ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axprecex Unicode version

Theorem axprecex 6764
Description: Existence of positive reciprocal of positive real number. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-precex 6793.

In treatments which assume excluded middle, the  0 
<RR condition is generally replaced by  =/=  0, and it may not be necessary to state that the reciproacal is positive. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion
Ref Expression
axprecex  RR  0  <RR  RR  0  <RR  x.  1
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem axprecex
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 6727 . . . 4  RR  R.  <. ,  0R >.
2 df-rex 2306 . . . 4  R.  <. ,  0R >. 
R.  <. ,  0R >.
31, 2bitri 173 . . 3  RR  R. 
<. ,  0R >.
4 breq2 3759 . . . 4  <. ,  0R >.  0  <RR  <. ,  0R >.  0  <RR
5 oveq1 5462 . . . . . . 7  <. ,  0R >.  <. ,  0R >.  x.  x.
65eqeq1d 2045 . . . . . 6  <. ,  0R >.  <. ,  0R >.  x.  1  x.  1
76anbi2d 437 . . . . 5  <. ,  0R >.  0  <RR  <. ,  0R >.  x.  1  0 
<RR  x.  1
87rexbidv 2321 . . . 4  <. ,  0R >.  RR  0  <RR  <. ,  0R >.  x.  1  RR  0  <RR  x.  1
94, 8imbi12d 223 . . 3  <. ,  0R >.  0  <RR  <. ,  0R >.  RR 
0  <RR  <. ,  0R >.  x.  1  0 
<RR  RR  0  <RR  x.  1
10 df-0 6718 . . . . . 6  0  <. 0R ,  0R >.
1110breq1i 3762 . . . . 5  0 
<RR  <. ,  0R >. 
<. 0R ,  0R >.  <RR  <. ,  0R >.
12 ltresr 6736 . . . . 5  <. 0R ,  0R >.  <RR  <. ,  0R >.  0R  <R
1311, 12bitri 173 . . . 4  0 
<RR  <. ,  0R >.  0R  <R
14 recexgt0sr 6701 . . . . 5  0R 
<R  R.  0R  <R  .R  1R
15 opelreal 6726 . . . . . . . . . 10  <. ,  0R >.  RR  R.
1615anbi1i 431 . . . . . . . . 9 
<. ,  0R >.  RR  0 
<RR  <. ,  0R >.  <. ,  0R >.  x.  <. ,  0R >.  1  R. 
0  <RR  <. ,  0R >.  <. ,  0R >.  x.  <. ,  0R >.  1
1710breq1i 3762 . . . . . . . . . . . . 13  0 
<RR  <. ,  0R >. 
<. 0R ,  0R >.  <RR  <. ,  0R >.
18 ltresr 6736 . . . . . . . . . . . . 13  <. 0R ,  0R >.  <RR  <. ,  0R >.  0R  <R
1917, 18bitri 173 . . . . . . . . . . . 12  0 
<RR  <. ,  0R >.  0R  <R
2019a1i 9 . . . . . . . . . . 11  R.  R.  0  <RR  <. ,  0R >.  0R  <R
21 mulresr 6735 . . . . . . . . . . . . 13  R.  R.  <. ,  0R >.  x.  <. ,  0R >.  <.  .R  ,  0R >.
2221eqeq1d 2045 . . . . . . . . . . . 12  R.  R.  <. ,  0R >.  x.  <. ,  0R >.  1 
<.  .R  ,  0R >.  1
23 df-1 6719 . . . . . . . . . . . . . 14  1  <. 1R ,  0R >.
2423eqeq2i 2047 . . . . . . . . . . . . 13  <.  .R  ,  0R >.  1 
<.  .R  ,  0R >.  <. 1R ,  0R >.
25 eqid 2037 . . . . . . . . . . . . . 14  0R  0R
26 1sr 6679 . . . . . . . . . . . . . . 15  1R  R.
