ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elrealeu Unicode version

Theorem elrealeu 6887
Description: The real number mapping in elreal 6886 is unique. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
elrealeu  |-  ( A  e.  RR  <->  E! x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem elrealeu
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 6886 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
21biimpi 113 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
3 eqtr3 2059 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. x ,  0R >.  =  A  /\  <. y ,  0R >.  =  A
)  ->  <. x ,  0R >.  =  <. y ,  0R >. )
4 0r 6816 . . . . . . . . . 10  |-  0R  e.  R.
5 opthg 3972 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  R.  /\  0R  e.  R. )  -> 
( <. x ,  0R >.  =  <. y ,  0R >.  <-> 
( x  =  y  /\  0R  =  0R ) ) )
64, 5mpan2 401 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  R.  ->  ( <. x ,  0R >.  = 
<. y ,  0R >.  <->  (
x  =  y  /\  0R  =  0R )
) )
76ad2antlr 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  R. )  /\  y  e.  R. )  ->  ( <. x ,  0R >.  =  <. y ,  0R >.  <->  ( x  =  y  /\  0R  =  0R ) ) )
83, 7syl5ib 143 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  R. )  /\  y  e.  R. )  ->  ( ( <.
x ,  0R >.  =  A  /\  <. y ,  0R >.  =  A
)  ->  ( x  =  y  /\  0R  =  0R ) ) )
9 simpl 102 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  /\  0R  =  0R )  ->  x  =  y )
108, 9syl6 29 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  R. )  /\  y  e.  R. )  ->  ( ( <.
x ,  0R >.  =  A  /\  <. y ,  0R >.  =  A
)  ->  x  =  y ) )
1110ralrimiva 2389 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  R. )  ->  A. y  e.  R.  ( ( <. x ,  0R >.  =  A  /\  <. y ,  0R >.  =  A )  ->  x  =  y )
)
1211ralrimiva 2389 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A. x  e.  R.  A. y  e. 
R.  ( ( <.
x ,  0R >.  =  A  /\  <. y ,  0R >.  =  A
)  ->  x  =  y ) )
13 opeq1 3546 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  <. x ,  0R >.  =  <. y ,  0R >. )
1413eqeq1d 2048 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( <. x ,  0R >.  =  A  <->  <. y ,  0R >.  =  A ) )
1514rmo4 2731 . . . 4  |-  ( E* x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A  <->  A. x  e.  R.  A. y  e.  R.  (
( <. x ,  0R >.  =  A  /\  <. y ,  0R >.  =  A )  ->  x  =  y ) )
1612, 15sylibr 137 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  E* x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A
)
17 reu5 2519 . . 3  |-  ( E! x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A  <-> 
( E. x  e. 
R.  <. x ,  0R >.  =  A  /\  E* x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A
) )
182, 16, 17sylanbrc 394 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  E! x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A
)
19 reurex 2520 . . 3  |-  ( E! x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A  ->  E. x  e.  R.  <.
x ,  0R >.  =  A )
2019, 1sylibr 137 . 2  |-  ( E! x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A  ->  A  e.  RR )
2118, 20impbii 117 1  |-  ( A  e.  RR  <->  E! x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    = wceq 1243    e. wcel 1393   A.wral 2303   E.wrex 2304   E!wreu 2305   E*wrmo 2306   <.cop 3375   R.cnr 6376   0Rc0r 6377   RRcr 6869
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3869  ax-sep 3872  ax-nul 3880  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4166  ax-setind 4256  ax-iinf 4298
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rmo 2311  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-iun 3656  df-br 3762  df-opab 3816  df-mpt 3817  df-tr 3852  df-eprel 4023  df-id 4027  df-po 4030  df-iso 4031  df-iord 4099  df-on 4101  df-suc 4104  df-iom 4301  df-xp 4338  df-rel 4339  df-cnv 4340  df-co 4341  df-dm 4342  df-rn 4343  df-res 4344  df-ima 4345  df-iota 4854  df-fun 4891  df-fn 4892  df-f 4893  df-f1 4894  df-fo 4895  df-f1o 4896  df-fv 4897  df-ov 5502  df-oprab 5503  df-mpt2 5504  df-1st 5754  df-2nd 5755  df-recs 5907  df-irdg 5944  df-1o 5988  df-oadd 5992  df-omul 5993  df-er 6093  df-ec 6095  df-qs 6099  df-ni 6383  df-pli 6384  df-mi 6385  df-lti 6386  df-plpq 6423  df-mpq 6424  df-enq 6426  df-nqqs 6427  df-plqqs 6428  df-mqqs 6429  df-1nqqs 6430  df-rq 6431  df-ltnqqs 6432  df-inp 6545  df-i1p 6546  df-enr 6792  df-nr 6793  df-0r 6797  df-r 6880
This theorem is referenced by:  axcaucvglemcl  6950  axcaucvglemval  6952
  Copyright terms: Public domain W3C validator