ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recexgt0sr Structured version   Unicode version

Theorem recexgt0sr 6701
Description: The reciprocal of a positive signed real exists and is positive. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
recexgt0sr  0R 
<R  R.  0R  <R  .R  1R
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem recexgt0sr
Dummy variables  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelsr 6666 . . . 4  <R  C_  R.  X.  R.
21brel 4335 . . 3  0R 
<R  0R  R.  R.
32simprd 107 . 2  0R 
<R  R.
4 df-nr 6655 . . 3  R.  P.  X.  P. /.  ~R
5 breq2 3759 . . . 4  <. ,  >. 
~R  0R  <R  <. ,  >.  ~R  0R  <R
6 oveq1 5462 . . . . . . 7  <. ,  >. 
~R  <. , 
>.  ~R  .R  .R
76eqeq1d 2045 . . . . . 6  <. ,  >. 
~R  <. ,  >.  ~R  .R  1R  .R  1R
87anbi2d 437 . . . . 5  <. ,  >. 
~R  0R  <R  <. ,  >.  ~R  .R  1R  0R  <R  .R  1R
98rexbidv 2321 . . . 4  <. ,  >. 
~R  R.  0R  <R  <. , 
>.  ~R  .R  1R  R.  0R  <R  .R  1R
105, 9imbi12d 223 . . 3  <. ,  >. 
~R  0R  <R  <. ,  >.  ~R  R.  0R  <R  <. , 
>.  ~R  .R  1R  0R  <R  R.  0R  <R  .R  1R
11 gt0srpr 6676 . . . . 5  0R 
<R  <. , 
>.  ~R  <P
12 ltexpri 6587 . . . . 5 
<P  P.  +P.
1311, 12sylbi 114 . . . 4  0R 
<R  <. , 
>.  ~R  P.  +P.
14 recexpr 6610 . . . . . . 7  P.  P.  .P.  1P
1514adantl 262 . . . . . 6  P.  P.  P. 
P.  .P.  1P
16 1pr 6535 . . . . . . . . . . . . . 14  1P  P.
17 addclpr 6520 . . . . . . . . . . . . . 14  P.  1P  P.  +P.  1P  P.
1816, 17mpan2 401 . . . . . . . . . . . . 13  P.  +P.  1P 
P.
19 enrex 6665 . . . . . . . . . . . . . 14  ~R  _V
2019, 4ecopqsi 6097 . . . . . . . . . . . . 13  +P.  1P  P.  1P  P.  <.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  R.
2118, 16, 20sylancl 392 . . . . . . . . . . . 12  P.  <.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  R.
2221adantl 262 . . . . . . . . . . 11  P.  P.  <.  +P.  1P ,  1P >. 
~R  R.
2322ad2antlr 458 . . . . . . . . . 10 
P.  P.  P.  P.  .P.  1P  +P.  <.  +P.  1P ,  1P >. 
~R  R.
24 simprr 484 . . . . . . . . . . . 12  P.  P.  P.  P.  P.
2524adantr 261 . . . . . . . . . . 11 
P.  P.  P.  P.  .P.  1P  +P.  P.
26 ltaddpr 6571 . . . . . . . . . . . . . 14  1P  P.  P.  1P  <P  1P  +P.
2716, 26mpan 400 . . . . . . . . . . . . 13  P.  1P  <P  1P  +P.
28 addcomprg 6554 . . . . . . . . . . . . . 14  1P  P.  P.  1P  +P.  +P.  1P
2916, 28mpan 400 . . . . . . . . . . . . 13  P.  1P  +P.  +P.  1P
3027, 29breqtrd 3779 . . . . . . . . . . . 12  P.  1P  <P  +P.  1P
31 gt0srpr 6676 . . . . . . . . . . . 12  0R 
<R  <.  +P.  1P ,  1P >. 
~R  1P  <P  +P.  1P
3230, 31sylibr 137 . . . . . . . . . . 11  P.  0R  <R  <.  +P.  1P ,  1P >. 
~R
3325, 32syl 14 . . . . . . . . . 10 
P.  P.  P.  P.  .P.  1P  +P. 
0R  <R  <.  +P.  1P ,  1P >.  ~R
3418, 16jctir 296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  P.  +P.  1P  P.  1P  P.
3534anim2i 324 . . . . . . . . . . . . . . 15  P.  P.  P.  P.  P.  +P.  1P  P.  1P  P.