27 0r 6678 . . . . . . . . . . . . . . 15  0R  R.
28 opthg2 3967 . . . . . . . . . . . . . . 15  1R  R.  0R  R.  <.  .R  ,  0R >. 
<. 1R ,  0R >.  .R  1R  0R  0R
2926, 27, 28mp2an 402 . . . . . . . . . . . . . 14  <.  .R  ,  0R >.  <. 1R ,  0R >.  .R  1R  0R  0R
3025, 29mpbiran2 847 . . . . . . . . . . . . 13  <.  .R  ,  0R >.  <. 1R ,  0R >. 
.R  1R
3124, 30bitri 173 . . . . . . . . . . . 12  <.  .R  ,  0R >.  1  .R  1R
3222, 31syl6bb 185 . . . . . . . . . . 11  R.  R.  <. ,  0R >.  x.  <. ,  0R >.  1  .R  1R
3320, 32anbi12d 442 . . . . . . . . . 10  R.  R.  0  <RR  <. ,  0R >.  <. ,  0R >.  x. 
<. ,  0R >.  1  0R 
<R  .R  1R
3433pm5.32da 425 . . . . . . . . 9  R.  R.  0  <RR  <. ,  0R >.  <. ,  0R >.  x. 
<. ,  0R >.  1  R.  0R  <R  .R  1R
3516, 34syl5bb 181 . . . . . . . 8  R.  <. ,  0R >.  RR 
0  <RR  <. ,  0R >.  <. ,  0R >.  x.  <. ,  0R >.  1  R.  0R  <R  .R  1R
36 breq2 3759 . . . . . . . . . 10  <. ,  0R >.  0  <RR  0  <RR  <. ,  0R >.
37 oveq2 5463 . . . . . . . . . . 11  <. ,  0R >.  <. ,  0R >.  x.  <. ,  0R >.  x.  <. ,  0R >.
3837eqeq1d 2045 . . . . . . . . . 10  <. ,  0R >.  <. ,  0R >.  x.  1  <. ,  0R >.  x.  <. ,  0R >.  1
3936, 38anbi12d 442 . . . . . . . . 9  <. ,  0R >.  0 
<RR  <. ,  0R >.  x.  1  0  <RR  <. ,  0R >.  <. ,  0R >.  x. 
<. ,  0R >.  1
4039rspcev 2650 . . . . . . . 8 
<. ,  0R >.  RR  0 
<RR  <. ,  0R >.  <. ,  0R >.  x.  <. ,  0R >.  1  RR 
0  <RR  <. ,  0R >.  x.  1
4135, 40syl6bir 153 . . . . . . 7  R.  R.  0R  <R  .R  1R  RR  0  <RR  <. ,  0R >.  x.  1
4241expd 245 . . . . . 6  R.  R.  0R  <R  .R  1R  RR  0  <RR  <. ,  0R >.  x.  1
4342rexlimdv 2426 . . . . 5  R.  R.  0R  <R  .R  1R  RR  0  <RR  <. ,  0R >.  x.  1
4414, 43syl5 28 . . . 4  R.  0R  <R  RR 
0  <RR  <. ,  0R >.  x.  1
4513, 44syl5bi 141 . . 3  R. 
0  <RR  <. ,  0R >.  RR  0  <RR  <. ,  0R >.  x.  1
463, 9, 45gencl 2580 . 2  RR 
0  <RR  RR 
0  <RR  x.  1
4746imp 115 1  RR  0  <RR  RR  0  <RR  x.  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  wrex 2301   <.cop 3370   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455   R.cnr 6281   0Rc0r 6282   1Rc1r 6283    .R cmr 6286    <R cltr 6287   RRcr 6710   0cc0 6711   1c1 6712    <RR cltrr 6715    x. cmul 6716
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-imp 6452  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-plr 6656  df-mr 6657  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-m1r 6661  df-c 6717  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-mul 6723  df-lt 6724
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator