ( ( 1 + ( A x. k ) ) + A ) + ( ( A x. k ) x. A ) ) )
73		mulcl 7008	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. CC /\ k e. CC ) -> ( A x. k ) e. CC )
74		addcl 7006	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 e. CC /\ ( A x. k ) e. CC ) -> ( 1 + ( A x. k ) ) e. CC )
75	27, 73, 74	sylancr 393	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. CC /\ k e. CC ) -> ( 1 + ( A x. k ) ) e. CC )
76		simpl 102	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. CC /\ k e. CC ) -> A e. CC )
77	73, 76	mulcld 7047	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( A x. k ) x. A ) e. CC )
78	75, 76, 77	addassd 7049	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( ( 1 + ( A x. k ) ) + A ) + ( ( A x. k ) x. A ) ) = ( ( 1 + ( A x. k ) ) + ( A + ( ( A x. k ) x. A ) ) ) )
79		muladd11 7146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A x. k ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( 1 + ( A x. k ) ) x. ( 1 + A ) ) = ( ( 1 + ( A x. k ) ) + ( A + ( ( A x. k ) x. A ) ) ) )
80	73, 76, 79	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( 1 + ( A x. k ) ) x. ( 1 + A ) ) = ( ( 1 + ( A x. k ) ) + ( A + ( ( A x. k ) x. A ) ) ) )
81	78, 80	eqtr4d 2075	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( ( 1 + ( A x. k ) ) + A ) + ( ( A x. k ) x. A ) ) = ( ( 1 + ( A x. k ) ) x. ( 1 + A ) ) )
82	21, 64, 81	syl2an 273	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( 1 + ( A x. k ) ) + A ) + ( ( A x. k ) x. A ) ) = ( ( 1 + ( A x. k ) ) x. ( 1 + A ) ) )
83	72, 82	breqtrd 3788	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 + ( A x. k ) ) + A ) <_ ( ( 1 + ( A x. k ) ) x. ( 1 + A ) ) )
84	83	adantr 261	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) /\ ( -u 1 <_ A /\ ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) ) ) -> ( ( 1 + ( A x. k ) ) + A ) <_ ( ( 1 + ( A x. k ) ) x. ( 1 + A ) ) )
85	41	adantr 261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) /\ ( -u 1 <_ A /\ ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) ) ) -> ( 1 + ( A x. k ) ) e. RR )
86	52	adantr 261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) /\ ( -u 1 <_ A /\ ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) ) ) -> ( ( 1 + A ) ^ k ) e. RR )
87	48	adantr 261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) /\ ( -u 1 <_ A /\ ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) ) ) -> ( 1 + A ) e. RR )
88		neg1rr 8023	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -u 1 e. RR
89		leadd2 7426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -u 1 e. RR /\ A e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( -u 1 <_ A <-> ( 1 + -u 1 ) <_ ( 1 + A ) ) )
90	88, 36, 89	mp3an13 1223	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. RR -> ( -u 1 <_ A <-> ( 1 + -u 1 ) <_ ( 1 + A ) ) )
91		1pneg1e0 8028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 + -u 1 ) = 0
92	91	breq1i 3771	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 + -u 1 ) <_ ( 1 + A ) <-> 0 <_ ( 1 + A ) )
93	90, 92	syl6bb 185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR -> ( -u 1 <_ A <-> 0 <_ ( 1 + A ) ) )
94	93	biimpa 280	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ -u 1 <_ A ) -> 0 <_ ( 1 + A ) )
95	94	ad2ant2r 478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) /\ ( -u 1 <_ A /\ ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) ) ) -> 0 <_ ( 1 + A ) )
96		simprr 484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) /\ ( -u 1 <_ A /\ ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) ) ) -> ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) )
97	85, 86, 87, 95, 96	lemul1ad 7905	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) /\ ( -u 1 <_ A /\ ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) ) ) -> ( ( 1 + ( A x. k ) ) x. ( 1 + A ) ) <_ ( ( ( 1 + A ) ^ k ) x. ( 1 + A ) ) )
98	45, 50, 54, 84, 97	letrd 7138	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) /\ ( -u 1 <_ A /\ ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) ) ) -> ( ( 1 + ( A x. k ) ) + A ) <_ ( ( ( 1 + A ) ^ k ) x. ( 1 + A ) ) )
99		adddi 7013	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. CC /\ k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( A x. ( k + 1 ) ) = ( ( A x. k ) + ( A x. 1 ) ) )
100	27, 99	mp3an3 1221	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ k e. CC ) -> ( A x. ( k + 1 ) ) = ( ( A x. k ) + ( A x. 1 ) ) )
101		mulid1 7024	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. CC -> ( A x. 1 ) = A )