3635adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14 
P.  P.  P.  .P.  1P  +P.  P.  P.  +P.  1P  P.  1P  P.
37 mulsrpr 6674 . . . . . . . . . . . . . 14  P.  P.  +P.  1P  P.  1P  P.  <. ,  >.  ~R  .R 
<.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  <.  .P. 
+P.  1P  +P.  .P.  1P ,  .P.  1P 
+P.  .P.  +P.  1P >.  ~R
3836, 37syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 
P.  P.  P.  .P.  1P  +P.  <. , 
>.  ~R  .R  <.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  <.  .P. 
+P.  1P  +P.  .P.  1P ,  .P.  1P 
+P.  .P.  +P.  1P >.  ~R
3938adantlrl 451 . . . . . . . . . . . 12 
P.  P.  P.  P.  .P.  1P  +P.  <. , 
>.  ~R  .R  <.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  <.  .P. 
+P.  1P  +P.  .P.  1P ,  .P.  1P 
+P.  .P.  +P.  1P >.  ~R
40 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  +P.  +P. 
.P.  .P.
4140eqcomd 2042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  +P.  .P.  +P.  .P.
4241ad2antll 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 
P.  P.  P.  P.  .P.  1P  +P.  .P. 
+P.  .P.
43 mulcomprg 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  P.  h  P.  .P.  h  h  .P.
44433adant2 922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  P.  P.  h  P.  .P.  h  h  .P.
45 mulcomprg 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  P.  h  P.  .P.  h  h  .P.
46453adant1 921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  P.  P.  h  P.  .P.  h  h  .P.
4744, 46oveq12d 5473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  P.  P.  h  P.  .P.  h 
+P.  .P.  h  h  .P.  +P.  h  .P.
48 distrprg 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  h  P.  P.  P.  h  .P.  +P.  h  .P.  +P.  h  .P.
49483coml 1110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  P.  P.  h  P.  h  .P.  +P.  h  .P.  +P.  h  .P.
50 simp3 905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  P.  P.  h  P.  h  P.
51 addclpr 6520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  P.  P.  +P.  P.
52513adant3 923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  P.  P.  h  P.  +P. 
P.
53 mulcomprg 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  h  P.  +P.  P.  h  .P. 
+P. 
+P.  .P.  h
5450, 52, 53syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  P.  P.  h  P.  h  .P.  +P.  +P.  .P.  h
5547, 49, 543eqtr2rd 2076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  P.  P.  h  P.  +P. 
.P.  h  .P.  h  +P. 
.P.  h
5655adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 
P.  P.  P.  P.  P.  P.  h  P. 
+P.  .P.  h  .P.  h 
+P.  .P.  h
57 simplr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  P.  P.  P.  P.  P.
58 simprl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  P.  P.  P.  P.  P.
5956, 57, 58, 24caovdird 5621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  P.  P.  P.  P. 
+P.  .P.  .P. 
+P.  .P.
60 oveq2 5463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  .P.  1P  .P. 
+P.  .P.  .P.  +P.  1P
6159, 60sylan9eq 2089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 
P.  P.  P.  P.  .P.  1P  +P.  .P.  .P.  +P.  1P
6261adantrr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 
P.  P.  P.  P.  .P.  1P  +P.  +P.  .P.  .P.  +P.  1P
6342, 62eqtrd 2069 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 
P.  P.  P.  P.  .P.  1P  +P.  .P. 
.P.  +P.  1P
6463oveq1d 5470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 
P.  P.  P.  P.  .P.  1P  +P.  .P.  +P. 
.P.  1P  +P.  .P.  1P  .P.  +P.  1P  +P.  .P.  1P  +P.  .P.  1P
65 mulclpr 6553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  P.  P.  .P.  P.
6657, 24, 65syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  P.  P.  P.  P.  .P.  P.
6716a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  P.  P.  P.  P.  1P  P.
68 simpll 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  P.  P.  P.  P.  P.
69 mulclpr 6553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  P.  1P  P.  .P.  1P  P.
7068, 16, 69sylancl 392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  P.  P.  P.  P.  .P.  1P  P.
71 mulclpr 6553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  P.  1P  P.  .P.  1P  P.
7257, 16, 71sylancl 392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  P.  P.  P.  P.  .P.  1P  P.
73 addclpr 6520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  .P.  1P  P.  .P.  1P 
P.  .P.  1P 
+P.  .P.  1P  P.
