Theorem elrealeu 6906

Description: The real number mapping in elreal 6905 is unique. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elrealeu	|- ( A e. RR <-> E! x e. R. <. x , 0R >. = A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem elrealeu

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 6905	. . . 4 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
2	1	biimpi 113	. . 3 |- ( A e. RR -> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
3		eqtr3 2059	. . . . . . . 8 |- ( ( <. x , 0R >. = A /\ <. y , 0R >. = A ) -> <. x , 0R >. = <. y , 0R >. )
4		0r 6835	. . . . . . . . . 10 |- 0R e. R.
5		opthg 3975	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. R. /\ 0R e. R. ) -> ( <. x , 0R >. = <. y , 0R >. <-> ( x = y /\ 0R = 0R ) ) )
6	4, 5	mpan2 401	. . . . . . . . 9 |- ( x e. R. -> ( <. x , 0R >. = <. y , 0R >. <-> ( x = y /\ 0R = 0R ) ) )
7	6	ad2antlr 458	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ x e. R. ) /\ y e. R. ) -> ( <. x , 0R >. = <. y , 0R >. <-> ( x = y /\ 0R = 0R ) ) )
8	3, 7	syl5ib 143	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ x e. R. ) /\ y e. R. ) -> ( ( <. x , 0R >. = A /\ <. y , 0R >. = A ) -> ( x = y /\ 0R = 0R ) ) )
9		simpl 102	. . . . . . 7 |- ( ( x = y /\ 0R = 0R ) -> x = y )
10	8, 9	syl6 29	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ x e. R. ) /\ y e. R. ) -> ( ( <. x , 0R >. = A /\ <. y , 0R >. = A ) -> x = y ) )
11	10	ralrimiva 2392	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ x e. R. ) -> A. y e. R. ( ( <. x , 0R >. = A /\ <. y , 0R >. = A ) -> x = y ) )
12	11	ralrimiva 2392	. . . 4 |- ( A e. RR -> A. x e. R. A. y e. R. ( ( <. x , 0R >. = A /\ <. y , 0R >. = A ) -> x = y ) )
13		opeq1 3549	. . . . . 6 |- ( x = y -> <. x , 0R >. = <. y , 0R >. )
14	13	eqeq1d 2048	. . . . 5 |- ( x = y -> ( <. x , 0R >. = A <-> <. y , 0R >. = A ) )
15	14	rmo4 2734	. . . 4 |- ( E* x e. R. <. x , 0R >. = A <-> A. x e. R. A. y e. R. ( ( <. x , 0R >. = A /\ <. y , 0R >. = A ) -> x = y ) )
16	12, 15	sylibr 137	. . 3 |- ( A e. RR -> E* x e. R. <. x , 0R >. = A )
17		reu5 2522	. . 3 |- ( E! x e. R. <. x , 0R >. = A <-> ( E. x e. R. <. x , 0R >. = A /\ E* x e. R. <. x , 0R >. = A ) )
18	2, 16, 17	sylanbrc 394	. 2 |- ( A e. RR -> E! x e. R. <. x , 0R >. = A )
19		reurex 2523	. . 3 |- ( E! x e. R. <. x , 0R >. = A -> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
20	19, 1	sylibr 137	. 2 |- ( E! x e. R. <. x , 0R >. = A -> A e. RR )
21	18, 20	impbii 117	1 |- ( A e. RR <-> E! x e. R. <. x , 0R >. = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1243   e. wcel 1393   A.wral 2306   E.wrex 2307   E!wreu 2308   E*wrmo 2309   <.cop 3378   R.cnr 6395   0Rc0r 6396   RRcr 6888

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-enr 6811  df-nr 6812  df-0r 6816  df-r 6899

This theorem is referenced by:  axcaucvglemcl  6969  axcaucvglemval  6971