ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elreal Unicode version

Theorem elreal 6795
Description: Membership in class of real numbers. (Contributed by NM, 31-Mar-1996.)
Assertion
Ref Expression
elreal  RR  R.  <. ,  0R >.
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem elreal
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-r 6789 . . 3  RR  R.  X.  { 0R }
21eleq2i 2104 . 2  RR  R.  X.  { 0R }
3 elxp2 4309 . . 3  R.  X.  { 0R }  R. 
{ 0R }  <. , 
>.
4 0r 6725 . . . . . . 7  0R  R.
54elexi 2564 . . . . . 6  0R  _V
6 opeq2 3544 . . . . . . 7  0R  <. ,  >.  <. ,  0R >.
76eqeq2d 2051 . . . . . 6  0R  <. ,  >.  <. ,  0R >.
85, 7rexsn 3409 . . . . 5  { 0R }  <. ,  >.  <. ,  0R >.
9 eqcom 2042 . . . . 5  <. ,  0R >. 
<. ,  0R >.
108, 9bitri 173 . . . 4  { 0R }  <. ,  >.  <. ,  0R >.
1110rexbii 2328 . . 3  R.  { 0R }  <. , 
>.  R.  <. ,  0R >.
123, 11bitri 173 . 2  R.  X.  { 0R }  R.  <. ,  0R >.
132, 12bitri 173 1  RR  R.  <. ,  0R >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wb 98   wceq 1243   wcel 1393  wrex 2304   {csn 3370   <.cop 3373    X. cxp 4289   R.cnr 6285   0Rc0r 6286   RRcr 6778
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3866  ax-sep 3869  ax-nul 3877  ax-pow 3921  ax-pr 3938  ax-un 4139  ax-setind 4223  ax-iinf 4257
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3356  df-sn 3376  df-pr 3377  df-op 3379  df-uni 3575  df-int 3610  df-iun 3653  df-br 3759  df-opab 3813  df-mpt 3814  df-tr 3849  df-eprel 4020  df-id 4024  df-po 4027  df-iso 4028  df-iord 4072  df-on 4074  df-suc 4077  df-iom 4260  df-xp 4297  df-rel 4298  df-cnv 4299  df-co 4300  df-dm 4301  df-rn 4302  df-res 4303  df-ima 4304  df-iota 4813  df-fun 4850  df-fn 4851  df-f 4852  df-f1 4853  df-fo 4854  df-f1o 4855  df-fv 4856  df-ov 5461  df-oprab 5462  df-mpt2 5463  df-1st 5712  df-2nd 5713  df-recs 5865  df-irdg 5901  df-1o 5944  df-oadd 5948  df-omul 5949  df-er 6046  df-ec 6048  df-qs 6052  df-ni 6292  df-pli 6293  df-mi 6294  df-lti 6295  df-plpq 6332  df-mpq 6333  df-enq 6335  df-nqqs 6336  df-plqqs 6337  df-mqqs 6338  df-1nqqs 6339  df-rq 6340  df-ltnqqs 6341  df-inp 6454  df-i1p 6455  df-enr 6701  df-nr 6702  df-0r 6706  df-r 6789
This theorem is referenced by:  elrealeu  6796  axaddrcl  6831  axmulrcl  6833  axprecex  6844  axpre-ltirr  6846  axpre-ltwlin  6847  axpre-lttrn  6848  axpre-apti  6849  axpre-ltadd  6850  axpre-mulgt0  6851  axpre-mulext  6852  axarch  6855  axcaucvglemres  6863
  Copyright terms: Public domain W3C validator