7470, 72, 73syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  P.  P.  P.  P. 
.P.  1P  +P.  .P.  1P  P.
75 addcomprg 6554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  P.  P.  +P.  +P.
7675adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 
P.  P.  P.  P.  P.  P.  +P.  +P.
77 addassprg 6555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  P.  P.  h  P.  +P. 
+P.  h  +P.  +P.  h
7877adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 
P.  P.  P.  P.  P.  P.  h  P. 
+P.  +P.  h  +P.  +P.  h
7966, 67, 74, 76, 78caov32d 5623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  P.  P.  P.  P.  .P. 
+P.  1P  +P.  .P.  1P 
+P.  .P.  1P 
.P.  +P.  .P.  1P  +P.  .P.  1P  +P.  1P
8079adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 
P.  P.  P.  P.  .P.  1P  +P.  .P.  +P.  1P 
+P. 
.P.  1P  +P.  .P.  1P  .P.  +P. 
.P.  1P  +P.  .P.  1P  +P.  1P
8164, 80eqtrd 2069 . . . . . . . . . . . . . . . 16 
P.  P.  P.  P.  .P.  1P  +P.  .P.  +P. 
.P.  1P  +P.  .P.  1P  .P.  +P. 
.P.  1P  +P.  .P.  1P  +P.  1P
8281oveq1d 5470 . . . . . . . . . . . . . . 15 
P.  P.  P.  P.  .P.  1P  +P.  .P.  +P.  .P.  1P 
+P.  .P.  1P  +P.  1P  .P.  +P.  .P.  1P 
+P.  .P.  1P  +P.  1P  +P.  1P
83 addclpr 6520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  .P.  P.  .P.  1P 
+P.  .P.  1P  P. 
.P.  +P.  .P.  1P  +P.  .P.  1P 
P.
8466, 74, 83syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  P.  P.  P.  P. 
.P.  +P.  .P.  1P  +P.  .P.  1P 
P.
8584adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 
P.  P.  P.  P.  .P.  1P  +P.  .P.  +P. 
.P.  1P  +P.  .P.  1P  P.
8616a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16 
P.  P.  P.  P.  .P.  1P  +P. 
1P  P.
87 addassprg 6555 . . . . . . . . . . . . . . . 16  .P.  +P.  .P.  1P 
+P.  .P.  1P 
P.  1P  P.  1P  P.  .P.  +P. 
.P.  1P  +P.  .P.  1P  +P.  1P 
+P.  1P  .P.  +P.  .P.  1P 
+P.  .P.  1P  +P.  1P  +P.  1P
8885, 86, 86, 87syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 
P.  P.  P.  P.  .P.  1P  +P. 
.P.  +P.  .P.  1P  +P.  .P.  1P  +P.  1P  +P.  1P  .P. 
+P. 
.P.  1P  +P.  .P.  1P  +P.  1P 
+P.  1P
8982, 88eqtrd 2069 . . . . . . . . . . . . . 14 
P.  P.  P.  P.  .P.  1P  +P.  .P.  +P.  .P.  1P 
+P.  .P.  1P  +P.  1P  .P.  +P. 
.P.  1P  +P.  .P.  1P  +P.  1P 
+P.  1P
90 distrprg 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  P.  P.  1P  P.  .P.  +P.  1P  .P.  +P.  .P.  1P
9168, 24, 67, 90syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  P.  P.  P.  P.  .P.  +P.  1P  .P. 
+P.  .P.  1P
9291oveq1d 5470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  P.  P.  P.  P. 
.P.  +P.  1P  +P.  .P.  1P  .P. 
+P.  .P.  1P  +P.  .P.  1P
93 mulclpr 6553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  P.  P.  .P.  P.
9468, 24, 93syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  P.  P.  P.  P.  .P.  P.
95 addassprg 6555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  .P.  P.  .P.  1P 
P.  .P.  1P  P.  .P. 
+P.  .P.  1P  +P.  .P.  1P 
.P.  +P.  .P.  1P  +P.  .P.  1P
9694, 70, 72, 95syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  P.  P.  P.  P.  .P. 
+P.  .P.  1P  +P.  .P.  1P 
.P.  +P.  .P.  1P  +P.  .P.  1P
9792, 96eqtrd 2069 . . . . . . . . . . . . . . . 16  P.  P.  P.  P. 
.P.  +P.  1P  +P.  .P.  1P 
.P.  +P.  .P.  1P  +P.  .P.  1P
9897oveq1d 5470 . . . . . . . . . . . . . . 15  P.  P.  P.  P.  .P. 
+P.  1P  +P.  .P.  1P  +P.  1P  .P. 
+P. 
.P.  1P  +P.  .P.  1P  +P.  1P
9998adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14 
P.  P.  P.  P.  .P.  1P  +P.  .P.  +P.  1P  +P. 
.P.  1P  +P.  1P  .P.  +P. 
.P.  1P  +P.  .P.  1P  +P.  1P
100 distrprg 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  P.  P.  1P  P.  .P.  +P.  1P  .P.  +P.  .P.  1P
10157, 24, 67, 100syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  P.  P.  P.  P.  .P.  +P.  1P  .P. 
+P.  .P.  1P
102101oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  P.  P.  P.  P. 
.P.  1P  +P.  .P.  +P.  1P  .P.  1P  +P.  .P. 
+P.  .P.  1P
10370, 66, 72, 76, 78caov12d 5624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  P.  P.  P.  P. 
.P.  1P  +P.  .P. 
+P.  .P.  1P  .P.  +P.  .P.  1P 
+P.  .P.  1P
104102, 103eqtrd 2069 . . . . . . . . . . . . . . . 16  P.  P.  P.  P. 
.P.  1P  +P.  .P.  +P.  1P  .P.  +P.  .P.  1P 
+P.  .P.  1P
105104oveq1d 5470 . . . . . . . . . . . . . . 15  P.  P.  P.  P.  .P.  1P 
+P.  .P.  +P.  1P  +P.  1P  +P.  1P  .P. 
+P. 
.P.  1P  +P.  .P.  1P  +P.  1P 
+P.  1P
106105adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14 
P.  P.  P.  P.  .P.  1P  +P.  .P.  1P  +P. 
.P.  +P.  1P  +P.  1P  +P.  1P  .P.  +P. 
.P.  1P  +P.  .P.  1P  +P.  1P 
+P.  1P
10789, 99, 1063eqtr4d 2079 . . . . . . . . . . . . 13 
P.  P.  P.  P.  .P.  1P  +P.  .P.  +P.  1P  +P. 
.P.  1P  +P.  1P  .P.  1P  +P.  .P.  +P.  1P  +P.  1P  +P.  1P
10824, 16, 17sylancl 392 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  P.  P.  P.  P.  +P.  1P  P.
109 mulclpr 6553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  P.  +P.  1P  P.  .P. 
+P.  1P 
P.
11068, 108, 109syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . 16  P.  P.  P.  P.  .P.  +P.  1P  P.
111 addclpr 6520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  .P.  +P.  1P  P.  .P.  1P 
P.  .P. 
+P.  1P  +P.  .P.  1P  P.
112110, 72, 111syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . 15  P.  P.  P.  P. 
.P.  +P.  1P  +P.  .P.  1P  P.
113104, 84eqeltrd 2111 . . . . . . . . . . . . . . 15  P.  P.  P.  P. 
.P.  1P  +P.  .P.  +P.  1P 
P.
114 addclpr 6520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  1P  P.  1P  P.  1P  +P.  1P  P.
11516, 16, 114mp2an 402 . . . . . . . . . . . . . . . 16  1P 
+P.  1P  P.
116115a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  P.  P.  P.  P.  1P  +P.  1P  P.
117 enreceq 6664 . . . . . . . . . . . . . . 15 
.P.  +P.  1P  +P.  .P.  1P  P.  .P.  1P 
+P.  .P.  +P.  1P  P.  1P 
+P.  1P  P.  1P  P.  <.  .P.  +P.  1P 
+P.  .P.  1P ,  .P.  1P  +P.  .P.  +P.  1P >.  ~R  <. 1P  +P.  1P ,  1P >. 
~R 
.P.  +P.  1P  +P.  .P.  1P 
+P.  1P  .P.  1P  +P. 
.P.  +P.  1P  +P.  1P  +P.  1P
118112, 113, 116, 67, 117syl22anc 1135 . . . . . . . . . . . . . 14  P.  P.  P.  P.  <.  .P.  +P.  1P 
+P.  .P.  1P ,  .P.  1P  +P.  .P.  +P.  1P >.  ~R  <. 1P  +P.  1P ,  1P >. 