102	101	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. CC /\ k e. CC ) -> ( A x. 1 ) = A )
103	102	oveq2d 5528	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( A x. k ) + ( A x. 1 ) ) = ( ( A x. k ) + A ) )
104	100, 103	eqtrd 2072	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ k e. CC ) -> ( A x. ( k + 1 ) ) = ( ( A x. k ) + A ) )
105	104	oveq2d 5528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ k e. CC ) -> ( 1 + ( A x. ( k + 1 ) ) ) = ( 1 + ( ( A x. k ) + A ) ) )
106		addass 7011	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. CC /\ ( A x. k ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( 1 + ( A x. k ) ) + A ) = ( 1 + ( ( A x. k ) + A ) ) )
107	27, 106	mp3an1 1219	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A x. k ) e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( 1 + ( A x. k ) ) + A ) = ( 1 + ( ( A x. k ) + A ) ) )
108	73, 76, 107	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ k e. CC ) -> ( ( 1 + ( A x. k ) ) + A ) = ( 1 + ( ( A x. k ) + A ) ) )
109	105, 108	eqtr4d 2075	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ k e. CC ) -> ( 1 + ( A x. ( k + 1 ) ) ) = ( ( 1 + ( A x. k ) ) + A ) )
110	21, 64, 109	syl2an 273	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( 1 + ( A x. ( k + 1 ) ) ) = ( ( 1 + ( A x. k ) ) + A ) )
111	110	adantr 261	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) /\ ( -u 1 <_ A /\ ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) ) ) -> ( 1 + ( A x. ( k + 1 ) ) ) = ( ( 1 + ( A x. k ) ) + A ) )
112	27, 21, 28	sylancr 393	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR -> ( 1 + A ) e. CC )
113		expp1 9262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 + A ) e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 + A ) ^ ( k + 1 ) ) = ( ( ( 1 + A ) ^ k ) x. ( 1 + A ) ) )
114	112, 113	sylan 267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 + A ) ^ ( k + 1 ) ) = ( ( ( 1 + A ) ^ k ) x. ( 1 + A ) ) )
115	114	adantr 261	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) /\ ( -u 1 <_ A /\ ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) ) ) -> ( ( 1 + A ) ^ ( k + 1 ) ) = ( ( ( 1 + A ) ^ k ) x. ( 1 + A ) ) )
116	98, 111, 115	3brtr4d 3794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) /\ ( -u 1 <_ A /\ ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) ) ) -> ( 1 + ( A x. ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ ( k + 1 ) ) )
117	116	exp43 354	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( k e. NN0 -> ( -u 1 <_ A -> ( ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) -> ( 1 + ( A x. ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ ( k + 1 ) ) ) ) ) )
118	117	com12 27	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( A e. RR -> ( -u 1 <_ A -> ( ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) -> ( 1 + ( A x. ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ ( k + 1 ) ) ) ) ) )
119	118	impd 242	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( ( A e. RR /\ -u 1 <_ A ) -> ( ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) -> ( 1 + ( A x. ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
120	119	a2d 23	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( A e. RR /\ -u 1 <_ A ) -> ( 1 + ( A x. k ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ k ) ) -> ( ( A e. RR /\ -u 1 <_ A ) -> ( 1 + ( A x. ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
121	5, 10, 15, 20, 35, 120	nn0ind 8352	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( A e. RR /\ -u 1 <_ A ) -> ( 1 + ( A x. N ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ N ) ) )
122	121	expd 245	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( A e. RR -> ( -u 1 <_ A -> ( 1 + ( A x. N ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ N ) ) ) )
123	122	com12 27	. 2 |- ( A e. RR -> ( N e. NN0 -> ( -u 1 <_ A -> ( 1 + ( A x. N ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ N ) ) ) )
124	123	3imp 1098	1 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ -u 1 <_ A ) -> ( 1 + ( A x. N ) ) <_ ( ( 1 + A ) ^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   /\ w3a 885   = wceq 1243   e. wcel 1393   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512   CCcc 6887   RRcr 6888   0cc0 6889   1c1 6890   + caddc 6892   x. cmul 6894   <_ cle 7061   -ucneg 7183   NN0cn0 8181   ^cexp 9254

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-iseq 9212  df-iexp 9255

This theorem is referenced by:  bernneq2  9370