~R 
.P.  +P.  1P  +P.  .P.  1P 
+P.  1P  .P.  1P  +P. 
.P.  +P.  1P  +P.  1P  +P.  1P
119118adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13 
P.  P.  P.  P.  .P.  1P  +P.  <. 
.P.  +P.  1P  +P.  .P.  1P , 
.P.  1P  +P.  .P.  +P.  1P >. 
~R  <. 1P  +P.  1P ,  1P >.  ~R  .P.  +P.  1P  +P. 
.P.  1P  +P.  1P  .P.  1P  +P.  .P.  +P.  1P  +P.  1P  +P.  1P
120107, 119mpbird 156 . . . . . . . . . . . 12 
P.  P.  P.  P.  .P.  1P  +P.  <. 
.P.  +P.  1P  +P.  .P.  1P , 
.P.  1P  +P.  .P.  +P.  1P >. 
~R  <. 1P  +P.  1P ,  1P >.  ~R
12139, 120eqtrd 2069 . . . . . . . . . . 11 
P.  P.  P.  P.  .P.  1P  +P.  <. , 
>.  ~R  .R  <.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  <. 1P  +P.  1P ,  1P >.  ~R
122 df-1r 6660 . . . . . . . . . . 11  1R  <. 1P  +P.  1P ,  1P >. 
~R
123121, 122syl6eqr 2087 . . . . . . . . . 10 
P.  P.  P.  P.  .P.  1P  +P.  <. , 
>.  ~R  .R  <.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  1R
124 breq2 3759 . . . . . . . . . . . 12  <.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  0R  <R  0R  <R 
<.  +P.  1P ,  1P >.  ~R
125 oveq2 5463 . . . . . . . . . . . . 13  <.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  <. , 
>.  ~R  .R  <. ,  >. 
~R  .R  <.  +P.  1P ,  1P >.  ~R
126125eqeq1d 2045 . . . . . . . . . . . 12  <.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  <. ,  >.  ~R  .R  1R  <. , 
>.  ~R  .R  <.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  1R
127124, 126anbi12d 442 . . . . . . . . . . 11  <.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  0R  <R  <. ,  >.  ~R  .R  1R  0R  <R  <.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  <. ,  >.  ~R  .R 
<.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  1R
128127rspcev 2650 . . . . . . . . . 10  <.  +P.  1P ,  1P >. 
~R  R.  0R  <R  <.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  <. ,  >.  ~R  .R 
<.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  1R 
R.  0R  <R  <. ,  >.  ~R  .R  1R
12923, 33, 123, 128syl12anc 1132 . . . . . . . . 9 
P.  P.  P.  P.  .P.  1P  +P.  R.  0R  <R  <. , 
>.  ~R  .R  1R
130129exp32 347 . . . . . . . 8  P.  P.  P.  P. 
.P.  1P  +P.  R.  0R  <R  <. , 
>.  ~R  .R  1R
131130anassrs 380 . . . . . . 7 
P.  P.  P.  P.  .P.  1P  +P.  R.  0R  <R  <. , 
>.  ~R  .R  1R
132131rexlimdva 2427 . . . . . 6  P.  P.  P.  P.  .P.  1P  +P.  R.  0R  <R  <. , 
>.  ~R  .R  1R
13315, 132mpd 13 . . . . 5  P.  P.  P. 
+P.  R.  0R  <R  <. ,  >.  ~R  .R  1R
134133rexlimdva 2427 . . . 4  P.  P. 
P.  +P.  R.  0R  <R  <. , 
>.  ~R  .R  1R
13513, 134syl5 28 . . 3  P.  P.  0R  <R  <. ,  >.  ~R  R.  0R  <R  <. , 
>.  ~R  .R  1R
1364, 10, 135ecoptocl 6129 . 2  R.  0R  <R  R.  0R  <R  .R  1R
1373, 136mpcom 32 1  0R 
<R  R.  0R  <R  .R  1R
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301   <.cop 3370   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cec 6040   P.cnp 6275   1Pc1p 6276    +P. cpp 6277    .P. cmp 6278    <P cltp 6279    ~R cer 6280   R.cnr 6281   0Rc0r 6282   1Rc1r 6283    .R cmr 6286    <R cltr 6287
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-imp 6452  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-mr 6657  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660
This theorem is referenced by:  recexsrlem  6702  axprecex  6764
  Copyright terms: Public domain W3C validator